考研数学知识点-线性代数

1、6研&点一线忭代数Edited by杨M钩2005年篡0门6研&-71UiH点一线忭代数Edited by杨31钧2005年丨0门反对称矩阵=-A第一讲基本知识矩阵和向暈线性运算与转三.矩阵的初等变換，阶梯形矩阵（D4 + B = B + AWA$变换分初3行殳换切等列变换(A + 5)+C= A + (fi + C) cA + B)= cA-cB (c + d)A = cA + dA c(dA)=(cd)AcA = 0oc = 0i$A = 0 向砑组的线性组介八.as，c+c+A +c，a，.4的转RAf (或/V)(ABY =ATBr(M) =c(4r).阶矩阵zi行.n列的矩阵.对炻线

2、.Jt l:乂系的UW、列标+U等au，a:,A三类初等行变换交换两行的上卜位K用Ik零常数c乘某一行。把行的倍数加到另一行上（倍加变換）阶悌形妬阵4100-12000000如果有；行，则都在下而。诈；行的第一个非0元秦的列兮fl上卜严格 率调上升。或K行左边迮续出现的0的个数f|上内卜严格筚调 上升，直到全为0。台角：冷II:零行第一个110元索所在位K。简笮阶梯形妒阵：台角位置的元素都为1台角正上方的元素都为好个矩M郞r川初匁打变换化力阶梯形阵和簡巾. 阶梯形炻阵。如果a足一个h阶矩阵阶梯形妬阵=AH上三炻Sift，反之不一记. 如0 o r单位贈0 00 1 o足上三角，但非阶梯形 .0

3、 0 L四.线性方程组的矩阵消元法 川IdW变换化简乃HW求W三种间解变換:上（卜）三伯矩阵0 0对称矩阵=交换两个AW的上卜位K.用一个非0数c*个方程把Jit -ZrB的倍数加到另-个方W上去，它在反映 在増广妬阼上就三种初等行变换，矩阵消元法，S出tti广沁ffl初TV变换化川为阶w 形 H:M 万 |/h用0|/）判別解的ts况。1）如卜面的II考行为（O.A,O|f/）.则无W. 诉则介解。II如果灯W,的非？行数.则r=时唯一解。r b制 * 0 =八么都不为0。是n!项的代数和毎一项是n个元素的乘积，它们共有/:!项P 把K|/o）化出的简屯阶梯肜Hi hV为A忡（fi|z）的不

4、仏衍（打。|/。它紀+A:A A其中人人八人是U，八，n的一个全拌列A anK前而乘的W为4人人八人）的逆序数第二讲行列式形式与意义6 研代数Edited by杨况钧2005年10门0 0 0 0 N b: :=W、A6 *f（ -1）A 21）= C； = n/，2 J计算（化零降阶法 余子式和代数余子xt称、1为的余f人。定理：一个行列式的fftD等r它的某一行（列），?$7c 索与各自代数余子式喿积之和。D = ：iA2l+fl22A22+A +久人行列式的其它性质不变|4r| = |A|用一个数f籴X-行（列的乘CXX Xk第_类初等变换使俏变3如果一个行列式行（列）的元疾全为0或片

5、倾行（列的元素成比例关系，则行列式的值为0.一行（列）的元紊乘上另-行 列）的扣座元累 代数余子式之和为0.五.元索有规律的行列式的计算六.克莱姆法则克莱姆法则：没线性方组的系数A 阶矩阼 （即方程个数w =未知数个数/!）.则|个0时,方H组唯.解，此解为A D”R.W W (h3.行列式和求某一行(列)分解 |a.Z?l+A，d = |a，A，r|+|a，A，/| A = (al9a1.a5) 3阶矩阵 杉= (A，A.A) A + B |4| +1叫A + B = (al + fll9a2 + P:，az + P.) |4 + 卜|A|#0?改进:|A卜0O唯一解证明：（A|/7）-（5

