高数导数应用

1、高数导数应用第1页，共54页，2022年，5月20日，20点49分，星期四1. 4. 1 函数的单调性第2页，共54页，2022年，5月20日，20点49分，星期四一、单调性的判别法定理证 （略）第3页，共54页，2022年，5月20日，20点49分，星期四证应用拉格朗日中值定理,得第4页，共54页，2022年，5月20日，20点49分，星期四例1解 首先确定定义域注意:函数的单调性是一个区间上的性质，要用导数在这一区间上的符号来判定，而不能用一点处的导数符号来判别一个区间上的单调性，图中蓝色曲线是导函数的图像第5页，共54页，2022年，5月20日，20点49分，星期四单调区间问题:如上例，

2、函数在定义区间上不是单调的，但在各个部分区间上单调定义:若函数在其定义域的某个区间内是单调的，则该区间称为函数的单调区间.导数等于零的点和不可导点，可能是单调区间的分界点方法:第6页，共54页，2022年，5月20日，20点49分，星期四解根据 y的符号曲线和定理，列出下表x13y+00+y1913上图为导函数的符号曲线。第7页，共54页，2022年，5月20日，20点49分，星期四就是说单调区间为第8页，共54页，2022年，5月20日，20点49分，星期四解单调区间为第9页，共54页，2022年，5月20日，20点49分，星期四注意: 区间内个别点导数为零, 不影响区间的单调性.而导数不存

3、在的点也可能是单调性改变的点。又如,例如上题中,事实上，第10页，共54页，2022年，5月20日，20点49分，星期四1.4.2 函数达到极值的条件 从例1.4.3 的函数图象中很容易看到在函数从单调增加变到单调减少的转折点处，函数值达到极大，这类特殊的峰点，即我们下面要讨论的函数极值点1.函数达到极值的必要条件(1,19) 函数极值分极大值和极小值当函数在一点从单调增加变到单调减少，函数值比邻近的函数值都大，这种函数值称为极大值；当函数在一点从单调减少变到单调增加，函数值比邻近的函数值都小，这种函数值称为极小值第11页，共54页，2022年，5月20日，20点49分，星期四一、函数极值的定

4、义第12页，共54页，2022年，5月20日，20点49分，星期四定义函数的极大值与极小值统称为极值，使函数取得极值的点称为极值点.函数的极大值可能小于极小值，如前页图中的与点的值第13页，共54页，2022年，5月20日，20点49分，星期四二、函数极值的求法(极值存在的必要条件)定义注意: (1) 这里的必要条件，有函数可导为前提。对于不可导点，函数也可能取极值。如例1.4.2中。例如,(2)第14页，共54页，2022年，5月20日，20点49分，星期四定理1.4.3(极值存在的第一充分条件)(是极值点情形)定理可以简记为经过x0时导函数变号则极值存在2.函数达到极值的第一充分条件第15

5、页，共54页，2022年，5月20日，20点49分，星期四可导函数求极值的步骤:(不是极值点情形)函数也可能在不可导点处达到极值。第16页，共54页，2022年，5月20日，20点49分，星期四解列表讨论极小, y(2)第17页，共54页，2022年，5月20日，20点49分，星期四图形如下：上面的图形是用根轴法作的导函数的符号曲线，用于判断导函数在各区间上的正负。第18页，共54页，2022年，5月20日，20点49分，星期四定理1.4.4教材61页证同理可证(2).3.函数达到极值的第二充分条件(极值存在的第二充分条件)第19页，共54页，2022年，5月20日，20点49分，星期四例2解

6、图形如下第20页，共54页，2022年，5月20日，20点49分，星期四注意:第21页，共54页，2022年，5月20日，20点49分，星期四三、小结极值是函数的局部性概念:极大值可能小于极小值,极小值可能大于极大值.驻点和不可导点统称为临界点.函数的极值必在临界点取得.判别法第一充分条件;第二充分条件;(注意使用条件)对一般函数(即要考虑驻点和不可导点)求极值的步骤请看教材61页的下方第22页，共54页，2022年，5月20日，20点49分，星期四1.4.3 函数的最值函数的整体极值定义第23页，共54页，2022年，5月20日，20点49分，星期四2.4.4 函数的最值函数的最大值与最小值

