方法精讲-数量3唐宋笔记

1、方法精讲-数量 3（笔记）【注意】今天的内容有两个，一个经济利润问题，一个几何问题，先看经济利润问题。第六节经济利润问题1【知识点】经济利润：有一个点与行程问题较像，就是有很多公式，但这些公式比行程问题好理解，因为可以结合生活经验（每天都会买东西）去理解。公式：利润=售价-进价。利润：经济利润问题很多都是研究一个商店卖东西能赚，会涉及到利润。利润在经济利润问题中是指售价比进价多出来的部分。例：唐宋老师开了个商店，进了一个商品是 100 元钱，卖了 120 元钱，利润为 120-100=20 元。利润率=利润/进价。如果卖很多种商品，这个赚 20，那个赚 50，且价格不同，有的是 1000元赚

2、20，有的是 50 元赚 20，利润率就不同，此时就用利润的百分数去想。所以唐宋老师商店卖的产品利润率=20/100=20%。学习任务：授课内容：经济利润问题、高频几何问题时长：2.5 小时3.对应讲义：165 页172 页4.重点内容：成本、利润、折扣相关的公式，能准确地计算分段计费问题常用的几何公式、常用三角函数以及勾股定理常考的几何结论，以及相似三角形和最短路径的解题技巧2利润率在资料分析和数算中不同。数算中：利润率=利润/成本（进价），在进价基础上算的利润率，称为成本利润率。资料分析中：利润率=利润/营业收入，在收入基础上算的利润率，称为收入利润率。不同的学科研究重点不同，数学中研究的

3、是成本的基础上赚了多少；资料中研究的是收入中有哪些是利润，研究的是一个 问题，如 1 个亿中有 1 千万是利润还是有几千万是利润，把利润率当作 理解。知识点不会一起考，数量关系是一题一题出，一般在试卷中间；资料分析是一篇一篇出，一般在试卷最后。售价=成本*（1+利润率）。推导：售价=进价+利润，利润=利润率*进价，则售价=进价+进价*利润率=进价*（1+利润率）。例：a.进价 100 元，利润率为 20%，则售价=100*（1+20%）=120 元。b.已知售价为 120 元，利润率为 20%，则 120=（ ）*（1+20%），就可以求出（）=100 元。折扣=折后价/折前价。例：原来是 1

4、00 元，现在售价为 120 元，如果现在打折变成 60 元，请问打了几折？（打九折售价是原来的 90%，打八折售价是原来的 80%，打几折就是原来打折前价格的百分之几十）答：打五折，120*50%=60，注意不要用进价 100 和折后价 60 比较。打折是在售价基础上打折，与成本价/进价没有关系。折后的考法有一些省份会出特殊概念折扣率，如折扣率为 20%不是打两折，而是打八折，因为打八折是卖 80%，与原来相比少了 20%，20%就称作折扣率，所以折扣率为 20%=打八折，打八五折=85%（这种考法在江苏出现过，别的地方考的很少）。一批商品，研究总售价或利润的情况。总价=单价*数量。例 1（

5、2018 江西）某品牌的葛粉进价为 20 元，现降价 20%卖出，结果还获得进价 52%的利润。那么，该葛粉的定价是多少元？（ ）A.36B.37C.38D.39【】例 1.“降价 20%”指的是在售价/定价基础上降价的，降价 20%是打八折。而题干中“进价 20 元”是成本。52%=利润/进价=利润率。题目中所求的定价是打折前原来的价格。设定价为 x 元，根据折后售价=成本*（1+利润率）列式得，x*（1-20%）=20*（1+52%），化简得 0.8x=30.4，则 x=30.4/0.8，选项很接近，要算两位，首位商 3，次位商 8，对应 C 项。【选 C】【注意】1.本题考查最基本的公式

6、的概念，要对数字间关系熟悉，不能想当然的看错。如“进价 20 元，降价 20%”不是卖 16 的意思，是在定价的基础上降了 20%，打八折，打八折后获得进价 52%的利润，52%是指利润率。2.利润+百分数，理解为利润率，如 20%的利润，意思是利润率为 20%。3.降价 20%是打八折；降价到 20%是打两折。3总利润=单个利润*数量。总利润=单个利润*数量=总售价-总进价。在用总利润=单个利润*数量时，一定要注意陷阱，如果有些商品卖不掉，不卖了，如：生产一个的成本 1 元钱，有些卖不掉了，不卖了，卖不掉的就亏了 1 元，亏损的要另算。若一个赚 1 元钱，卖了 100 个，赚了 100 元，

7、但是还有 10 个没有卖掉，亏损了 10 元，也要将这 10 元算进去，即实际利润=100-10=90 元。用总利润=总售价-总进价运算时，卖的就是售价，进货的/生产的就是成本，卖掉的、卖不掉的都考虑进去了，就不用额外单算。一般容易算对，不容易算错， 用此方法做题。无论求总的什么东西，用单个的对应概念*对应的个数即可。3.公式中，第一个和第二个是定义，把概念搞清楚，不要理解错；第三个是推导。在 过程中都有可能考，但是最重要的是前面两个，定义错了后面就没有办法做了。4.代入做也可以，但是会出现小数，计算量较大。例 2（2018 山东）商店购入一批某种水果，如按定价销售，每千克23元。销售总量的

