八十年代以来我国人口发展的数学模型和展望

1、北京大学政学者论文集（2002年） 八十年代以来我国人口发展的数学模型和展望 PAGE PAGE 374八十年代代以来我我国人口口发展的的数学模模型和展展望 “政基金”项目和国家自然科学基金委员会杰出青年基金项目资助（No 10025523）The matthemmatiicall moodellingg annd pprojjecttionn off Chhinaa poopullatiion aftter 19880 物理学院院技术物物理系999级 王王 彦 摘要以LESSLIEE矩阵构构建人口口的动力力学方程程，建立立了800年以来来中国人人口的数数学模型型,并用用人口普普查的数数据验证

2、证了该模模型的有有效性及及所含假假设的合合理性。利用该该模型可可推算882年至至98年年的逐年年的以岁岁为单位位的年龄龄构成。通过调调整模型型中有关关参数及及输入的的条件，定量地地分析了了“夫妻双双方均为为独生子子女可生生两胎”这一政政策将在在未来115年内内对我国国人口的的影响。所建模型型有很好好的移植植性，理理论上来来讲可推推测很长长一段时时期内任任一年的的年龄结结构，并并可通过过调整参参量定量量分析一一部分人人口政策策及社会会因素对对人口发发展的影影响，可可供有关关研究及及政策制制定部门门参考。absttracctBaseed oon tthe LESSLIEE Maatriix aas

3、 tthe dynnamiic ffuncctioon, we buiilt up thee maatheematticaal mmodeel oof tthe chiina poppulaatioon ddeveeloppmennt ssincce tthe adooptiion of “Fammilyy Pllannningg Pooliccy”. AA feew aassuumpttionns aare madde aand jusstiffiedd byy thhe CCenssus Datta. Witth tthiss moodell, wwe ccoulld aaccuuratt

4、elyy esstimmatee thhe yyearrly agee diistrribuutioon ppattternn off chhinaa poopullatiion froom 880 tto 998. By moddifyyingg thhe rreleevannt pparaametterss annd iinpuut, we furrtheer aalcuulatte tthe poppulaatioon aage disstriibuttionn inn 20015 witth aand witthouut aadopptioon oof “a sspouuse cann

5、 haave twoo chhilddrenn iff thhe ttwo parrtiees oof tthe spoousee arre bbothh thhe oonlyy chhildd inn thheirr faamilly”. Thiis mmodeel ccoulld bbe uusedd , thrrouggh aadapptinng iits parrameeterrs , too caalcuulatte aand proojecct ppopuulattionn deevellopmmentt unnderr soomeddifffereent socciall coo

6、ndiitioons社会经济济的许多多领域的的规划都都必须考考虑人口口这一重重要因素素。而人人口普查查只能为为我们提提供某几几个时间间点的横横截面数数值，但但在现实实生活中中，人们们常常需需要其他他时间点点的人口口总数及及其构成成。于是是一个迫迫切的任任务就是是如何用用少数的的几个时时点的信信息比较较准确的的得到较较详尽的的其他时时点的人人口数据据。同时时我们知知道，人人口与政政策密切切相关，这一点点对于自自80年年起实施施“一对夫夫妇只生生一个孩孩子”的中国国更是如如此。为为了定量量分析政政策对它它的影响响，也需需要建立立一个现现实的，可靠的的模型。这两方方面的原原因促使使作者从从人口发发展

7、的动动力学机机制出发发，建立立一个含含多方面面参量包包括政策策参量的的数学模模型。本文由五五部分构构成：第第一部分分介绍人人口学中中部分专专业词汇汇的定义义；第二二部分模模型的建建立和检检验。 第三.四部分分为该模模型的两两个应用用,针对对缺乏相相关参量量的直接接统计数数据是两两种不同同的处理理方法。第五部部分为总总结和讨讨论。0.数据据定义这部分介介绍本文文中出现现的人口口学名词词并加以以简单分分析。年龄别生生育率：某年的的某年龄龄妇女生生的孩子子数与该该年龄妇妇女总数数之比。总和生育育率：某某年各年年龄组妇妇女生育育率的合合计数。即总和生育育率=各各年龄组组妇女生生育率之之和我们可以以把年

