复旦大学数学物理方法讲义13柱坐标下的分离变量法

1、PAGE Chapter 13 柱坐标下的分离变量法 Bessel函数 Abstracts以3+1D实例通过柱坐标系下方程的变量分离与求解,引入各种柱函数（Bessel函数、Norimann函数、Hankel函数、虚宗量Bessel函数、Macdonald函数和三类球Bessel函数等12个Bessel函数）。在分析这些函数性质的基础上，表述相应定解问题的物理解。一、柱坐标下的变量分离1. 柱坐标系下的稳定问题（3+0D，Laplace方程） （1）即： （2）只要实空间可分离变量，就可令，将其代入方程（2）得： （3）得： （4）由这种分离变量得： 方程（5）与周期性边界条件构成本征值问题。

2、解得： 方程（6）即为得： 这两个方程，先求解哪一个以及如何取值，取决于哪一个可构成本征值问题，也就是取决于定解问题的边界条件。假设（如果）构成本征值问题，则式中的取值范围不同，方程解的形式与性质不同。 即为Euler eq. （7）记：则：代入（7）得（的量纲为这里将径向变量无量纲化了，相当于取）即为m阶Bessel eq. 令，代入得 （8）记，代入（8）得：即为虚宗量Bessel eq. （9）令：代入（9）得即为Bessel eq.我们假设构成了S-L型本征值问题，即径向有自然、周期或齐次边界条件，从而 再解出 得2. 柱坐标系下的非稳定问题（3+1D，振动、输运方程）只要时空可分离变

3、量，就可令，将其代入上式得：注意两个方程及其的物理意义不同。分离变量得：和 此为Helmholtz方程，即： 只要实空间可分离变量，就可令，将其代入上式得：同样要求对的符号加以讨论（下面的第二节为正，第三节为负源于的本征值问题）。二、Bessel函数 (圆)柱函数 1. Bessel函数设则一般地 如果中没有周期条件，则n可以不为整数，其中：， 阶（第一类）Bessel函数; 阶（第二类）Bessel函数.当是实数时，和都是实函数，现在再引入两个复函数。,第一种Hankel函数;,第二种Hankel函数,它们统称为阶（第三类）Bessel函数，于是Bessel 方程的解可以是以上四种函数中任何

4、两个的线性组合。这个类似于都是方程的特解；或方程的特解有 ，其通解可以用以上四个函数中任何两个线性组合表示 方程的通解是这四个函数的线性组合。2. 各种柱函数的递推公式与渐近性质（1）递推公式 代表.证明：例如，即： 同理又有：.特例：,见下,其实是定义).（2）渐近行为(定性分析) (A). 很小时，其中，称为欧拉（Euler）常数.(上述特例积分时用过此).可见并非之零点，而是之阶零点.(B). 很大时 衰减式震荡函数，证明见教材13.5 3. Bessel函数的基本性质（这里仅仅讨论整数阶Bessel函数）（1）生成函数（母函数，复习） 特别地，令，有证明：则：（2）平面波按柱面波的展开

5、（匹配、归化、一统描述）这里已用到了和（3）加法公式 证明：又令，则所以, 比较两者得 （4）积分公式由得展开系数为第二行推导用了奇函数在其周期内的积分为零；第三行是第一行的（5）的零点方程的根(A). 的零点有无限多个，且的零点都是一级零点:为（）的级零点:.(B). 的零点必正负成对：这是因为具有奇（偶）对称性，即，因此可以只讨论正零点。(C). 阶数相差为1 与或时，正零点必两两相间。证明思路：设为的相邻零点，作辅助函数，根据微分中值定理, 当时, 必有使得 再由递推公式可以知道，的零点之间有的零点。(D). 的最小正零点必大于的最小正零点除外）。证明思路：已知为的级零点。设为的最小正零

6、点，作辅助函数由必有而取在再由可知,必为的零点。注1：的零点的具体数值可以从专门的Bessel函数表查到，故当需要的零点时，可以当作已知.注2：记的正零点即的根为注3：，i.e，导数为零的点，均为之一阶零点。注4： 因为 所以 即的极值点正是的零点。（6）的图像（衰减式震荡函数）Mathematics：J0=PlotBesselJ0,x,x,0,12;J1=PlotBesselJ1,x,x,0,12;J2=PlotBesselJ2,x,x,0,12;J3=PlotBesselJ3,x,x,0,12;ShowJ0,J1,J2,J34. 本征值问题（1）方程柱坐标系下Laplace方程经变量分离后

7、，它的径向函数满足其标准形式为其中是已知常数（由的本征值问题确定），即参数待定（对于另外一类物理问题，见下节）。此方程是下列Sturm-Liouville方程的特例，其中 因而对于某些自然条件、边界条件就构成本征值问题了。（2）边界条件设的变化区间是（即物理问题是在半径为的圆柱体内），上面的方程如果要构成本征值问题，则需附加如下边界条件之一： ； 齐次边界条件：或或（3）解方程设记，代入上式得：这是阶Bessel方程，其解为： 或者 要求，解为对于第一类齐次边界条件，的正零点记为，则：即为本征值，为本征函数，为量子数。特别地，当时，矛盾于本征值方程所以对于第二类齐次边界条件，的正零点记为，则：

