优质课 教案 (省一等奖)《一元二次方程的根与系数关系》公开课教案

1、21.2.4 一元二次方程的根与系数关系教 学 时 间课题一元二次方程的根与系数关系课 型新授教 学 媒 体多 媒 体教学目标知 识技 能过 程方 法情 感态 度根与系数关系.根与系数关系解决实际问题.3.提高学生综合运用根底知识分析解决较复杂问题的能力.学生经历探索，尝试发现韦达定理，感受不完全归纳验证以及演绎证明.培养学生观察，分析和综合，判断的能力，激发学生发现规律的积极性，鼓励学 生勇于探索的精神.一元二次方程的根与系数关系教 学 重 点对根与系数关系的理解和推导教 学 难 点教 学 过 程 设 计教 学 程 序 及 教 学 内 容一、复习引入导语：一元二次方程的根与系数有着密切的关系

2、，早在 16 世纪 法国的杰出数学家韦达发现了这一关系，你能发现吗？ 二、探究新知分析：将x- x x-x =0 化为一般形式 x2-( x +x )x+ x x =01 2 1 2 1 2与 x2+px+ q=0 比照,易知 p=-( x +x )， q= x x 即二次项系1 2 1 2.数是 1 的一元二次方程如果有实数根，那么一次项系数等于两 根和的相反数，常数项等于两根之积.求以下方程的两根 x 、x 的和与积.1 2.x2+3x+2=0； x2+2x-3=0; x2-6x+5=0; x2-6x-15=03. 方程 2x2-3x+1=0 的两根的和、积与系数之间有类似的关系 吗？分析

3、：这个方程的二次项系数等于 2，与上面情形有所不同，求 出方程两根，再通过计算两根的和、积，检验上面的结论是否 成立，假设不成立，新的结论是什么？ax2+bx+c=0a0中的 a 不一定是 1，它的两根的和、积与系 数之间有第 3 题中的关系吗？分析：利用求根公式，求出方程两根，再通过计算两根的和、 积，得到方程的两个根 x 、x 和系数 a，b，c 的关系，即韦达1 2定理，也就是任何一个一元二次方程的根与系数的关系为：两 根的和等于一次项系数与二次项系数的比的相反数，两根之积 等于常数项与二次项系数的比. 求根公式是在一般形式下推导 得到，根与系数的关系由求根公式得到，因此，任何一个一元师

4、生行为教师出示问题，引 出课题学生初步了 解本课所要研究的 问题学生通过去括号、 合并得到一般形 式的一元二次方 程，教师适时点 拨，分析总结得到 结论.学生单独完成 稳固上诉知识 教师出示探究问 题，学生通过特殊 例子入手，再通过 一般形式推导证 明，教师引导学生 根据求根公式进行 探究、交流，尝试 发现结论设 计 意 图创设问题情 境，激发学生 好奇心，求知 欲通过思考问 题，让学生知 道二次项系数 为 1 的一元二 次方程的根与 系数关系，为 后面继续研究 做铺垫让学生通过 探究问题，体 会从特殊到 一般的认知 过程，体会数 学结论确实 定性22 221 12 x x ； eq oac(

5、,5)2 1 22 二次方程化为一般形式后根与系数之间都有这一关系. 求以下方程的两根 x 、x 的和与积.1 2. eq oac(,1)3x2+7x+2=0；3x2+7x-2=0; 3x2-7x+2=0；3x2-7x-2=0；学生独立解决，并 加深对韦达定 eq oac(,2)5x-1=4x2；5x2-1=4x2+x eq oac(,1)一元二次方程 2x2+bx+c=0 的两个根是-1，3，那么b= ,c= . eq oac(,2)关于 x 的方程 x2+kx-2=0 的一个根是 1，那么另一个根 是 ,k 的值是 . eq oac(,3)假设关于 x 的一元二次方程 x2+px+q=0

6、的两个根互为相反数， 那么 p= ; 假设两个根互为倒数，那么 q= .分析：方程中含有一个字母系数时利用方程一根的值可求得另 一根和这个字母系数；方程中含有两个字母系数时利用方程的 两根的值可求得这两个字母系数.二次项系数是 1 时，假设方程 的两根互为相反数或互为倒数，利用根与系数的关系可求得方 程的一次项系数和常数项. eq oac(,4)两个根均为负数的一元二次方程是( )x22-13x-5=0 C.7x22+15x-8=0 eq oac(,5).两根异号，且正根的绝对值较大的方程是 交流先观察，尝试选用 适宜方法解题，之 后交流，比拟解法学生尝试归纳，师 生总结理的理解，培 养学生的