8、龄龄别生育育率看作作一个妇妇女在该该年龄时时平均生生的孩子子，于是是各个不不同年龄龄段的生生育率分分布可以以看成一一个妇女女处在不不同年龄龄段生育育孩子数数的分布布。 我我们把这这一分布布称为生生育模式式。而总和和生育率率等于每每个妇女女一生中中一共生生育的孩孩子数。出生率：某年的的出生人人数与该该年总人人数之比比。年龄别死死亡率：某年的的某年龄龄死亡的的人数与与该年龄龄总人数数之比。一模型型的建立立（一）. LEESLIIE矩阵阵首先，我我们要找找到描述述人口变变化的方方程。目目前我国国的移民民现象很很少见，我们可可以认为为中国人人口是一一个封闭闭的系统统。定义义为第年岁的人人数，为为第年年

9、年龄为的的人的死死亡率，为第年年年龄为的的妇女生生的孩子子数与该该年龄妇妇女数的的比例，即i岁的妇妇女的生生育率。则当ii1时，。我国国人口男男女比大大约1.05，我们在在这里忽忽略这种种差别，近似为为1，则则。用矩矩阵来表表示上述述关系，得到其中，由于800岁以上上的老人人所占比比重很小小，且对对于人口口的增长长已经没没有影响响（他们们不可能能再生育育），在在本文的的模型中中，常常常只考虑虑80岁岁以下的的人的情情况。其其实，的的维度只只要大于于一定值值就可以以了，在在问题处处理过程程中是可可以变化化的。(二).参量的的确定LESLLIE矩矩阵本身身是普适适的人口口动力学学方程，而不同同历史

10、，社会条条件下的的人口发发展模式式特点是是由其中中的参量量来描述述的，也也就是和和。它们们都是随随时间变变化的量量，是诸诸多因素素共同作作用的结结果。我我们不可可能找到到这些参参量每年年的精确确数值，因此作作一些假假设和近近似是必必要的。1.生育育率）如第一部部分数据据分析中中分析的的那样,我们把把某个时时点的妇妇女的生生育年龄龄分布同同时看作作一个妇妇女一生生中生育育孩子数数的分布布.于是是某个时时点的综综合生育育率等于于一个妇妇女一生生中生育育的孩子子数。考考察城市市和人口口的生育育的年龄龄结构，我们发发现两者者有很大大的不同同。图一988年中国国城乡妇妇女生育育率年龄龄分布从图中， 我们

11、们发现农农村妇女女的总和和生育率率明显高高于城市市妇女， 同时时她们的的生育高高峰也比比城市妇妇女早一一些，且且计划生生育政策策及其执执行情况况也有很很大的不不同，所所以本文文中将把把这两种种情况分分开讨论论。即知道了，我们可可以用城城乡人口口比来得得到和。受到生理理条件的的限制，生育率率关于年年龄的相相对分布布应该是是一个变变化缓慢慢的量。我们假假定在没没有政策策性变化化时（如如限制生生育年龄龄，或允允许多育育），它它是恒定定的。于于是如果果知道某某年的总总和生育育率，结结合图一一给出的的98年年的分布布，便可可得到当当年的具具体分布布：）=如果我们们把总和和生育率率表示为为,则）=而总和生

12、生育率是是比较容容易获得得的。2.年龄龄别死亡亡率年龄别死死亡率分分布数据据很少，事实上上，作者者只找到到了899年一例例，于是是只能先先假定死死亡率不不变。而而通过后后面的计计算发现现， 这这个假设设和我国国80年年至今的的情况符符合的很很好。即即使在未未来的很很长一段段时间内内，只要要没有医医学上大大的革命命，这个个量的变变化将很很小。因因此，本本文中把把它当成成常量处处理。所所用数据据为899年的统统计（中中国统计计局数据据服务DDUS22-422），如如图所示示图二：889年中中国年龄龄别死亡亡率分布布(三). 822年90年年的人口口变化及及假设的的验证对于800年代的的人口，我们掌