8、5/9 后，每千克降价 8 元卖出剩余部分，销售这批水果共2275 元。问按原定售价卖出了多少千克水果？（）A.60B.65C.75D.80【】例 2.23 元，就是利润。有原定售价和降价的过程，分两个阶段（按卖的和按降价后卖的）去看较好理解。因为总共（利润）2275元，总利润=总售价-总成本，但本题没有给具体的售价，所以用总利润=单个利润*公斤数计算。按卖单价为 23 元，但数量未知，因为卖的重量是总量的 5/9，所以设总量为 9x 千克，则按卖的数量为 5x 千克，降价后卖了 4x千克。所以按卖的利润为 23*5x，根据按卖的单个利润*数量+按降价卖的单个利润*数量=总利润列方程，但是降价

9、后的单价未知，因为在进价不变的情况下，售价变多少，利润就变多少，本题中降价前的利润为 23，降价 8 元，则降价后利润=23-8 元，所以根据等量关系列方程为：23*5x+（23-8）*4x=2275元，约分后得23x+12x=455，解得x=13。问的是卖的千克数5x，则5x=5*13=65。【选 B】【注意】1.在进价不变的情况下，售价变多少，利润就变多少。2.本题中将总量设成9x 是按照倍数特性设出来的，如果设成x 会出现分数。例 3（2018）某水果批发商从果农那里以 10 元/公斤的价格了一批芒果，运送到某地区售出。在长途过程中有 5%的芒果磕碰受损和另外 5%的芒果过度成熟，因此无

10、法卖出，其余部分以 25 元/公斤的价格售出后，如果不计等其他费用，这批芒果赚得利润 12000 元。则该批发商从果农那里了多少公斤芒果？（）A.480B.800C.960D.1000【】例 3.方法一：已知进价为 10 元，水果中 10%卖不掉，还有 90%的4水果是按照 25 元/公斤卖的，总利润为 12000 元。优先使用总利润=总售价-总成本=卖掉的售价*卖掉的重量-总进价*总数量。设了10 x 公斤，其中x 卖不掉，卖掉的部分为 9x，所以根据关系式列方程为：25*9x-10*10 x=12000，化简得 2400=（5*9-20）x，解得 x=2400/25，首位商 9，根据题目和

11、所设未知数，要求的是 10 x，因为 x 是 9 开头的数，所以 10 x 首位不变，也是 9 开头的数，对应 C 项。方法二：运用总利润=单个利润*数量做题。设总重量为 10 x，已知为 25，进价为 10，所以单个利润为 25-10，因为在销售的过程中有 0.5x 磕碰受损，0.5x过度成熟，无法卖出，所以卖出 9x 的水果，则列式为 12000=（25-10）*9x，这种做法是错误的。要把磕碰受损和过度成无法卖出的部分算进去，亏损了 x，亏损部分的售价为 0，所以亏损的就是成本。综上所述，根据关系式列式为 12000=（25-10）*9x+（0-10）*x，化简得 12000=135x-

12、10 x，则 x=12000/125，首位商9,10 x 首位商也是 9，对应 C 项。【选 C】【注意】1.算出 x 等于多少时，一定要看需要求的是几倍的x，如本题，如果要求的是 5x，则首位是 4 开头，本题求的是 10 x，所以首位不变。2.在用总利润=单个利润*数量做题时，出题老师会出陷阱：在一批货物中不会全部卖完，会有一些货物卖不掉，亏损了。如本题中磕碰受损和过度成无法卖出的部分，所以要把亏损的部分算进去。3.有无法卖出的题优先用第二种方法，即总利润=总售价-总成本。例 4（2015 江苏）某商品今年的成本比去年减少 15%，由于售价不变，利润率比去年增加了 24 个百分点，则该商品

13、去年的利润率为（ ）。A.24%B.30%C.36%D.42%【】例 4.售价不变是与去年相比，有时间点、有多个主体，用列表法解题。如图，去年到今年涉及的主体有成本、售价和利润率。列表法写出主体需要填数，在填数的过程中发现题目中给的数据都是比例，求的也是比例，没有给具体数值，此时需要赋值。赋去年成本为 100，“今年成本比去年减少 15%”，则今年的成本为 100-15=85。设售价为 x，因为售价不变，所以今年和去年售价都是 x。利润率=利润/成本，所以去年利润率=（x-100）/100；今年利润率=（x-85）5/85。因为“利润率比去年增加了 24 个百分点”，所以（x-100）/100

14、+24/100=（x-85）/85。方法一：（x-100）/100+24/100=（x-85）/85，化简得（x-76）/100=（x-85）/85，交叉相乘得，17*（x-76）=20*（x-85），解出 x=136（较难算，计算量较大）。去年的利润率=（136-100）/100=36%，对应 C 项。方法二：（x-76）/100=（x-85）/85（将分子分母同时做差做和，进行比例传递），原式约分后得（x-76）/20=（x-85）/17，将分子分母做差得：（-76+85）/（20-17）=9/3=3，则（x-76）/20=（x-85）/85=3，解得 x=136，去年的利润率=（136-