6、|r）|4卜0|召卜0代锌后所得w阶行列式:ap a: + 為，a3 + 為卜 | A，A + A，A + A |名研R亇知识点一线性代数（外）=卜*拿0聿r000000bnn与数的乘法的不同之处尤交換fb尤消上汴34 = 0 时 A4 = 0 或方=0lIM # 0 和 AB = 0 B = 0由心0WAB = AC=AB = C (无左消去律r,:|B卜0,则z,*o.v,，故唯一解.打唯一解，则n个lh;行，且W卜面的II 5 行不是(0，A,0|d) F是匕*0,从而每么*0.lBl=fl*f-1求秘。(爭)M外)M制r，我m对J齐次乃程纽|A| #00只打苓解。第三讲矩阵一.矩阵的乘

7、法定义与規律定义：HAHBH两个如果4的列r B的行数，则A 以乘乘积也 是一个矩阵，记作AB.当4 Ji/nxwfcW.阵时，阵。AB的G_, W位乂蒺足A的第/行和B的第j列X.I脚乂 蒺乘积之和。Cu=aAj+aiibu+ + am遵循的规律线性性质(A + a2 )b=b+a:b，ABBZ)=ABABZ(cA)B = c(AB)=A(cB)阶矩阵的方幂与多项式任何两个/I阶矩阵4与忍可乘.并且4忍仍是/I阶矩 阵。行列式性貭:|叫=刚4是阶)m供介8Ak = AAA A. A = E W = 4W (Ak) = Ak,=AkBl 不一定成立！没 /(x)= akxk+八 +a+a 0,

8、4是”阶矩阵，規定f(A)=alAk +flt_14*_1+A +aLA + a0EW：数的厢法公式.W式分解等对补阼足否仍成 立？(A + B)2 = A2 -2AB + B2?A2-B2IIA2 + AB+ BA- B2W砑足交换性AB=BA 时.lA + B)4tO一个炮阵A的毎个多项式对以w戎分解.例如 A2 -2A-3E = (A-3EA- E)乘积矩阵的列向最与行向量Kt ni x n 补pj: A = .a:八.)，n 维列向 Glif（AB）C=A（BC）（AB）f = BrAT=.b）r,则Afl = blab2az+A +bnan4Edited by杨汍钧2005年10门巧

9、研点一线忭代数5Edited by W3L钧 2005 年 10 II31Zi I 233 kbi 则Ax =0 0 0 0 0 1 0 1 01 0 00 0 00000bian+b2al2+b,aay+b2a22+b3a:ibAl+b2ttZ2+a1:x:+a22x2+ Aaxl+id A足系数妬阵A = (apa:，A八+人入 =hL八 +屮人=b:A+ ax. = hair+al2x2+Aa2lxt +(7x: +A +a2nxn A方程组的矩阼形式 Ax=p，=,hjr)方醐的向量形式a：.a:,八，a的线性汛介.fll介系数足行的第I个列向W. 的各分。炎似地：AB的访/个行14

10、B的行叫:|1:饥的纹性 31介，组介系数E A的第/个行内頃的各分吊.BfAr=Cr对角矩阵从右侧乘-矩M即川对炻线上的几系依次乘4的各列向黾。对角中:阵从左侧乘一知MA. W用对角线上的元素依 次乘A的各行向黾。于HAE = At EA = AA(kE)=kA, (kE)A = kA两个Xf介jHiM:相乘只须把对怕线上对吨元苌相朵x-JftjfcM的Z:次方搣八须把埒个对炻线上允疾怍i次 方幕.初等矩阵及其在乘法中的作用对中位矫胙作-次初3变换所到的矫阶称为初方 矩阵.共柯3种初等矩阵(1) E(iJ)：交换的ij两行成交换的策i，j两列10n = 5. (2,4)= 0 0 xa +