13、掌握的材材料比较较充分，如逐年年的城乡乡总和生生育率，82年年和899年的人人口年龄龄结构，历年城城乡人口口比例等等。我们们用822年的数数值作为为初始条条件，用用上述模模型推算算至900年的分分布， 再和普普查数据据比较，以此检检验我们们的模型型及相关关假设。结果如如以下图图所示。图三：990年中中国人口口年龄分分布比较两条条曲线，发现它它们吻合合的相当当不错，尤其是是10岁岁以后的的曲线，差别非非常小。由于这这部分人人口的发发展只受受死亡率率的影响响，说明明我们把把作为常常量处理理是合理理的。（这也说说明我国国二十年年来医疗疗技术的的进步还还没有对对人口产产生大的的影响）而100岁以前前的

14、曲线线也基本本吻合，最大误误差在55%以内内。由此此，关于于生育率率的年龄龄的相对对分布的的假设也也是合理理的。至至此，模模型的有有效性得得到了证证明。二. 99098年年的人口口发展和上一阶阶段不同同，这一一时期的的人口统统计数据据不够充充分，尤尤其是总总和生育育率的数数据的缺缺乏，使使这一阶阶段的处处理方法法和900年以前前不同。对的情况况仍可按按刚才的的方法处处理，但但对于，在没有有总和生生育率时时，就不不能得到到，也就就不能用用LESSLIEE矩阵法法了。作作者用第第n年的出出生率人人口总数数=第nn+1年年的0岁岁的人数数得到。而人口口总数和和总出生生率都是是比较容容易获得得的数据据

15、。用上上述方法法可以得得到900-988年逐年年的年龄龄构成，98年年的分布布见下图图图四：998年中中国人口口年龄分分布推算算这种处理理方法只只能用来来求过去去的时点点的年龄龄结构，而不能能用与人人口的预预测，因因为将来来的时点点的人口口总数和和出生率率也是未未知的。而LEESLIIE矩阵阵则从人人口发展展的动力力学机制制出发，因而可可以用来来预测未未来的情情况。第第四部分分就是一一个例子子。三.20015年年人口分分布的预预测这一部分分主要采采用本文文第一部部分阐述述的方法法分析“夫妇双双方均为为独生子子女可生生育两个个孩子”这一政政策将给给我国人人口造成成的影响响。我国国农村妇妇女的总总

16、和生育育率在计计划生育育实行后后一直维维持在11.5以以上，而而在800年代初初有2.0左右右，也就就是说，即使在在20000年后后，农村村独生子子女的比比重很小小， 而而夫妻均均为独生生子女的的概率更更小， 于是可可以认为为该政策策对农村村的影响响可以忽忽略,农农村生育育模式不不变。而而城市的的总和生生育率自自80年年代起非非常接近近1，我我们认为为所有的的80年年以后的的城市出出生的都都是独生生子女，于是前前述政策策对城市市的影响响很大。下面是是定量分分析。考考察988年我国国农村分分胎次的的生育率率年龄分分布：图五：998年中中国城乡乡妇女生生育率农村每个个妇女平平均有00.4557个二

17、二胎，而而城市平平均只有有0.1146个个，但是是它们的的相对分分布确实实非常相相近的。事实上上，从图图中可以以看出，把城市市妇女的的第二胎胎的生育育年龄结结构按比比例（00.4557/00.1446）放放大后和和农村妇妇女的相相应的分分布形状状基本相相同。这这是容易易理解的的,由于于受到生生理条件件的限制制，在没没有其他他政策性性引导的的情况下下（如规规定生第第二胎的的最早年年龄），妇女生生两胎的的年龄相相对分布布应基本本稳定。另外, 我们们还发现现，在335岁后后生育的的概率很很小，于于是从最最早的独独生子女女开始生生育到他他们355岁这一一时期（即大约约2000020115），我国城城市