15、100）/100=36%，对应 C 项。【选 C】【注意】1.对“利润率比去年增加了 24 个百分点”的理解：去年是 10%的利润率，今年的利润率就是 24%+10%=34%。2.如果去年利润是 1000 元，今年利润是 1240 元，则文字表述为“利润增加24%”。3.有时间点，有多个主体用列表法解题。4.（1）一般来说，有成本有利润的题一般赋成本，因为利润、利润率是在成本的基础上算的；将去年的赋值为 100，因为今年是在去年的基础上改变的。（2）赋值的特点：赋任何值不影响的计算，为了看起来更具体，所以会赋值，成本会做减少 15%、减少或增多百分之几十几的运算，如果设小了，可能会出现小数。5

16、.小技巧：如果 A/B=C/D，那么 A/B=C/D=（AC）/（BD）。（1）例：6/10=3/5，（6+3）/（10+5）=9/15=6/10=3/5，（6-3）/（10-5）=6/10=3/5。（x-76）/20=（85-x）/17，分子分母做和得，（x-76）+（85-x）/（260+17）=（85-76）/37=9/37。（2）目的：不论是做和还是做差，都是为了消 x。等号左边和右边未知数同负，用减法消x；等号左边和右边未知数一正一负，用加法消x。（3）练一练：（x+24）/100=（x+15）/85=（x+24）-（x+15）/（20-17）=9/3=3。如果本题是将利润设为 x

17、时就会得到这个算式。所以（x+24）/100=（x+15）/85=3，解出 x=36，说明去年的利润为 36，则去年的利润率=36/100=36%。【知识点】分段计费：1.在生活中，水电费、出租车计费等，每段计费不等。问：在不同标准下，一共需要的费用？2.计算方法：（1）按标准，分开。（2）计算后，汇总。3.例：某地出租车标准为：3 公里内 8 元，超出 3 公里，每公里 2 元，打车坐了 12 公里，共花费？答：12 公里分为 2 段，前面 3 公里，为 8 元；后面 9 公里，每公里 2元，则列式为 8+2*9=26 元。4.变形：若增加为超出 10 公里的部分每公里收 3 元。答：方法一

18、：本题分 3 段，第一段是 3 公里（8 元起步价），第二段是 310段（走了 7 公里，2 元/公里），第三段是 10 公里以后的（走了 2 公里，3 元/公里）。则 8+2*7+2*3=8+14+6=28 元。7方法二：在原题中计算出如果超出部分是 2 元，需要26 元。本来要求是超出 3 公里收 2 元，之后又改为超出 10 公里的收 3 元，则说明超出十公里比原来超出 3 公里的要多3-2=1 元，而超出十公里的部分为 12-10，所以列式为 26+（12-10）*1=28 元。但是时不会有这样的前提。例 5（2016）在停车场停车，每个月前几个小时内的基础价格为 5 元/小时，之后按

19、照基础价格的 90%，某月的停车时间为 120 小时，共交了 545 元，则按照基础价格停车的时间为多少小时？（ ）A.8B.10C.15D.20【】例 5.方法一：前几个小时基础价格为 5 元/小时，之后按照基础价格的 90%，说明之后为 5*90%=4.5 元/小时。只分了 2 段，设按照基础价格停车的时间为x 小时，因为一共停了 120 小时，所以超过基础价格停车的时间为 12-x，所以列式为 5x+（12-x）*4.5=545，解得 x=10，对应 B 项。方法二：可以不用列方程，按照假设的方法去做，假设全部都是按照基础价格的 90%收，都是按照 4.5 元/小时，没有 5 元/小时的

20、标准的话，共收费 4.5*120=540 元，而现在545 元，实际总费用比假设情况多收了 5 元，因为计算出来的一部分时间实际上是按照基础标准 5 元/小时的，基础时间每个小时多 5-4.5=0.5 元，共多了 5 元，所以基础时间=5/0.5=10 个小时，对应 B 项。【选 B】【注意】1.方法二与解方程步骤相似，只是把算式拆碎了，但是计算上并没有节省太多时间（小学解法：鸡兔同笼）。2.方法是要革新的，小学的盈亏、鸡兔同笼等问题可以用方程来替代。方程法与小学所学的方法相比，小学的方法步骤不仅没有少，而且在思考的基础上要额外的学一些东西。8例 6（2018 江西）为了节约水资源，某城市规定

21、每人每月不超过 5 吨，则按2.5 元/吨；超出 5 吨的，超出部分按 4 元/吨，每次时用水量都按整数计算，已知胡家 3 口人，熊家 4 口人。某月月底结算时，胡家69.5 元，比熊家多交了 15.5 元。那么，熊家该月用了多少吨水？（）A.20B.21C.22D.23【】例 6.因为胡家69.5 元，比熊家多交了 15.5 元，所以熊家交了 69.5-15.5=54 元。本题实际是求熊家用了多少吨水花了 54 元？熊家有 4 口人，标准是每人每月不超过 5 吨，则熊家的标准是 4 人*5 吨=20 吨，则熊家一个月用水在 20 吨以内为 2.5 元/吨，超过 20 吨，超出部分按 4 元/