11、x2a2 +A + xnan = pKA = C,iiB = (P”HP、，C = (rr2,X ,r,)(2) E(i(c): ttjc(*0)乘的第/行或第/列fl 0 0 0 0、piijr =AA，/ = t2,A,571 = 5, E(2(c) =或 AB = (AA，4Z?:，八，A/0000、0c000010000100001、A au、A V，八A auh2l h22 Ab2i，八A A A AA A A AA ， A：Ab、 b. Az，購i，八，= AP. = kA + bi.ai +八 +E(/J(C)：把的第/行的t倍加到第I行上或把的第|*列的t估加到笫y列1:。即A

12、B的第f个列向r, S： A的列向吊组6研&点一线忭代数Edited by杨汍钧2005年10门100100C000=5. (1,4(0) =001000001000001,命题：初等H:阵从V (心)侧乘一个妒阵A等M j对A作-次相当的初等行(列)变換(aaaaa,)E(l,4(c)= k，a:.a”a4，aj1 0 0 c 0 0 10 0 00 0 10 0= (al,a2.acal +c0 0 0 1 0 、0 0 0 0 1; r4，a5)矩阵分解乘法的分块法则.般法则:在计算两个矩阵4和B的乘积吋，可以先 把4和B纵橫线分割成打十小宋进行.耍求4的纵 W分割与B的横向分割一致。1

13、2 巧W种常川的怡况(1) 4，忍都分成4块it屮A.的列数和Bl7的行数相等，Ai2的列数和B2f的、00 A、00仏x-f -个n阶MPr4,規i tr(A) A的对粕线1:元 之和称为A的迹数。TJi (a/ =(/ra)i_1a/r=raprapJ矩阵方程与可逆矩阵两类基本的矩阵方程= C若知道C和A，召屮的-个，求另一个，这 是乘法的逆运算.两类锥本(/)Aa = B(II)xA = B邢;G求H.|ApO(I)的解法:(，PM 印)B = C. 右消上 fh BA = CA=B = C。 hf逆性的判别，逆娜的计算 定砰：打阶a nr逆 |/i|#o证明：“二” AAL = E（圳

14、_1 W1，1.当4, B都是n阶矩阵时4. 5邢可逆AB可逆 命题:初等矩阵都可逆，li|斗4-| = |卜1.|A|不为0(且卜-|卜A-=”找/既HAx=E的解.又足.M = 的 !.|4卜0, Ax = E 1*，Cv=(A*y.(艸= |A:4。P.A，aA o 兄+ j2a:+A +xja1 Ho,a,A ,a)x = p apa:，A，a，af八，at巧研戌一线忭代数Edited by 杨91 铸 2005 年 10 门Av = p nw. wp rm a 的列w :相i农Prflz.A .pt -apa”八,a则存在姐阵C，(p/A，/?f)=(arf/2,八，a、)C例如 P

15、l=al+ a2 十 a5 ，P2 = 2a2 十 a3 Pi = 2a2 + 3A)=k25H 2023,线竹:忐4;关系“传递件，即与P、，P 人 Pt ara:,A-rrr:,A,rp.则/7p/72,A，/7, -rrA，等价关系:如果,at与A, Ax，八，A互相 I 痛线性相关性1.定义与意义a”a)，a 戈 piUfi， 就称它们等价，记作o,a:，八，af s从，/?2,八，pt。Wa1?a:.A，a，的内在线关系at =1、0,a2 =01 ai =0、0，a4 =ri0、0J101线性相关：存在向久nJ 111 Jt它向 久.八,2,._ra,+rA ,（z,线性农/jl线

16、性无关：付个向吊a,不能HHt它向吊线性表示 定义：如果存在不全为0的,c,. c1c71 + c2a2 +A + ciai = 0.则称a,a:，八，a，线性相X，否则称ax.az.A .a,线 ft无关。例talc, #0.则clal =-cza, - A -c,a,.a, =-a, -A -a,. ci ciaL，a2，八，a、线性无关，即Sc+A ctaa =0 吋必介q =A = c, = 0 A, a:，八，线性相（无）关 xlal +A + x,at （）有（无）#零解o（ara2，八，a,k = 0灯（无）|年解5 = 1.即甲.个向xa = 0 a相关oa = 05 = 2,