7、应用 意识和能力通过学生亲自 解题的感受与 经验，感受数 学的严谨性和 数学结论确实 定性.x +5x-4=0 Cx + 3 5 x-6=0 eq oac(,6).假设关于 x 的一元二次方程 2x2-3x+m=0,当 m 时方程有两 个正根；当 m 时方程有两个负根；当 m 时方程有一个正 根一个负根，且正根的绝对值较大.分析：根据方程的根的正负情况，结合根与系数关系，确定方 程各项系数的符号， eq oac(,中)6 还需考虑 m 的值还得受根的判别式的 限制.三、课堂训练2.补充练习：x ，x 是方程 3x2-2x-4=0 的两根，利用根与系数的关系求以下 1 2学生独立完成，教 师巡回

8、检查，师生 集体订正进一步加强 对所学知识 的理解和掌 握各式的值： eq oac(,1) eq oac(, ) ； eq oac(,2) eq oac(, )x x x x2 1 1 21 2x xx x 2 1x x1 2四、小结归纳2 eq oac(,3) eq oac(, )x x1 22； eq oac(,4)通过归纳，进本节课应掌握：1. 韦达定理二次项系数不是 1 的方程根与系数的关系2. 运用韦达定理时，注意隐含条件：二次项系数不为 0 eq oac(,，)0； 3.韦达定理的应用常见题型： eq oac(,1)不解方程，判断两个数是否是某一个一元二次方程的两根； eq oac

9、(,2)方程和方程的一根，求另一个根和字母系数的值； eq oac(,3)由给出的两根满足的条件，确定字母系数的值；学生归纳，总结阐 述，体会，反思. 并做出笔记.一步理解韦 达定理及其 应用加强教学反 思，帮助学生 养成系统整 理知识的学 eq oac(,4)判断两个根的符号； eq oac(,5)不解方程求含有方程的两根的式子的习习惯，加深值.五、作业设 计 必做：P17：7认识，深化提 高，形成学生 自己的知识 体系.2选做：补充作业：一元二次方程 x +3x+1=0 的两个根是 、，求的值.教学反思教学反思学生对展开图通过各种途径有了一些了解，但仍不能把平面与立体很好的结合；在遇到问题

10、时，多数学生不愿意自己探索，都要寻求帮助。在今后的教学中，我会不断的钻研探 索，使我的课堂真正成为学生学习的乐园。本节课的教学活动，主要是让学生通过观察、动手操作，熟悉长方体、正方体的展开图以及图形折 叠后的形状。教学时，我让每个学生带长方体或正方体的纸盒 ，每个学生都剪一剪，并展示所剪图形的形状。由于剪的方法不同，展开图的形状也可能是不同的。学生在剪、拆盒子过程中，很容易把盒子拆散了，无法形成完整的展开图，就要求适当进行指导。通过动手操作，动脑思考，集体交流，不仅提高了学生的空间思维能力，而且在情感上每位 学生 都获得了成功的体验，建立自信心。24.1 圆 (第 3 课时)教学内容1圆周角的

11、概念2圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弦所对 的圆心角的一半推论：半圆或直径所对的圆周角是直角，90的圆周角所对的弦是直径及其它们的 应用教学目标1了解圆周角的概念2理解圆周角的定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条 弧所对的圆心角的一半3理解圆周角定理的推论：半圆或直径所对的圆周角是直角，90的圆周角所对 的弦是直径4熟练掌握圆周角的定理及其推理的灵活运用设置情景，给出圆周角概念，探究这些圆周角与圆心角的关系，运用数学分类思想给予 逻辑证明定理，得出推导，让学生活动证明定理推论的正确性，最后运用定理及其推导解决一些实际问题重难点、关键1