22、吨。方法一：20*2.5=50 元，熊家交了 54 元，而超出 20 吨水的标准是 4 元/吨，正好是多交的 4 元，说明熊家用了 20+1=21 吨水，对应B 项。方法二：设超出部分为 x 吨水，则 20*2.5+4x=54，解得 x=1，所以熊家用了20+1=21 吨水，对应B 项。【选 B】【注意】出题老师想把难度加大的话，可以改为熊家比胡家多用多少水。就需要同样的方式把胡家量算出来，两者做减法。【汇总】1-5：CBCCB；6：B【小结】经济利润问题：91.基础经济：（1）公式：利润=售价-进价。利润率=利润/进价。折扣=折后价/折前价。总价=单价*个数：总利润的算法有两种：总利润=单个

23、利润*个数（要算亏损）=总售价-总利润。（2）方法：公式法（有具体的钱数：例 1、例 2、例 3）、赋值法（给了比例：例 4）。（3）公式中要了解售价与利润的关系，是课上推导出来的。2.分段计费：（1）水电费、出租车费、税费等。（2）分段计算，汇总求和。第七节高频几何问题10【知识点】高频几何问题（按照出题方式分）：公式类（侧重于考圆的面积公式，圆柱体的表面积公式）、结论类（用到中学学到的一些技巧，如：蝴蝶定理、圆的内接三角形记得结论就好做，记不住结论很难做，甚至做不出来）、技巧类（侧重于分析，相似三角形，最短路径，直角三角形，勾股定理） 1.注意是“高频”，因为要想在短短 1 个多小时把中学

24、的几何问题从头到尾学一遍是不可能的，中学的几何问题学了 6 年，在 2018 年之前不讲几何，但是由于几何问题出现越来越多，所以把常考的高频几何问题进行讲解。2.公式类：规则图形：局限于初中学到的简单公式，高中很少用到。周长、面积等，规则图形：正方形、长方形、圆形、三角形等，有公式的是规则图形。不规则图形：如求一个“L”型的面积或图间）所给图形的面积或给复杂图，求阴影部分。通过转化去求。如求中间图形的阴影面积，可以转化为正方形减去中间 1/4 的圆。一、公式类例 1（2017 联考）某准备扩建一矩形花圃，若将矩形花圃的长和宽各增加 4 米，则新矩形花圃的面积比原来的面积增加了 40 平方米。那

25、么，原矩形花圃的周长是多少？（）A.12 米B.24 米C.32 米D.40 米【】例1.矩形就是长方形。问原来的周长，需要知道原来的长和宽，现在只知道各增加 4 米，不知道长和宽，可以设原来长为 a，宽为 b，那么新的长方形的长为（a+4），宽是（b+4），根据等量关系，（a+4）*（b+4）=ab+40，则 ab+4b+4a+16=ab+40，化简得 a+b=6，周长是 4 条边，是 2 倍的长加宽，即周长=2*（a+b）=2*6=12，对应 A 项。【选 A】【注意】如果知道长和宽的关系可以只设一个未知数，如：长是宽的 2 倍，那么设宽为a，长就是 2a。例 2（2018）长方形恰好分成

26、六个正方形，其中最小的正方形面积是 1cm2，则这个长方形的面积是（ ）。11规则图形看怎么用公式；不规则图形重点看怎么去转化。把题目讲完再梳理公式，现在讲公式可能听不进去，而且很多公式不一定会用，每道题可能用 12 个公式。A.143cm2C.110cm2B.132cm2D.90cm2【】例2.方法一：图是长方形，分出来的是正方形。正方形面积是边长的平方，因为A（最小的正方形）的面积为 1cm，所以 A 的边长为 1cm。求长方形的面积，需要知道长方形的长和宽。根据图可知，五个正方形除了 F 之外都与 A 相邻，E 与 A 相邻且是除了 A 之外最小的正方形，根据设小不设大的原则，设 E 的

27、边长为a，则 F 的边长也是 a（因为 F 与 E 有公共边），D 的边长为 a+1，C的边长为=a+1+1=a+2，a 未知，想要知道一个数的值要找等量关系，因为外面的图形是长方形， 长和宽不一定相等， 但长和长一定相等， 由图可知，a+3+a+2=a+a+a+1，化简得 2a+5=3a+1，解得 a=4，所以 S=（3a+1）*（2a+3）=13*11=143，对应 A 项。,方法二：凡是的题不一定要算，通过观察、目测、测量即可。已知A 的边长是 1，可以通过测量，没有尺子可以看份数（用手比），通过测量可知，E 的边长为 4，F 的边长也是 4，D 的边长为 5，C 的边长为 6，所以面积

28、=（4+4+5）*（5+6）=13*11=143，对应 A 项。【选 A】12【注意】1.2018 年两个省份（和）都考了，考法是中学的经典考法。2.奇偶性不能做本题，S 最后是乘法运算，乘出来是奇是偶取决于两个都是奇数，结果是奇数；一个为奇数，则无法判断结果。本题中 2a+3 一定是奇数，但是不能确定 3a+1 是奇数，所以还需要推出 2a+5，2a+5 和 2a+3 都是奇数，结果也是奇数。但是当想到这步时，本题差不多已经可以计算出结果了。3.方法二不严谨，但是利用的是出题老师给的图，老师画的图 90%是精确图，直接用计算机生成的。4.几何题的优势：有图的情况下可以测量。例 3（2018）

