近五年（2016-2020）全国卷Ⅰ理科数学《圆锥曲线》高考真题汇编【含答案】

1、2016-2020年全国卷理科数学圆锥曲线高考真题试卷汇编一、填空题。1.（2020全国1卷15题）已知F为双曲线的右焦点，A为C的右顶点，B为C上的点，且BF垂直于x轴.若AB的斜率为3，则C的离心率为_.二、选择题。2.（2019全国1卷10题）已知椭圆的焦点为，过的直线与交于，两点.若，则的方程为（ ）A. B. C. D.3.（2018全国1卷8题）设抛物线C：y2=4x的焦点为F，过点（2，0）且斜率为23的直线与C交于M，N两点，则FMFN=（ ）。A. 5 B. 6 C. 7 D. 84.（2018全国1卷11题）已知双曲线C：x23y2=1，O为坐标原点，F为C的右焦点，过F的

2、直线与C的两条渐近线的交点分别为M、N.若OMN为直角三角形，则|MN|=（ ）。A. 32 B. 3 C. 23 D. 45.（2017全国1卷10题）已知F为抛物线C：y2=4x的焦点，过F作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与C交于A、B两点，直线l2与C交于D、E两点，则|AB|+|DE|的最小值为（ ）A16B14C12D106.（2016全国1卷5题）已知方程EQ F(x2,m2+n)EQ F(y2,3m2n)=1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n的取值范围是（ ）A.(1,3) B.(1,EQ R(3) C.(0,3) D.(0,EQ R(3)7.（2016全国1

3、卷10题）以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A，B两点，交C的准线于D，E两点.已知|AB|=，|DE|=，则C的焦点到准线的距离为（ ）A.2 B.4 C.6 D.8三、解答题。8.（2020全国1卷20题）已知A、B分别为椭圆E：（a1）的左、右顶点，G为E的上顶点，P为直线x=6上的动点，PA与E的另一交点为C，PB与E的另一交点为D（1）求E的方程；（2）证明：直线CD过定点.9.（2019全国1卷19题）已知抛物线的焦点为，斜率为的直线与的交点为，与轴的交点为.（1）若，求的方程；（2）若，求.10.（2018全国1卷19题） 设椭圆C:x22+y2=1的右焦点为F，过F的直线l与C交

4、于A,B两点，点M的坐标为(2,0).（1）当l与x轴垂直时，求直线AM的方程；（2）设O为坐标原点，证明：OMA=OMB.11.（2017全国1卷20题）已知椭圆C：（ab0），四点P1（1,1），P2（0,1），P3（1，），P4（1，）中恰有三点在椭圆C上.（1）求C的方程；（2）设直线l不经过P2点且与C相交于A，B两点.若直线P2A与直线P2B的斜率的和为1，证明：l过定点.12.（2016全国1卷20题）设圆的圆心为A，直线l过点B（1,0）且与x轴不重合，l交圆A于C，D两点，过B作AC的平行线交AD于点E.（I）证明为定值，并写出点E的轨迹方程；（ = 2 * ROMAN II

5、）设点E的轨迹为曲线C1，直线l交C1于M,N两点，过B且与l垂直的直线与圆A交于P,Q两点，求四边形MPNQ面积的取值范围.答案一、填空题。1.（2020全国1卷15题）已知F为双曲线的右焦点，A为C的右顶点，B为C上的点，且BF垂直于x轴.若AB的斜率为3，则C的离心率为_.2【详解】依题可得，而，即，变形得，化简可得，解得或（舍去）故二、选择题。2.（2019全国1卷10题）已知椭圆的焦点为，过的直线与交于，两点.若，则的方程为（ ）A. B. C. D.B【详解】由椭圆的焦点为，可知，又，可设，则，根据椭圆的定义可知，得，所以，可知，根据相似可得代入椭圆的标准方程，得，椭圆的方程为.3

6、.（2018全国1卷8题）设抛物线C：y2=4x的焦点为F，过点（2，0）且斜率为23的直线与C交于M，N两点，则FMFN=（ ）。A. 5 B. 6 C. 7 D. 8D【详解】分析：首先根据题中的条件，利用点斜式写出直线的方程，涉及到直线与抛物线相交，联立方程组，消元化简，求得两点M(1,2),N(4,4)，再利用所给的抛物线的方程，写出其焦点坐标，之后应用向量坐标公式，求得FM=(0,2),FN=(3,4)，最后应用向量数量积坐标公式求得结果.详解：根据题意，过点（2，0）且斜率为23的直线方程为y=23(x+2)，与抛物线方程联立y=23(x+2)y2=4x，消元整理得：y26y+8=

