电路教案相量法

1、 /13重点：正弦量的表示、相位差正弦量的相量表示电路定理的相量形式8.1复数复数的表示形式F=a+jb（jf匚1为虚数单位）一一代数式F=1FIeje指数式F=IFIeje=IFl（c（ft+jsi占）=a+jb三角函数式F=lFIeje=|FIZ0极坐标式几种表示法的关系：IFl=Ja2+b2。b&=arctan、a2.复数运算加减运算-a=IFIcoesb=IFIsine采用代数式bFeRe若则图解法F1=a1+jb1，F2=a2+jb2F1F2=（a1a2）+j（b1b2）乘除运算采用极坐标式若F1=IF1IZe1,F2=IF2IZe2则：F-F=|F|ej0-|Feje2=|F|fe

2、j（ei+霜）=|F|f|Ze+e（模相乘，角相加）121212121模相除，角相减）FIFIZ0IFIej?=14=1一FIFIZ0IFIejo22222IFI|F|例15Z47+10Z-25=?解原式二(3.41+j3.657)+(9.063-J4.226)=12.47-j0.569=12.48Z-2.6F220Z35+(17+j9)(4+j6)20+J5=?解原式=180.2+jl26.2+19.24Z27.9x7.211Z56.320.62Z14.040=180.2+jl26.2+6.728Z70.16=180.2+jl26.2+2.238+j6.329=182.5+jl32.5=22

3、5.5Z36旋转因子复数eje=cos0+jsin0=1Z0旋转因子F郎特殊旋转因子nnn=2,ej2=C0S2+jSin2.nej_2=cos(-)+jsin(-2)0=n,ej+n二cos(土n)+jsin(n)=1注意：+j,-j,-1都可以看成旋转因子。正弦量1.正弦量瞬时值表达式i(t)=Imcos(wt+申)正弦量为周期函数：f(t)=f(t+kT)周期T和频率f周期T：重复变化一次所需的时间。单位：秒s1频率f：每秒重复变化的次数。单位：赫(兹)Hz,f二t正弦电流电路激励和响应均为同频率的正弦量的线性电路(正弦稳态电路)称为正弦电路或交流电路。研究正弦电路的意义1)正弦稳态电路

4、在电力系统和电子技术领域占有十分重要的地位。正弦函数是周期函数,其加、减、求导、积分运算后仍是同频率的正弦函数；正弦信号容易产生、传送和使用。2)正弦信号是一种基本信号，任何非正弦周期信号可以分解为按正弦规律变化的分量。f(t)二Acos(kt+0)kkk二对正弦电路的分析研究具有重要的理论价值和实际意义。正弦量的三要素幅值(振幅、最大值)Im反映正弦量变化幅度的大小。角频率相位变化的速度，反映正弦量变化快慢。初相位申一一反映正弦量的计时起点，常用角度表示。强调：同一个正弦量，计时起点不同，初相位不同。一般规定：|祠兀。解10050需例已知正弦电流波形如图，00=103rad/s,1写出Q表达

5、式；2.求最大值发生的时间右i(t)=100cos(103Z+0)f二0t50二lOOcos1/7=+7l/3.由于最大值发生在计时起点右侧i(Z)=100cos(103Z-|)当10乜=兀/3有最大值r同频率正弦量的相位差设u(t)=Umcos(et+申),i(t)=Imcos(rot+9-)相位差：9=(t+9u)-(rot+9i)=申口-9i等于初相位之差规定：I申I0，u超前i9角，或i滞后u甲角，(u比i先到达最大值)；90申=5n4-2n=-3n4(通常表达IS(180),故如此处理)i(t)=10cos(100nt+3Oo)1(t)=10sin(100nt-15o)2转换成同函数

6、：i(t)=10cos(100nt-1O5o)2相位差：9=3Oo-(-1050)=135ou(t)=10cos(100nt+3Oo)1u(t)=10cos(200nt+45o)2，不能比较相位差12i(t)=5cos(100nt-3Oo)1(t)=-3cos(100nt+3Oo)转换成同符号函数：2(t)=3cos(100nt-15Oo)2相位差：9=-300-(-1500)=1200周期性电流、电压的有效值周期性电流、电压的瞬时值随时间而变，为了衡量其平均效果工程上采用有效值来表示。周期电流、电压有效值定义物理意义：与等量的直流量做同样的功。直流ZR交流iRW=RI2Tw=Ri2(t)dt