12、重点：圆周角的定理、圆周角的定理的推导及运用它们解题2难点：运用数学分类思想证明圆周角的定理3关键：探究圆周角的定理的存在教学过程一、复习引入学生活动请同学们口答下面两个问题1什么叫圆心角？2圆心角、弦、弧之间有什么内在联系呢？老师点评：1我们把顶点在圆心的角叫圆心角2在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们 所对的其余各组量都分别相等刚刚讲的，顶点在圆心上的角，有一组等量的关系，如果顶点不在圆心上，它在其它的 位置上？如在圆周上，是否还存在一些等量关系呢？这就是我们今天要探讨，要研究，要解决的问题二、探索新知问题：如下图的O，我们在射门游戏中，设 E、F 是球门

13、，设球员们只能在 EF 所在的O 其它位置射门，如下图的 A、B、C 点通过观察，我们可以发现像EAF、EBF、ECF 这样的角，它们的顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角现在通过圆周角的概念和度量的方法答复下面的问题1一个弧上所对的圆周角的个数有多少个？ 2同弧所对的圆周角的度数是否发生变化？AC3同弧上的圆周角与圆心角有什么关系？学生分组讨论提问二、三位同学代表发言O老师点评：1一个弧上所对的圆周角的个数有无数多个B2通过度量，我们可以发现，同弧所对的圆周角是没有变化的3通过度量，我们可以得出，同弧上的圆周角是圆心角的一半下面，我们通过逻辑证明来说明“同弧所对的圆周角的度数没有变化

14、， 并且AD它的度数恰好等于这条弧所对的圆心角的度数的一半 1设圆周角ABC 的一边 BC 是O 的直径，如下图 AOC 是ABO 的外角BOCAOC=ABO+BAOOA=OBABO=BAOAOC=ABOABC=12AOC2如图，圆周角ABC 的两边 AB、AC 在一条直径 OD 的两侧，那么ABC= AOC 吗？请同学们独立完成这道题的说明过程12老师点评：连结 BO 交O 于 D 同理AOD 是ABO 的外角，COD 是BOC 的外角，那么就有AOD=2ABO，DOC=2CBO，因此AOC=2ABC3如图，圆周角ABC 的两边 AB、AC 在一条直径 OD 的同侧，那么ABC= AOC 吗

15、？请同学们独立完成证明12老师点评：连结 OA、OC，连结 BO 并延长交O 于 D，那么AOD=2ABD，COD=2CBO，而ABC=ABD-CBO=1 1 1AOD- COD= AOC2 2 2现在，我如果在画一个任意的圆周角ABC，同样可证得它等于同弧上圆心角一半， 因此，同弧上的圆周角是相等的从1、2、3，我们可以总结归纳出圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半 进一步，我们还可以得到下面的推导：半圆或直径所对的圆周角是直角，90的圆周角所对的弦是直径下面，我们通过这个定理和推论来解一些题目例 1如图，AB 是O 的直径，BD 是O 的弦，

16、延长 BD 到 C，使 AC=AB，BD与 CD 的大小有什么关系？为什么？分析：BD=CD，因为 AB=AC，所以这个ABC 是等腰，要证明 D 是 BC 的中点，只要连结 AD 证明 AD 是高或是BAC 的平分线即可解：BD=CD理由是：如图 24-30，连接 ADAB 是O 的直径ADB=90即 ADBC又AC=ABBD=CD三、稳固练习1教材 P92 思考题2教材 P93 练习四、应用拓展例 2如图，ABC 内接于O，A、B、C 的对边分别设为 a，b，c，O 半径为R，求证：a b c= = =2R sin A sin B sin Ca b c a b c分析：要证明 = = =2

17、R，只要证明 =2R， =2R， =2R，sin A sin B sin C sin A sin B sin Ca b c即 sinA= ，sinB= ，sinC= ，因此，十清楚显要在直角三2 R 2 R 2 R角形中进行证明：连接 CO 并延长交O 于 D，连接 DBCD 是直径DBC=90又A=D在 eq oac(,Rt)DBC 中，sinD=BC a，即 2R=DC sin Ab c同理可证： =2R， =2Rsin B sin Ca b c = = =2Rsin A sin B sin C五、归纳小结学生归纳，老师点评本节课应掌握：1圆周角的概念；2圆周角的定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都相等这条弧所 对的圆心角的一半；3半圆或直径所对的圆周角是直角，90的圆周角所对的弦是直径4应用圆周角的定理及其推导解决一些具体问题六、布置作业1教材 P95 综合运用 9、10、教学反思学生对展开图通过各种途径有了一些了解，但仍不能把平面与立体很好的结合；在遇到问题