7、0，解得M(1,2),N(4,4)，又F(1,0)，所以FM=(0,2),FN=(3,4)，从而可以求得FMFN=03+24=8，故选D.4.（2018全国1卷11题）已知双曲线C：x23y2=1，O为坐标原点，F为C的右焦点，过F的直线与C的两条渐近线的交点分别为M、N.若OMN为直角三角形，则|MN|=（ ）。A. 32 B. 3 C. 23 D. 4B【详解】根据题意，可知其渐近线的斜率为33，且右焦点为F(2,0)，从而得到FON=30，所以直线MN的倾斜角为60或120，根据双曲线的对称性，设其倾斜角为60，可以得出直线MN的方程为y=3(x2)，分别与两条渐近线y=33x和y=33

8、x联立，求得M(3,3),N(32,32)，所以MN=(332)2+(3+32)2=3，故选B.5.（2017全国1卷10题）已知F为抛物线C：y2=4x的焦点，过F作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与C交于A、B两点，直线l2与C交于D、E两点，则|AB|+|DE|的最小值为A16B14C12D10A【详解】设倾斜角为作垂直准线，垂直轴易知同理，又与垂直，即的倾斜角为而，即，当取等号即最小值为，故选A6.（2016全国1卷5题）已知方程EQ F(x2,m2+n)EQ F(y2,3m2n)=1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n的取值范围是A.(1,3) B.(1,EQ R(3

9、) C.(0,3) D.(0,EQ R(3)A【详解】由题意知：双曲线的焦点在轴上，所以，解得：，因为方程表示双曲线，所以，解得，所以的取值范围是，故选A7.（2016全国1卷10题）以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A，B两点，交C的准线于D，E两点.已知|AB|=，|DE|=，则C的焦点到准线的距离为A.2 B.4 C.6 D.8B试题分析：如图：设抛物线方程为，圆的半径为r,交轴于点，则，即点纵坐标为，则点横坐标为，即，由勾股定理知，即，解得，即的焦点到准线的距离为4，故选B.三、解答题。8.（2020全国1卷20题）已知A、B分别为椭圆E：（a1）的左、右顶点，G为E的上顶点，P为直线x

10、=6上的动点，PA与E的另一交点为C，PB与E的另一交点为D（1）求E的方程；（2）证明：直线CD过定点.（1）；（2）证明详见解析.【详解】（1）依据题意作出如下图象：由椭圆方程可得：， ，椭圆方程为：（2）证明：设，则直线的方程为：，即：联立直线的方程与椭圆方程可得：，整理得：，解得：或将代入直线可得：所以点的坐标为.同理可得：点的坐标为直线的方程为：，整理可得：整理得：故直线过定点9.（2019全国1卷19题）已知抛物线的焦点为，斜率为的直线与的交点为，与轴的交点为.若，求的方程；若，求.（1）； （2）.【详解】（1）设直线的方程为，设，联立直线与抛物线的方程：消去化简整理得，依题意可

11、知，即，故，得，满足，故直线的方程为，即.（2）联立方程组消去化简整理得，可知，则，得，故可知满足，.10.（2018全国1卷19题） 设椭圆C:x22+y2=1的右焦点为F，过F的直线l与C交于A,B两点，点M的坐标为(2,0).（1）当l与x轴垂直时，求直线AM的方程；（2）设O为坐标原点，证明：OMA=OMB.(1) AM的方程为y=-22x+2或y=22x-2；(2)证明见解析.【详解】（1）由已知得F(1,0)，l的方程为x=1.由已知可得，点A的坐标为(1,22)或(1,-22).所以AM的方程为y=-22x+2或y=22x-2.（2）当l与x轴重合时，OMA=OMB=0.当l与x

12、轴垂直时，OM为AB的垂直平分线，所以OMA=OMB.当l与x轴不重合也不垂直时，设l的方程为y=k(x-1)(k0)，A(x1,y1),B(x2,y2)，则x12,x2b0），四点P1（1,1），P2（0,1），P3（1，），P4（1，）中恰有三点在椭圆C上.（1）求C的方程；（2）设直线l不经过P2点且与C相交于A，B两点.若直线P2A与直线P2B的斜率的和为1，证明：l过定点.； l过定点（2，）【详解】（1）由于，两点关于y轴对称，故由题设知C经过，两点.又由知，C不经过点P1，所以点P2在C上.因此解得故C的方程为.（2）设直线P2A与直线P2B的斜率分别为k1，k2，如果l与x轴垂直，设l：x=t，由题设知，且，可得A，B的坐标分别为（t，），（t，）.则，得，不符合题设.从而可设l：（）.将代入得.由题设可知.设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=，x1x2=.而.由题设，故.即.解得.当且仅当时，于是l：，即，所以l过定点（2，）.12.（2016全国1卷20题）设圆的圆心为A，直线l过点B（1,0）且与x轴不重合，l交圆A于C，D两点，过B作AC的平行线交AD于点E.（I）证明为定值，并写出点E的轨迹方程；（ = 2