17、扣关分吊成比例ai =（屮，a:，八，fl”）. a2 =brb2,A .bn）aL，a2W关:/人=a2 :b2 =A =an hH性质如果向:：l个数5二訛数，则，八.aa线性W（无 关 o|Atz;l| = （#）0 研点一线忭代数Edited by 杨凯钧 200510 1|= （o，7”八，aj Ax = Oft非Wo|j4| = 0如果5/|，则aL,a2.A. ,af 定+11关。Ax = Q的Z/ft?个数nffpa2，八 9atcx人，c，c 不全为 0, 使得c1al +八 + c，q + cP = 0则K屮，否则crA，c,不全为0 .c.+A +c,zx = 0,与条件

18、anA , X,A，a，时，表示方式唯一as）c关.（表示方式不喵一Oa,A a，相关）W/7t,A ,/7, -6?rA，a并且5,则/7pA，A ，定线性相关*记4 = （a，aJ,权（A，八，A），则存在川矩 阵C*.使得B = AC.c.x=oiis 个方fii. /个未知数.5m irw7 Ci = 0.则Bt = AC J = 0 ,即/也Bx = 0的專；解，从 曲从，八，/?,线性相关.托性质的逆内形A如果a.a2，八，a,无关，则sn .Mara2.A .a. %八a，,汉八从无关，则，推论：打W个尤关向GtaiA a.勹八/?,匁价.则j = n极大无关组和秩4以打多人的线

19、性无关的部分组?1 =1、0，a2 =00A，a3 =-100 r20 nA =0A Pl =0、0 Pi =-10 A =l定义aPa:，八，a,的一个部分组（/）称为它的一个极人尤4研&点一线忭代数11Edited by W 况钧 2005 年 10 门关组.如果满足:i (/)线性尤关，if) (/)再扩人就相关.U)#ara:，A .a,(/)s%A a, s(/)W定apa:，八.a、的佚/(artz2,A ,a, )=#(/).如果.?:，八.a, 个儿系邢足岑14则规定其秩为0i t 论：i5l 7 (al, A，a,) = 3aaa6无关？扣关无关？结论：一个线性关部分组(/)

20、, ?#(/)等J秩 a，a:，a4，(/) (/)就一定是极人无关组.性质(应用)R.a:.八，a、尤关o /(A.a:,八,at)=s./?-ezpa:.A，a,，a,，/?)=/(tzrA .a )取a：，么，八， 义.八/?-相关咖.A.a身个，八，卞 了， l(a*rA ,a,)+h/? U a*，八，a;p if 川 avN，as 咄一农示 /(rA .a,)=/(arA，a,)= jAA Pt apA，ff r(ffPA，U人，及)=r(atA，a,) =/(AA，/，a，)巧，八wA，八，A o/(A，八 ,)=7(A ap.X A)=/(AA .A) ，a,的秩的计算斤法：阶

21、梯形/(a：，八，a,)=/J的lh岑仃数。有相同线性关系的向董组 两个向 17 相冋个数的向歐: A.a:，八，a、，p、，p:，k，pt,并II向字:A W xral + x2a2 +A + xsat = 0与+ x2fl2 +A + xsPs = 0同解.则称它们有相同的线 性关系。对W的部分泔ff-致的扣关性。 a” a2，a4的对hV部分组从，見，久 nalta29a4m 介小全为0的 qW2+qa4=0,即(crc2cA ,0)Exlal +x:a2+A + xsat =0 的解，从血也Ex+.v,/?. +A +x，p： =0的解.则訂 qA+c:/?2+c4/74 = 0.A，

22、久，A也扣关.极人Jt关组相X-JW,从而佚扣等.有一致的内在线农承关系，如 a3 = 3 + 2a: - a4 /73 = 3/?t + 2/7, - /74 研点一线忭代数Edited by 杨 31 钧 2005 年 10 门St： 4 = 八，o;), B = p、p人pY 则r(4)=0 A = 0A if满秩：r(4)=/wxlal + x2a2 + A + xxa = 0 即 Av = 0,4列满秩:r(4)=nxlfl1 + xzpz + A + x3/73 = 0 即 Bx = Q ,al9a2J ,a，与，久0110121725!000104214010)1000004的行