29、本题图中，左边的图形每个小圆的面积为，那么右边图形中阴影部分面积为（）。A.8 C.4+8【B.64-16D.20】例 3.方法一：看选项结构：不规则图形，怎么转化为规则图形，即 S 阴=S 大正方形-S 大圆，观察选项，因为大正方形一定是不带的数字，而圆的面积带，所以是一个减法形式，一个不带的数减去带的，且不能约掉，对应B项。13方法二：完整的解法：求大正方形的面积，需要知道大正方形的面积，因为小圆的面积=r=，所以小圆的 r=1，而左右两个图的边长相同，大正方形的边长是小圆半径的 8 倍，即边长为 8，大圆的半径 R=8/2=4。S 阴=a-R=64-16。【选 B】【注意】1.本题求的是

30、不规则图形，想怎么转化为规则图形。2.几何体图形重要，选项也重要，选项往往会给算式的形式，因为有的含无理数或根号几，有的不含无理数，是自然数、整数，没有办法放在一起。3.考场上优先选择方法一，但是如果选项无法用方法一做，需要知道方法二。例 4（2018 广州），市政部门在一块周长为 260 米的长方形草地旁边铺设宽为 10 米的 L 形道路。已知铺好道路后，道路和草地面积之和为草地面积的 1.5 倍，则草地的面积为（）平方米A.4200B.4000C.3000D.2800【】例 4.方法一：代数思路。根据“道路和草地面积之和为草地面积的 1.5 倍”得出：整个面积为原来的 1.5 倍，原来只有

31、草地，现在为道路和草地之和。此题与例 1 类似。假设原来的（草地）长为 a，宽为 b，则新的长为 a+10，宽为 b+10。根据题意，（a+10）（b+10）=1.5ab，整理得出：ab+10*（a+b）+100=1.5ab，10*（a+b）+100=0.5ab。因周长=2*（长+宽），则 260=2*（a+b），得出 a+b=130。代入式得出：0.5ab=10*130+100=1400，则草地面积 ab=2800，对应 D 项。方法二：几何思路。几何题可以不运用公式进行计算。将道路的不规则图形切分为规则图形，如下图，因道路宽 10m，则将“L”型右下角切分出面积为 10*10 的小正方形、

32、右上是面积为 10*b 的长方形、左下是面积为 10*a 的长方形，则 S 道=10*a+10*b。因周长为，则周长=2*（a+b）=260，得出 a+b=130，S 道=1300+100=1400。因“道路和草地面积之和为草地面积的 1.5 倍”，则 S 道=0.145*S 草，故 S 草=2*1400=2800，对应 D 项。方法三：猜。因“道路和草地面积之和为草地面积的 1.5 倍”，求草地，则S 和=S 草*1.5，即 S 和与 S 草为 1.5 倍关系。观察选项关系，直接看前两位（后两位为 0 省略），则A 项=D 项*1.5，利用以坑治坑，得出草地面积为 D 项。【选 D】【注意】

33、1.“L”型道路没有固定公式。2.此题比例 1 复杂，因额外添加了周长条件，故需要根据周长找出长、宽的和。3.方法一与方法二思路类似，但方法二比方法一更快之处在于 S 道的求法，方法二直接结合图形即能求出。4.因选项较为接近，C 项和 D 项只相差 200，对于 C 项而言只相差百分之几，因此不能目测。【汇总】1-4：AABD15【知识点】几何公式：前面四题：要么为圆、长方形、正方形，有具体公式求解的，要么为不能直接用公式表达，但能间接转化为公式表达的，这些题目都是依托于公式出题的，因此需要复习公式。1.周长：（1）正方形：4a。（2）长方形：2*（a+b）。（3）圆形：2*R。（4）弧长：2

34、R*n/360。如下图，圆中截取其中一段，像披萨饼，求 A 点到 B 点弧线的长度。将弧线看为圆的一部分，假设弧心角为 n，则弧长=圆周长*=2R*n/360。（5）公式不要死记硬背，理解。2.面积：（1）正方形：边长=a。（2）长方形：长*宽=a*b。16（3）三角形：（底*高）/2=（a*h）/2。（4）圆形：R。（5）扇形：R*n/360。与圆形面积类似，如下图，求阴影部分面积，将其看为圆的一部分，则 S扇=S 圆*=R*n/360。弧长是为周长的一部分，扇形面积为圆面积的一部分。扇形的周长弧长，扇形的周长=弧长+2*R。（6）梯形：（a+b）*h/2。如下图，上下两条边平行，另外两边可

35、以等腰也可以不等腰，假设上底为 a，下底为 b，高为 h，找一个一模一样的梯形，倒过来放置，则变为底为 a+b、高为 h 的平行四边形，S 平行四边形与 S 长方形相同，S 平行四边形=底*高=（a+b）*h，则 S 梯形=1/2*S平行四边形=1/2*（a+b）*h。（7）菱形：对角线乘积/2。菱形四边相等，且对角线垂直。如下图，若将对角线往上、下、左、右进行拓展，则各角也相互垂直，变化一个长方形。此时长方形的长为较长的对角线 a，17宽为较短的对角线b，S 长方形=长*宽=a*b，即对角线的乘积。将菱形分为四个相等的角形，扩张时相当于翻倍，则 S 菱形=（a*b）/2=对角线乘积/2。3.