18、妇女女的生育育模式逐逐渐向两两胎过渡渡。而她她们的孩孩子这时时还未到到生育年年龄，于于是可以以认为生生育年龄龄分布向向两胎变变化，到到20115年完完全达到到。也就就是说， 到220155年，城城市妇女女的生育育年龄结结构可看看成第一一胎和第第二胎的的叠加。我们假假定第一一胎的生生育模式式不变（其实观观察上图图可知，图形应应该变尖尖锐一些些，且峰峰将提前前，但鉴鉴于变化化过于复复杂，本本文不讨讨论）。对于第第二胎，我们把把98年年农村妇妇女的二二胎的年年龄分布布按比例例放大到到总和生生育率为为1。这这样我们们就得到到了二胎胎完全普普及的220155年中国国城市的的生育模模式。从从19998年到

19、到20115年， 我们们考虑最最简单的的情况, 即假假定变化化是线性性的，可可得各年年的生育育率，即即。同时时，我们们假定和和城乡比比不变。事实上上，从880年到到98年年的数据据来看，城乡比比变化缓缓慢。而而且，在在19998-220155 年这这段时间间内，城城市和农农村的总总和生育育率比较较接近， 平均均都在11.5左左右，所所以城乡乡比有几几个百分分点的差差别并不不会太影影响结果果。用上述方方法得到到的20015年年的人口口分布如如图。图六：是是否实行行“二胎政政策”对我国国20115年人人口年龄龄结构的的影响观察上图图， 我我们发现现，从882年到到20115年我我国人口口的年龄龄分

20、布变变化是非非常剧烈烈的。 但总的的来说，曲线趋趋于平坦坦，也就就是说，人口结结构慢慢慢由均匀匀化的趋趋势。 虽然“实行二二胎政策策”将使我我国20015年年时0-10岁岁的人口口增加110%左左右，但但从年龄龄结构均均匀的角角度来，这种增增加却是是有益的的。它有有利于我我国人口口的发展展趋向平平衡。四. 总总结本文以LLESLLIE矩矩阵为动动力学方方程，建建立了我我国八十十年代以以来人口口发展的的模型。在用统统计数据据验证了了模型有有效性的的基础上上，介绍绍了两个个应用， 即990年至至98年年我国人人口的年年龄结构构和实行行“夫妇双双方均为为独生子子女课生生育两个个孩子”的影响响的定量量

21、分析。这两个个例子分分别针对对缺乏相相关参量量的直接接统计数数据的两两种不同同的处理理方法：第一个个例子用用相同时时点的其其它人口口量的数数据来弥弥补这种种缺失；第二个个用已知知时点的的参量数数据推测测所需时时点的该该参量的的值。用该模型型可以得得到详尽尽的逐年年的人口口年龄分分布，为为社会其其它领域域，如教教育， 商业等等的发展展规划提提供必要要的人口口信息。用它做做短期的的人口预预测是十十分理想想的。同同时，这这一模型型的应用用十分灵灵活的， 通过过调整模模型的参参量， 可以定定量的分分析许多多因素对对人口的的影响，也可以以通过观观察人口口结构的的变化分分析其它它社会因因素的影影响的大大小

22、。除除了本文文所给的的人口政政策的例例子，还还可以通通过调整整年龄别别死亡率率观察医医学进步步对人口口的影响响，通过过看人口口结构的的变化分分析“DINNK”现象是是否普遍遍等。希希望本文文能起到到抛砖引引玉的作作用。致 谢衷心感谢谢马伯强强教授一一直以来来的悉心心指导和和鼓励。感谢浙浙江大学学唐吉庆庆和其他他同学的的的有益益讨论。感谢李李政道先先生和秦秦惠女士为为我提供供了在本本科阶段段进行科科研的宝宝贵机会会。参考文献献Alffredd J.Lottka, Annalyyticcal Theeoryy off Biioloogiccal PoppulaatioonsM.Neww Yoork: Pllenuum PPubllishhingg Coorpoorattionn, 119988.姚新武武，尹华华，中国国常用人人口数据据集PP.北北京：中中国人口口出版社社，19994.作者简介介：王彦彦，女，杭州人人，北京京大学物物理学院院技术物物理系999级本本科生。20001年55月受“政基金金”资助，在马伯伯强老师师的指导导下研