23、秩=C的行秩II/!的列秩=C的列秩r(A)的计算:用初等变換化4为阶梯形矩阵忍,WiB的II岑行数即r(4)。命题：r(4)=4的作；子式阶数的K大ffU矩阵的秩的简单性质0 4) niui /?/./!n 阶A 满秩：r(A)=n4满秩0 4的行(列)向K组线性无关 |4 * 0可逆 Av = 0只有解.Ax = p唯一解，矩阵在运算中秩的变化初匁变换怳持补叭的秩r(A，)=r(A)c# 0时，r(cA)= r(A)r(A5)r(A)+r()r(A8) nunr(A),r()AB = C = (W“.r，)II，0J4可逆时，r(AB)=r(B)逆时，r(AB)=r(A)r(AB)r(B)

24、B = A-k(AB), r(B)r(AB)奵A行=0,则r(A)+r(B) r(A)+ r研点一线忭代数13Edited by 杨31 钩 2005 年 10 ZJ第五讲线性方程组方程组的表达形式A A + ai2X2 + 八 + 人=厶 1a2lxt + a22x2 +A + a2nxn = I):AAv = p&解 An = Pxax2aXxltan=p17解oa:，八.a解的性质Ar = 0的解的性质如果足 组解.则它们的任怠线性组介 f/i + c2i/2 +八+ c儿一定也足解V,，初,=0 = 來,+ c: +A + cfTf) = 0Av = pfl * 0)如果么,么人，彖足

25、= 的一组解，则G+：+a +cr 也足 Aa. = P 的解 + c2 +A + cr = 1+ c22 +A + ctt 足 Ax = 0 的 w q + c2 + 八 +cr = 0 =Zvi+cJ=ci41+g4+A +4 么=(c + c2 +A + ce p，么WAv = /7的两个解吋，H込Ax = 0的 解如K古。2 A x = /7的解，则维14 W #也E Ax = P的解 f 一彘足Ar = 0的解，解的情况判别Ax = p.即 xlal + x2a2 +A + xnan = fl fj Wo/J-xZi.aA ya0/(.a,.A ,tzn，Z?)=/(a,.a,.A

26、,an) /(A|/?)=/(A)无解 /(4|)y(A)唯一解 y(A | fl)= y(A)=n无穷多解/(A|ZO=/(A)方程个数w: y(Ap)m.y(A)m?ui/(A)= in 时，/(A /?)=/ Wi/ti n时，y(A)1有左消去律，即 AB = Q= B = 0AB=AC8 = C证：记5 = (/，/?:，八.久)，则AB =(Aflk.AAB = 0即对毎个/，Afl, = 0 .WAAv = 0的解 Av = 0!Ui;解，故=04 A(B-C)=0. B C = 0,推论2 MA列满秩.則/(A扪= /(B)14Edited by杨况钧2005年10门巧研如识点

27、一线忭代数 2?通解证：卜曲证 ASx = Ojffx = O |“解. 的解 OA矜/ = 0 B/; = 0 /; E： B.v = 0 的W基础解系和通解Ax = 0有非零解时的基础解系记JAx = Q的全部解的集合。 称J的极人无X3UjAv = 0的W础解系。 八，久是Aa = O的祺础解系的条件:埒个7,邢足Av = O的解./,线性无又Ax = 0的毎个解;/ - qx，l2，八j)r 定fl!: /(J)=m-/(4)/(J)+/(A)=/i阶梯形Hy(A)=B的IMP行数Bx = 0 j /(A )个除 iJO = O), W 此 17n-y(A)个11山未知J /a . f