36、表面积：周长和面积为平面图形，表面积和体积为正方体：正方体每个面相同，6*a2。长方体：2*（ab+bc+ac）。图形。长方体有六个面，长*宽为一个面，宽*高为一个面，长*高为一个面，则表面积=2*（ab+bc+ac）。很少考查纯粹的长方体，一般考查无盖的长方体，在 2018 年国考考查过。例：唐宋老师买了一个带游泳池的别墅，游泳池为长方形的，现需要铺瓷砖。游泳池是无盖的，则铺的瓷砖少一个长*宽的面，只有 5 个面需要铺瓷砖。（3）圆柱体：2*R+2R*h。例：如易拉罐，上下两个圆与侧面积需要分开求。一个圆的面积=*R，则上下两个圆的面积=2*R。侧面积：将侧面铁皮展开（如下右图所示），高度在

37、每一个展开的位置都是相同的，即相当于长方形，因此需要求出上边的弧长。上下弧长即为圆的周长，因此侧面积=圆周长*高=2R*h，则圆柱体体积=2*R+2R*h。（4）球体：4*R。近五年没有考查过，需要微积分才能进行推导。4.体积：18（1）正方体：a。（2）长方体：a*b*c。正方体是长、宽、高相等的长方体。长方形包括正方形。正方形是特殊的菱形，菱形为四边形相等且对角线垂直，正方形也为四边相等且对角线垂直，因此S 正方形=对角线乘积/2。（3）柱体：S*h。一般圆柱体考查较多。拓展：三棱柱，如下图，上、下为三角形，则 V 三菱柱=底面积*高，圆柱体亦相同。无论是何种柱体，体积公式都是相同的，因此

38、不用特别是三棱柱还是圆柱，唯一的区别为S 不同，如三角形的面积和圆形的面积公式不同。（4）锥体：1/3*S*h。最常考查的椎体为圆锥，V 圆锥=底面积*高*1/3。如金字塔，底面为平的，上面为尖顶，则为锥形，V 椎体=底面积*高*1/3。19（5）球体：4/3*R3。考查较少，可以打星号，选择性。5.几何公式不建议死记硬背，时不需要这么多公式做题。如前面四道例题，复杂的公式都没有用过，因此公式是备用的，简单的即可。二、结论类例 1（2016）近期正在装修新房，他计划将长 8 米、宽 6 米的客厅按下图所示分别在各边中点连线形成的四边形内铺设不同花色的瓷砖，则需要为最里侧的四边形铺设多少平方米的

39、瓷砖？（ ）20【知识点】结论类：1.此章节没有基础知识讲解，见招拆招，逐步积累。中学学过几百条定理、结论、技巧，不需要学习，只需要在遇到时，记住它，下次运用。 2.例：在一个正方体中，将六个面全部相连，连接出一个正八面体（如钻石），求正八面体的体积。答：此题在2012年国考，2013年联考，2018年陕西考查过。V正八面体=1/6*a（a为对角线长）。若正方体边长为12，则对角线=边长=12，故V正八面体=1/6*12。3.中学时大部分同学都记得正八面体公式，但出题老师是按照大家不记得来考查的。A.3B.6C.12D.24【】例 1.根据题意，即求最中间部分面积，不用考虑瓷砖如何铺，只需要求

40、出面积即可。按照常规思路需要计算面积，若记得中学的结论，则 10s能够做出。此题为四边形，则将四边形平分、再平分，最开始面积为 48，连接了 3 次，则除 3 次，48/2=24，24/2=12，12/2=6，对应 B 项。【选 B】【注意】结论：各边中点连线，则任意一个三角形面积为四等分，任意一个四边形（非特殊）的面积为平分。结论为初中几何的证明题，初中需要证明，但是不需要证明。例 2（2016 吉林）用直线切割一个有限平面，后一条直线与此前每条直线都要产生新的交点，第 1 条直线将平面分成 2 块，第 2 条直线将平面分成 4 块，第3 条直线将平面分成 7 块，按此规律将平面分为 46

41、块需要（ ）。A.7 条直线B.8 条直线C.9 条直线D.10 条直线【】例2.方法一：此题不需要一步步切，出题老师是为了让观察规律，做的是选择题，不需要研究证明规律，只需要枚举归纳规律，四项即能推出规律。1 条直线 2 个面，2 条直线 4 个面，3 条直线 7 个面，则面的个数：2、4、7，不能成等差、等比数列，则需要先观察 4 条线的规律。画图得出 4 条直线 11 个面，此时面的个数：2、4、7、11，两两做差得出：2、3、4，差值构成等差数列，则猜测面个数的差值依次为：5、6、7、8、9，面的个数为：16、22、29、37、46，即 16 个面对应 5 条线，22 个面对应 6 条

42、线，29 个面对应 7 条线，37 个面对应 8 条线，46 个面对应 9 条线，对应C 项。21方法二：根据题意，已知 1 条直线 2 个面，2 条直线 4 个面，3 条直线 7 个面，则 0 条线为 1 个面，此时面的个数：1、2、4、7，两两做差得出：1、2、3，等差数列，此时一样可以找到规律，不用画图找第四条线面的个数，继而得出。【选 C】【注意】1.此题不需要背结论，也没有公式，不用公式，而是理解方法。2.结论：若出现第一个、第二个第 n 个，则枚举归纳。3.在考场上，若能想到特定规律，则能直接推；若没有时间研究内在规律，则能通过数字之间的规律进行求解。4.此种题型以前联考考查过，2

