2021年硕士研究生入学统一考试《高等数学》模拟试题

1、2021年硕士研究生入学统一考试 高等数学 模拟试题考生须知：本试卷满分为 150 分，全部考试时间总计180 分钟。所有答案必须写在答题纸上，写在试题纸上或草稿纸上一律无效。一、选择题( 本题满分 50 分，每小题 5 分。请从题目所列的选项中选择一个正确项填充空格。每题的四个备选项中只有一个是正确的，不选、错选或多选均不得分。请将你的选择标清题号写在考场发的答题纸上，直接填写在试题上无效。)1.极限limn242nn的值为 ()。n2n21n21A.0B.1C.2D.2设 ?(?)在 ?= ?处连续 , ?( ?) = ?( ?) | ?- ?| , 则?( ?)? = 0 是?(?)在?

2、= ?处可导的 ()。A 充要条件B. 充分非必要条件C. 必要非充分条件1lim(sin x)1 sin x xD. 既非充分又非必要条件3.极限2的值为 ()。A.e 1B.1C.eD.+4设周期函数 ?( ?)在(- , + 内)可导 , 周期为 4,又 lim?( 1) -?(1-? )= -1, 则曲线 ?=?(?)?02?在点 (5, ?(5) 处的切线斜率为 ()。A.12B. 2C. - 1D. - 25.设向量 a(1, 2, 2),b(0,1,2) ，则向量 b 在向量 a 方向上的投影向量为 ()。6 12A 0,B.1 2,3 32，3C.0， ，512D.24 4,5

3、553，3 3二元函数 f (x, y) 在点 (0, 0)处可微的一个充分条件是（）。A lim f (x, y)f (0, 0)0.( x, y )(0,0)B limf (x, 0)f (0, 0)0 ，且 limf (0, y)f (0, 0)0 .x 0 xy 0yf (x, y)f (0, 0)C.lim( x, y)(0,0)0.x2y2D lim fx (x, 0)fx (0, 0)0 ，且 lim f y (0, y)f y (0, 0)0 .x 0y0级数A1=（）。n 1 n(n 1)(n2)1C 1 0B432 z2 zD 1设方程 xyzexy ，则x2y2 的表达式

4、是（）。(x2y2 ) exyC 2xy exyB (xy) exyD (1xy) exy2n设 a03 ， a15 ，且对任何自然数n1有 nan2的收敛半径为（）。3 an 1(n1)an 1 ，则幂级数an xn 0B 1 C 3 32D 2下列反常积分发散的是 （）。x6101ex dxB 0dxx (1x)12sin2 xC 1xdxD4ln x11x2dx（本题满分 10 分）已知 lim f (x) 存在，而lim f (x)不存在，并且 lim3 1xf (x)13 ，x0 x0 x 0sin x求 lim f (x)。x0三、（本题满分 10 分） 两平面均通过点 A ( 2

5、,1, 1) ，其中一个平面通过x 轴，另一个平面通过直线 x1y1z，求两平面夹角的余弦。211四、（本题满分 10 分） 设函数?+ ?-? ?2? = 0,确定 , 求?= ?(?)由22()arctan?= ln(1 +?)。?五 、 ( 本 题 满 分 10分 ) 已 知 函 数 uf (r), rlnx2y2z2满 足 方 程2u2uu2223 22(x +y +z )，求 f (x) 的表达式。x2y2z2六、（本题满分 10 分） 设曲线 C: yx32x 与其在（ 1，3）点处的切线以及x 轴围成的区域落在第一象限中的部分为D，计算：D 的面积；D 绕 x 轴旋转一周所得旋转

6、体的体积。七、（本题满分 10 分） 计算下列第二型曲面积分：xdydz2 y4dxdz3z6dxdy,S其中 S 是椭球面： x24y29z21 。八、（本题满分10 分） 设 f (x)是周期为 3 的连续函数，证明：在任意长度为2 的闭区间 a, a2 上至少存在一点，使得 f ()f (1) 。九、（本题满分 10 分） 设?( ?) , ?( ?)?在?, ? 上二阶可导 , 且?( ?) = ?(?)? = ?( ?)? = 0 . 证明 :存在 ? ( ?, ?),使得 ?(?)?( ?)? + 2 ?( ?)?( ?)? + ?( ?)?(?) = 0 。十、（本题满分 10 分） 设 f 是0,1 上的连续函数，满足11且f (t)dt0。证明：xf (x)d