28、/2 .A . nr足Av = 0的w础解系的条件可換 为/ = ”-/( A证明:当 AB = O时，y(A)+y(8) 妹% + q:)=+ ciA,h =也i每个W征|HjW:fiW -IHEffi,而许多W征叫砍打 相同的特征仇*计时先求W征侦，后求特征14眾。-x-A 3x-Ax-Ax-A.)A n阶矩阵，求A的特征向番与特征值 = 0o（AE - 4 V/ = 0.7 * 0/7U-Alv = 0的 II.岑解命 JE: AHA 的 WfiEtfio|2 A| = 0/ W i* A 的 W 征向吊 a / S （A E-A = 0 的 IF 痛称多项A|xE-4|为A的特征多项A

29、。AA的特征（fioA足A的特征多项式|.v - 4|的 朴!。2的氓数：乂作为|.rE-A|的根的Hi数。阶m A 的特征个：A p2 2,A ,2 b, |，J能 Jt屮打的小a实数.介的足衫亚的.计w步骤：求出特征多项式|xE-4| xE-A的根.衍特征俏。对毎个特征tfiA 4.,求（A iE-A）x = 0的非岑解.得属于2/的特ff向釅*杂，W难，不作一般的嫂求.两种特殊ffi形：（1）A是上（下）三角矩阵，对角矩W时，特征值即 対坧线上的x索，（2） r（4）=l 时：4 的特扯侦为0AA,0./r（A）3.特征值的性质命题：阶矩阵A的特征（ft 4的巫数 w- r（A E-A）

30、命题：没4的特征侦为U2，八，乂,则A l+2 :+八 +A n=/r(A)2L X22 A 為 -1-0,4為比较网边的常数项部分w比较两边的x5的系数W：-(/I 1+2 ,+ 2 5+/1 4)左沾会 / 的一 (a +a22 +rt +a)=-tr(A)4.与4相关的矩阵的特征向量与特征值项II命题:设是4的特征向R,特征值为义，初=初，则对 PA 的 W个 g 项 A/(A). /(A/ = /Ct)7例如：Arj = AAAr/ = A 3776研&-71UUI点一线忭代数Edited by杨汍钩2005年10门UlAU = B.则 A = UBU(2A + E7 = 2Ai7 +

31、 =(2Z + l7(A5-4A5+2A:-E/ = ( 5-4A 5+ 2A 2-l|r/当4可逆时，A =丄7.=AA初=初= =Z4-1/; = A-1/; = -5-7 Z| A|/7 = Z4*7Z命题：SA的特征伯为2 A:，八，2、.则0/(4)的特征K为/U./(乂 J4 4逆时，A1 的特征, X | a 2 A w，八A* 的 MfiEffi 为1 乂：Ar的特征tfi也足2,，乂 2.A ,2 n xE-Ar=xE-A)T = xE-A5.特征值的应用求行列式|AK，乂M 人判別可逆性AA 的特征 ffto A E-A = Q A-AE 十逆 A-AE叫逆o /不足A的特

32、征tf/(4)=0时.如果 /(c)# 0,则 A-cE J逆Xi A R, A的特征仉.则/(A) E f(A的特征仇 = /U)=o./(c)# 0 = r不足片的特征tfio AcE可逆.，二n阶矩阵的相似关系A. 5足两个/阶瞞.如果存在1阶可逆騰I/， 使得UlAUBt則称A与相似,记作A-B.当 AU=UA 时，H=A. iluAUUA 时，HA. 相似关系钮1)X，f称性：A-BOB-Aii打传递性：A-B. BC，则A-CUlAU = B, V lBV=C,则(t/V)-lA(l/V)= V-AL/V = VlBV = C 命题时，A和石饤i午多til同的性质|个 |B|=|叫

33、十-|，|，/=/(扪4，万的特征多项式相同，从而特征衍完个一致。xE8 = xE-UlAU = |Z/-*(aE-4X/| = |.vf-A|AiB的特征向W的)t系，/足4的 p乂的特W: 向tot/-1/足B的M J A的特征向量。初=初o 冰rV/)=XXLT1 A，卜又IT1” OU AUU _J/7 = A(U lrj)三.n阶矩阵的对角化4足否w似r一个对角知?不足每个矩W都相似J-对ffl矩阵的.例如 A = 1 iWlAU=(A 1 . WU ,= A H (0 1)0 /ij则 A = E 搖本M题判别阶矩阵是否相似F对角矩阵(好对角化)实现问题，构造同逆B1阵V，使是对角