7、都是唯一的，它可能在驻点，不可导点及区间的端点处达到第24页，共54页，2022年，5月20日，20点49分，星期四步骤:1.求驻点和不可导点;2.求区间端点及驻点和不可导点的函数值,比较大小,那个大那个就是最大值,那个小那个就是最小值;注意:如果区间内只有一个极值,则这个极值就是最值.(最大值或最小值)第25页，共54页，2022年，5月20日，20点49分，星期四二、应用举例解计算驻点：不可导点：区间端点：第26页，共54页，2022年，5月20日，20点49分，星期四比较得第27页，共54页，2022年，5月20日，20点49分，星期四实际问题求最值应注意:(1)建立目标函数;(2)求最

8、值; 左图中，若f (x0)不是最大值, 则还有 x1 使得 f (x0) f(x1)，x0又是极大值点，于是从 x0 到 x1，函数的光滑连续变化必导致x0与x1值之间出现另一驻点x2 ，这样x0就不会是唯一驻点了x0 x2x1第28页，共54页，2022年，5月20日，20点49分，星期四h2r解本题是在条件V =r2h下求函数S=2rh +2r2的最小值.消去一个变量,即第29页，共54页，2022年，5月20日，20点49分，星期四解得第30页，共54页，2022年，5月20日，20点49分，星期四三、小结注意最值与极值的区别.最值是整体概念而极值是局部概念.实际问题求最值的步骤.P6

9、8 1.4.2(1)(5) 1.4.3(4) (5) 1.4.5 作业：1.4.4(1) (7)第31页，共54页，2022年，5月20日，20点49分，星期四1.4.4 未定式求法 下面学习导数在计算极限中的重要应用洛必达(L Hospital)法则.未定式是很常见和最基本的一类极限.限于时间原因我们不作理论上的展开,只学习具体方法与最基本的内容.第32页，共54页，2022年，5月20日，20点49分，星期四定义例如,第33页，共54页，2022年，5月20日，20点49分，星期四定理1.4.5 ( 洛必达法则 )定义 这种在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式的值的方法称为

10、洛必达法则.第34页，共54页，2022年，5月20日，20点49分，星期四解解易见此式符合洛必达法则的条件，故第35页，共54页，2022年，5月20日，20点49分，星期四解解作业第36页，共54页，2022年，5月20日，20点49分，星期四例解通分相加减化为再求第37页，共54页，2022年，5月20日，20点49分，星期四注意：(1)洛必达法则是求不定式的一种有效方法，但它只能用于.不是这两种类型的绝不能用！()洛必达法则不是万能的.第38页，共54页，2022年，5月20日，20点49分，星期四补例解极限不存在洛必达法则失效。注意：洛必达法则的使用条件第39页，共54页，2022年

11、，5月20日，20点49分，星期四(3)洛必达法则与其它求极限方法结合使用，效果更好,特别是用之前要把极限的已知部分分离出来.解分母中的tanx用等价的无穷小x代替了.分子用三角函数公式换作tan2x更简单,这里是又用了一次洛必达法则.小结第40页，共54页，2022年，5月20日，20点49分，星期四解关键:化为洛必达法则可解决的类型 .步骤:此题转换为试试看（转换为）第41页，共54页，2022年，5月20日，20点49分，星期四第42页，共54页，2022年，5月20日，20点49分，星期四步骤:例解第43页，共54页，2022年，5月20日，20点49分，星期四解解 取对数,第44页，

12、共54页，2022年，5月20日，20点49分，星期四解又例解第45页，共54页，2022年，5月20日，20点49分，星期四小结洛必达法则作业P68 1.4.2 (1) (5)， 1.4.3 (4) 1.4.4(1) (2) (4) ， 1.4.5.第46页，共54页，2022年，5月20日，20点49分，星期四又例解注意:函数的不可导点,也可能是函数的极值点.如例2.4.4中的x=0点，下面再举一例第47页，共54页，2022年，5月20日，20点49分，星期四思考题下述命题正确吗？第48页，共54页，2022年，5月20日，20点49分，星期四思考题解答不正确例注意 定理1.4.2 是必要条件，而定理1.4.3 及后面的定理1.4.4是充分条件，且都是在可导的前提下得出的第49页，共54页，2022年，5月20日，20点49分，星期四点击图片任意处播放暂停例4第50页，共5