7、定义电压有效值：又称均方根值：正弦电流、电压的有效值设i(t)=Imcos(t+(p)!Tr由定义：I=cos2(et+p)dtpcos2(et+p)dt二r1+cos2(et+p)、1tTdt二一tJo220二0.7071m1.问题的提出如右图，电路方程是微分方程：i（t）二Icos（et+屮）=21cos（et+屮）m同理，可得正弦电压有效值与最大值的关系：U=-LU或U=迈U2mm若交流电压有效值为U=220V，U=380V其最大值为Umu311VUm37V说明：工程上说的正弦电压、电流一般指有效值，如设备铭牌额定值、电网的电压等级等。但绝缘水平、耐压值指的是最大值。因此，在考虑电器设备

8、的耐压水平时应按最大值考虑。测量中，交流测量仪表指示的电压、电流读数一般为有效值。区分电压、电流的瞬时值、最大值、有效值的符号。i,I,I,u,U,Umm相量法的基础LCc+RCc+u=u（t）dtdtc两个正弦量的相加：如KCL、KVL方程运算:i=、21cos（et+屮）+i=、：21cos（et+屮）111222其实际波形如图所示。可见：同频的正弦量相加仍得到同频的正弦量，所以，只需确定初相位和有效值就可完成计算。因此引入正弦量复数变换的思想。正弦量的相量表示造一个复函数F(t)二迈Ie+”)(无物理意义)=u2Icost+F)+jv2Isint+F)对F(t)取实部：ReF(t)=2l

9、cos(t+屮)二i(t)(对应一个正弦量，有物理意义)由此，任意一个正弦时间函数都有唯一与其对应的复数函数。i=X：2Icos(wt+屮)oF(t)=*2Iej(G)+卩)F(t)还可以写成：F(t)=p2Iej屮ej/.2lejt正弦量对应的相量F(t)包含了三要素：I、W、，复常数包含了两个要素：I,W。i(t)=订21cost+屮)oI=IZ屮注意：相量的模表示正弦量的有效值；相量的幅角表示正弦量的初相位。同样可以建立正弦电压与相量的对应关系：u(t)=42ucost+0)oU=UZ3例.已知i=141.4cos(314t+30)A,u=311.1cos(314t60)V，试用相量表示

10、i,u。解：I=100Z30oA,U=220Z-60oV例2.已知I=50Z15。A,f=50Hz.，试写出电流的瞬时值表达式。解：i=50、/2cos(314t+15。)A相量图在复平面上用向量表示相量的图女如i(t)=、：2Icos(血t+屮)TI=IZ屮u(t)=j2Ucos(t+0)TU=UZ0即可用右图的复平面表征两个相量。相量法的应用a.同频率正弦量的加减丄u(t)=J2Ucos(t+屮)=Re(%2Uejt)如：1111u(t)=2Ucos(t+屮)=Re(/2Uejt)2222u(t)=u(t)+u(t)=Re(J2U1ejrat)+Re(、辽U2ejrat)=Re(；2U1e

11、jt+：2U2ejt)=Re&2(U1+U2,)ejt)相量关系为：U=U+U12强调：同频正弦量的加减运算变为对应相量的加减运算。u(t)=62cos(314t+30。)VU=6Z30oV例：已知i一，即iu(t)=4J2cos(314t+60o)VU=4Z60oV22解：U=U+U=6Z30。+4Z60。将复数分解，得12=5.19+j3+2+j3.46=7.19+j6.46=9.64Z41.9oV重新转换成指数形式。u(t)=u(t)+u(t)=9.64*2cos(314t+41.9。)V12借助相量图计算，如下图：+Ju60U1.930+1b.正弦量的微分、积分运算+j+1如：i=QI

12、cos(t+屮)导I=IZ屮微分运算：=ReC2Iej丄Re：2IjejJdtdt积分运算：Jidt=JRe2Iejth=ReJ2ejtj罟TjI=IZ屮i+令2，JidtTj=Z屮厂例：右图，已知i(t)=迈Icos(t+屮),i求u(t)=Ri+L色+丄JidtdtC解：用相量运算：U=RI+jLI+jC相量法的优点把时域问题变为复数问题；把微积分方程的运算变为复数方程运算；可以把直流电路的分析方法直接用于交流电路。注意：正弦量（时域，正弦波形图）与相量（频域，相量图）之间的一一对应关系。相量法只适用于激励为同频正弦量的非时变线性电路。（其余存疑）相量法用来分析正弦稳态电路。（暂态分析见第七章方法）电路定律的相量形式1.电阻元件VCR的相量形式时域形式：i（t）=x21cos（t+屮）iu（t）=Ri（t）=弋2RIcos（wt+屮）Ri相量形式：I=IZU