34、矩柚本定理A可对悄化o 4有h个线性尤关的特征 向S。没nJ逆炻阵/= (/,%.八，/)则%0000人00UlAU =0000000巧研点一线忭代数乂,0000乂:0000 o0000人X，f付个阶实补阡A，idx = (.vl,A,.rJr则 =(似，仏.八，外;卜个二次型.。初,=又刀,，f = l，2，A，/J 判别法则4可对角化xj ra的毎个特征似.乂的歌数当岑是-篾特征值时，助l = n-r-4)定成 立，只须对数丨的特征推论:如果4有个不同的特征值，则/! 一定4对ft 化。对角化的实现(可逆矩阵1/的构造：对W个WfiEfii x,求ll,(AlE-A)x = O的一个基础解

35、 系，把它们合在一起，得到n个线性无关的特征向质， ”八。令 1/ =八，,)，則卜000UXAU =00乂：00 O00，其中人为仿的特征.000A人J仇。第七讲二次龟(实二次)一.基本槪念二次型及其矩阵乂次喂足多个变W的：次齐次多项式函数，如f(xl9x29x3 )= 2Xj + Xj + 4.trr, - 6xtx + 5x2x5是一个三元二次喂.它的毎一项都是二次，或是一个变黾 的卜方.称於项成足两个不同变鼠的乘枳，称为交义 项。个元二次甩的-股形八为解f(x2.A，义 )=十2心,，J羞lJMfj T方项的二次奴称为t小准二次增。 形如：a; +x; +A +x; -x - A的A;

36、二次喂称为规范二次1112，则a3:anVa2ia-X232irviX,13XJ例 /i = 3 时，A =x7 A.x = (xrx2,xi=iaxJ*.7-1it屮平方项的系数都&4的对ft!线上的元A,而交叉 项的系数足久+an 我们nJ利用矩阵的形穴來写出一个二次型.如把f(xt,x2,x3)= 3xf - 2Xj + x + 4,vrv, -6*J，+ 5x2xs f/ixTAx的形式.A的对角线I.的7GIi确定的. 依次为nn = 3, a22 = -2, a=l，flUJffj线外的元索 不坫唯一确记的.只满足.al2 + an = 4 . l3 + an = -6. aZi

37、+aK = 5,就 可以。我们要求4是个对称矩阵，则它就足唯.确定的 了。称这个实对称WW A为该二次墩的矩阼。 ，义J = .y7Aa称4的秩力这个二次负的秩.标准二次哳的 阵足对角B:阵.可逆线性变量换， ，an-个h元二次咿f(xrx2.Atj.引进新的一组 Edited by 杨31 钧 2005 年 10 门6研点一线忭代数Edited by WtH钧 2005 ，l+2，2+A+AM逆矫阵）代入/Un.v;.A ,.v）,得到y,，八,yn的一个二次窄g（y，,yJiAH的1*作称为对/Ua .r）作r一次nJ逆 浅性换。&V = （；,A ,yjr .则上ifii的变换式4写成x

38、 = CY则/Ua xlt）=xTAx=YTCTACY = g（yiA oJ1 g（）,A人）的炤阡为CTAC （C7 耐=CTArCT=CTAC实对称矩阵的合同两个/i阶实对称 4和5,如果存在n阶女可逆矩PI C.值得CtAC=B.称沒合同，记作A-B命题：二次M/UA xn）= xrAxnf用4逆线性变换fl 換化为yiAyn）=yTAzB二次型的标准化和规范化每个二次型都可以用可逆线性变量替换化为标准二 次型和规范二次型，也就圮埒个实对称矩w都r对角卽和规范对角 鵬.个实对称矩pi.则介在ie交g.使wA-D. AzD标准化和规范化的方法正交变换法fid方法惯性定理与惯性指数定理一个二