43、017 年联考也出现过类似考法。2017 年联考：第一行有白圈和黑圈，第二行也有白圈和黑圈，网状，问第十行有几个白圈和黑圈？答：此题并非真的要考查网状的规律是什么，第一条线有 1 个白圈，第二条线有 1 个白圈，第三条线有 2 个白圈，第四条线有 3 个白圈，第五条线有 5 个白圈，已知五条线的白圈个数，观察 1、1、2、3、5 的规律，然后推出第十条线的白圈个数。不用研究变化规律，这样会十分浪费时间，且没有迁移性，但是需要理解其思维（枚举归纳），无论是圆形切平面还是直线切平面，只要出现第 1、2、3n 个，求第 n 个，思路都是可以贯穿的。5.拓展：若考场上选出则可以做后面的题目，若平时做题

44、目可以思考题目变复杂会如何。观察发现，第二条线在第一条直线上+2，第三条直线在第二条线上+3，第四条直线在第三条线上+4，此时规律为：+2、+3、+4，等差数列。一条直线为 2 个面，2 为首项，然后计算出连续的差值。例：假设有 20 条直线，第一条直线有 2 个面，第二条直线有+2 个面，第三22条直线有+3 个面，则 20 条直线有+20 个面，故面的个数=2+（首项+尾项）*项数/2=2+（2+20）/2*19。6.此种题型一般考查到 10 的规律，不会考查到几百不同于中学，中学可能会考查一万条线。例 3（2017 联考），甲和乙在面积为 54平方米的半圆形游泳池内游泳，他们分别从位置A

45、 和 B 同时出发，沿直线同时游到位置C。若甲的速度为乙的 2 倍，则原来甲、乙两人相距（）。A.92米B.15 米C.93米D.18 米】例 3.根据题意，S 半圆=1/2*S 圆=1/2R=54，则 R=108=36 3=【63。因甲和乙分别从A 和 B 同时出发，沿直线同时游到C，出现两个“同时”，说明甲从 A 到 C、乙从 B 到 C 的时间相同，则路程之比和速度成正比，故 AC/BC=V 甲/V 乙=2/1，即 AC=2*BC。想要运用勾股定理，需要有直角，若不能判定ABC是否为直角，则可以猜测它为直角。方法有两种：（1）直接目测，因考场上有配图，则可以目测出 ABBC，故ABC=9

46、0；（2）因图为半圆，则 AC 为直径，直径所对的角ABC 为直角（直径所对为直角，直角所对为直径）。根据勾股定理，AB=3*R=3*63=18，对应斜边=直角边的平方之和，则 AC=2R，BC=R，则D项。【选 D】【注意】1.相距多少求的为直线长度。2.求 AB 弧长，则圆心角为到圆心的距离（A 到圆心、B 的圆心的距离）。23【汇总】1-3：BCD【小结】结论类：1.连接各边中点：（1）三角形则面积减少为 1/4。（2）四边形则面积减少为 1/2。2.已知第 1、2、3 个推第n 个：枚举归纳找规律。不用证明规律、推出公式，找到规律即可。3.圆内接三角形：（1）直径所对角是直角。（2）直

47、角所对弦是直径。三、技巧类24【知识点】技巧类： 1.直角三角形：（1）勾股定理：例 1（2016 联考）围着边长为 50 米的正六边形的草地跑步，他从某个角点出发，跑了 500 米之后，与出发点相距有多远？（ ）A.50（3-1）米B.503米C.50（2-1）米D.502米25已知直角三角形两条直角边分别为a、b，斜边为c，则a+b=c。常见勾股数：3、4、5；5、12、13。可以将勾股数成比例扩大若干倍，同样符合勾股定理，如 6、8、10；9、12、15。（2）特殊直角三角形：30所对的直角边为斜边的1/2。60所对的直角边为斜边的3/2。45的直角三角形：即等腰直角三角形，直角边为2/

48、2，斜边为1。中学有较复杂的三角函数不用。出题老师一般考查30、 60、45的直角三角形。相似三角形。最短路径。【】例 1.如下图，假设从 A 点出发，因边长为 50 米，要跑 500 米，则跑了 10 条边。因没有限制方向，则任意方向跑到 B 点，问相距多远，即求 AB。若 A、B 中间点为C 点，即已知三角形两边为 50，故为等腰三角形。C 为正六边形内角，即 120。求 120所对边长，作 AB 的高 CD，根据三线合一定理，D点为 AB 的中点，C 被 CD 平分为两个 60的角。AD 为 RtACD 中 60角所对AD=斜边*3/2=50*3/2，故 AB=2*AD=2*50*3/2