39、次帮用14逆线性变换羚换化出的标准 形的各个y方项的系数屮，人j o的个&和小ro的个& 是由原二次揪所决定的，分别称为原二次甩的正、负惯性 指数一个二次型化出的规范二次型在形式上是唯一的，也 即相应的规范对角矩阵足咁-的。川矩阵的访方宋说：一 个实对称圯阵4r咿一规范对角轵阵。二次M的IE、负惯性指数在可逆线性变黾K换卜+ 变：两个二次制可可扣W化的允耍条件足它们的正、负惯 性折数相等。实对称矩阵的正（负）惯性指败就等于正（负特征 位的个数。正定二次型与正定矩阵1.定义-个二次制/（，八，.xj称为正定二次吻，如果.1 xrA，. 小全为 0 吋.，-rj 0 例 如， 标 准 二 次 型

40、/（xl9x:,A，么）=+八 + iE 定 O dt 0 i = 1，八，（必要性=”，取 =1，x2 =A =0,此 时/（1.0.八.0）= clL 0同样可证毎个 0 ）实对称轵阵iE定即二次定.也就足：当 x#0时，/Av0。6研戌一线忭代数A00又.0000例如实对角Hi阵0000正定000乂规定力它fH对碗分W:乘积之W议a =a.垂b. AB.则MM&=a P2.性质对称性：（7，A）=（A）双线ftfI:质：（a, + a2.川=（%，川十（a2 .川(Z,)=A+2+A +anbn性质与判别吋逆线性变换矜换保持正定性./U，x,A，x）变为g（y”y2，A，）0,则它们网时

41、正 定或叫时小正定。A2B.则忍冋时正定，冋时不正定*例taB = CMCo如果A正定，则对每个x#0(a./?1+2)=(a./?1)+(a./72)x1 Bx = xTCT ACx = (CxY ACx 0 (cir逆，x*o. ex#o!) 我们给出关PiE定的以卜性质。4 正定 A-E(ca,/J)=c(a,/)=(a.c/J)iE交性：(z,0. Il (a. cr) = 0 o cr = 0 M=a；足 个h阶圯阼，CAJiA的西北用的r阶小Ao存在实叫逆A = CrC.0 4的正惯件桁数=/。0 4的特证侦个人TO*O A的每个顾序主子式全大J 0.长度与正交lid ?: a 的

42、 IC |a| = V(a，a)=德|a| = 0 o a = 0叫.称|4,|为A的第r个_序+:+式（或r阶颗咿主+式）。 判M正定的三种維顺序主子式法。特征仇法。定义法。MHIM中位14 51： K；度为1的向Gt附录一内积.正交矩阵.实对称矩阵的对角化以下谈到的向景，矩阵ffi延在实数的范围屮心，rfij向 说的分砑都坫实数.矩W的允索也部足实数.100f10oyV220_V22边单位向尕.称为a的巾.位化。一.向量的内积1.定义W个维实向的内积圮-个数.记作（a.pY个向W：a./7ta果内积为0: （a./?）=0.称它们是 Edited by杨况钧2005年10门21Edited

43、 by W 况钧 2005 年 10 门6研点一线忭代数lE交的.如果w维向ara2,A，a5两两il:交，并11甸个都久十總-驗:足中位叫!:,则称A中位出交14 Mill.二.正交矩阵_化:/A=W 2=為，/5 =P、N-个炙/?阶圯K A如米满足/L4f = f.就称为正交矩 阵。Ar = 4-1定押 AffliE交W W o A的行向5?织足中位正交叫 ft组. A的列句员组S中位正交向吊组*证：没4 = （%，A，art）则y-ArA = A.a:，八,a足绝位正交叫识组。三.施密特正交化方法这足把一个线性尤关的向识组改造为与之等价的中位 正交向頊组的方法。Pl a= p-cam /?,，n2