49、=503，对应的直角边，则B项。【选 B】【注意】1.正六边形内角为 120。正多边形中，除了正方形和正六边形，其他没有考查过。2.等腰三角形性质：三线合一，即中线、角平分线、高是一条线。3.看到等腰三角形，考虑作高。4.120的等腰三角形，三边分别为 a、a、3a。5.不会考查一模一样的题目，但是特别典型的三角形会重复考查。例 2（2018 国考）一艘渔船作业时发现其正右方有海上船，于是沿下图所示方向左转 30后，立即以 15 节（1 节=1 海里/小时）的速度逃跑，同时船沿某一直线方向匀速追赶，并正好在某一点追上，已知渔船在被追上前逃跑的距离刚好与其发现船时与船的距离相同，问船的速度为多少

50、节？26A.20B.30C.103D.153【】例 2.方法一：已知 v 渔船=15，求 v 执。假设渔船从 A 点开始逃跑，追上的地点为C 点，船出发的地点为 B 点，此时ABC。因“渔船在被追上前逃跑的距离刚好与其发现船时与船的距离相同”，发现船时，渔船在 A 点，船在 B 点，即 AC=AB。渔船的速度为 15，时间未知，假设为 t，则 AC=速度*时间=15t=AB，需要求出船的距离才能求出速度。与上一题类似，等腰三角形看中间角度，CAB=30+90=120，根据 120内角的等腰三角形三边分别为a、a、3，则 BC=153t。方法二：因渔船发现船时，渔船开始跑，同时船追，即二者同时开

51、始运动，与前面的题目从A、B 出发，到 C 点相遇相同，因此时间相同，即渔船和船的时间都为t，故 v 执=153t/t=153，对应 D 项。【选 D】【注意】此题为 2018 年国考正确率最低的题目，不是因为它的难度高，而是因为出题老师将放在了A、D 项上，因为很多同学蒙喜欢蒙 B、C 项，若考场上此题选择正确，则会有很大优势。【知识点】相似三角形：1.判定：中学有六种方法判定两个三角形相似，只需要记住常考的两种即可。（1）平行线中有交叉，则两个三角形相似。如横着两条平行线，中间打个叉；竖着两条平行线，中间打个叉，此时两个三角形相似。因两个角对应相等，则判定两个三角形相似，如下图，1 对应相

52、等、2 对应相等（错位角）。27（2）任意一个三角形，中间出现平行线，则两个三角形相似。2.性质：（1）各边对应成比例：三角形有三条边，第一条边和第一条边成比例，第二条边和第二条边成比例。如第一条边的比例为 a：b，第二条边也对应成同样的比例 a：b，每个对边的比例相同。（2）面积之比=边长比的平方：如边长比为 2 倍关系，则面积比为 4 倍关系。（3）例：如下图，上面三角形边长分别为 5、4、4.5，下面的三角形一条边为 10，求下面三角形的另外两条边长。答：平行线中间有交叉，则两个三角形相似。横着线对应的比=5：10=1：2，则其他边的比也为 1：2，则下面三角形左边为 9，右边为 8。对

53、应边位置相同，上面三角形的左边夹着1 和2，下面三角形的右边也与1 和2 挨着。（4）对应边一定方向上是一样的，若往左边倾斜则两边都往左边倾斜，若往右边倾斜则两边都往右边倾斜，若横着则两边都横着，若竖着则两边都竖着。例 3.（2017 国考）一块种植花卉的矩形土地，AD 边长是 AB 的 228倍，E 是 CD 的中点，甲乙丙丁戊区域分别种植白花，红花，黄花，紫花，白花，则种植白花的面积占矩形土地面积的：A.3/4B.2/3C.7/12D.1/2【】例 3.根据题意，白花为第一块（甲）和最后一块（戊）。因四边形ABCE 虽梯形，但中间只有一条对角线，故不能运用蝴蝶定理，则圈出四边形 ABDE，

54、即甲、乙、丙、成的梯形，连对角线。假设 AB 为 a，DE 为 b，E点为中点，则 a：b=2：1，甲（上）：丙（下）：乙（左）：丁（右）=2：1：（2*1）：（2*1）=4：1：2：2。因题中没有具体数值，则可以赋值甲、丙、乙、丁的面积分别为 4、1、2、2。因 EC=DE，且ADE 和BEC 的高相等，则 SADE=SBEC，即戊=丙+丁=3，则（甲+戊）/总=7/12。【选 C】【注意】1.若此题直接计算，则需要运用赋值、相似三角形，过于复杂，故重点考查中学的蝴蝶定理。2.蝴蝶定理：用相似推出的结论。任意画一梯形，梯形对角线相连，上底是a，下底是 b，此时分为四个区域，四个区域像一个蝴蝶

55、，四个区域有面积的比例关系，上面的面积是a2，左边面积是 a*b，下面面积是 b2，右边面积是 a*b，29则上：下：左：右=a：b：ab：ab。3.若将 E 点变为三等分点，此时 DE 为 1，根据蝴蝶定理，则甲为 9，乙为 3，丙为 1，3。【知识点】最短路径：1.两个点最短路径为直线：若连接两点需要中间经过一条线，则最短路径为直接连接 AB。2.从 A 点到 B 点，中间经过一条公路，此时A、B 在公路的同侧，若直接连接 AB，则不经过公路。如照镜子，找离公路近的 B 点，作关于公路对称的 B点，连接 AB交公路于 O 点，计算路径为 AOB，实际路径为 AOB，计算路径与实际路径相同，计算路径为两点之间直线最短