8、， 特别地，当时，也是它的本征值，相应的本征函数为对于第三类齐次边界条件，可以进行相似的讨论（思考题）。（4）正交性注意：当时，不是的本征值, 而是的本征值, 本征函数为（5）模方其中第三步用到了分部积分。由于方程本身满足即所以被积函数如果并且则故相似地，在第二类边界条件下（自证）：广义Fourier级数对于区间上满足一定条件的任何函数 但是有条件:分段光滑；积分存在 ，总是可以展开为的广义Fourier级数：，其中. 如果将展为本征函数族的广义Fourier级数，当时， 当时，则为其中(源于)其实是下述的特例,并且,.对于第三类齐次边界条件的本征值问题，可以进行类似地讨论（思考题）。In Q

9、u. Mech., 对称性与守恒律：空间平移不变性动量守恒；空间转动不变性角动量守恒；时间平移不变性能量守恒。一般稳态问题，维空间有个守恒量。习题12.4：例1: 半径为的无限长导热介质圆柱，其侧面保持为零度，设初始温度为（常数），求柱体内温度的变化。解：分析：以圆柱轴线为轴建立柱坐标系，则温度与和都无关，其中也就是热传导方程中的. 本题中时间轴有“热流”，否则对于稳态问题就要有Newton 冷却定律，以使得热流流出来。See习题12.13. 设，代入上述方程和边界条件，可得：.这是零阶Bessel方程，本征值和本征函数分别是. 这是将常数按Bessel函数展开的广义Fourier级数。利用B

10、essel函数的正交性和模方计算，可以得到,其中，.故 可讨论其物理意义。（模式分解：基模式和低模式贡献大！）例2：由导体壁构成的中空圆柱，圆柱高为,半径为,设上底面的电势为，侧面和下底面的电势为零。试求圆柱体内部的电势。解：Indep. on设，分离变量得与周期性边界条件构成本征值问题。由于问题是轴对称的，解与无关，因此只取，相应的本征函数为.,它与边界条件构成本征值问题。这是零阶Bessel方程, 所以本征值和本征函数分别是：.故.由边界条件可得，这是将常数按Bessel函数展开的广义Fourier级数，展开系数为因而故 可讨论其物理意义。三、虚宗量Bessel函数（以例题引入）例3：由导

11、体壁构成的中空圆柱，圆柱高为,半径为, 设上、下底面的电势为零，侧面的电势为常量，试求圆柱体内部的电势分布。（交换例2的边界条件）解：定解问题 由于方向的边界条件允许分离变量，设，分离变量得：与边界条件构成本征值问题。由于问题是轴对称的，其解与无关，因此只取并且相应的本征函数为 为了叙述的一般性，暂时设 就有与例2不同，此时径向方程与所加边界条件不能构成本征值问题，这是因为不是齐次边界条件！但轴向方程与相应的齐次边界条件构成本征值问题。这类本征值问题是我们非常熟悉的，其本征值： 本征函数：令代入径向方程.记：，代入以上方程得：虚宗量Bessel eq.这是因为，记 ，代入以上方程得：Besse

12、l eq.，其解为其中： 因为当是实数时，上述的都是复函数。所以再引进它们是实函数。这是因为时， 而所以亦是实函数。我们称是m阶第一类虚宗量Bessel函数， 是m阶第二类虚宗量Bessel函数，称为Macdonald函数。故当是实数时，都是实函数。I0=PlotBesselI0,x,x,0,3,PlotStyleThickness.002,Black,AxesLabelx,Im,Km,AxesOrigin 0,0;I1=PlotBesselI1,x,x,0,3;K0=PlotBesselK0,x,x,0,3;K1=PlotBesselK1,x,x,0,3;ShowI0,I1,K0,K1*的性

13、质：，.当时，,.,.当时,本身无零点,而是严格单调函数。，是严格单调增函数;，是严格单调减函数:总之， 虚宗量Bessel eq.记：，则：.现在我们回到本节开始的例题3。在本例题3中，. 因此，对应本征值 方程的特解为. 通解为 .由 由即为将常数按本征函数集展开的Fourier级数, 展开系数为所以 ，其中 令：, 则 最后再讨论其物理意义。例4：半径为高为的导体介质圆柱，其侧面有单位时间内通过单位面积流量为的恒定热流垂直流入，上、下底保持恒温. 求柱体内的稳定温度分布。解：分析：以圆柱轴线为对称轴建立圆柱坐标系，原点在下底中心处。显然，温度与无关。定解问题为先将下、上两底面的边界条件齐

14、次化。为此令，则关于函数的定解问题为：设，引进参数 分离变量可得：.，本征值：, 本征函数：.因此对应本征值，方程的特解为：. 定解问题的通解为.由 所以.由. 故 最后再讨论其物理意义。四、球Bessel函数1. 球Bessel functions 在球极坐标系中，对于一个非稳定问题，如振动问题，我们有.这是一个齐次方程，可将时空分离变量，即令，得 这个Helmholtz方程 在球极坐标系中变为.在这个齐次方程中，可将径向分离变量，即令，得按照上章的经验，引进无量纲变量 并且做非线性变换则：代入上述的得：阶Bessel方程，其解为.现在引入两个函数：Helmholtz方程的径向解为类似于Ha

15、nkel函数的定义方法， 还可以定义两个互为复共轭的l阶球Bessel函数： 由于, 即线性无关。 在第八章(P.19)我们讲过，半整数阶Bessel函数可以用初等函数表示，例如：, ;(还有更简单的解法，见例6和习题12.13的变量代换) 还可证明证明：由于和各种Bessel函数的递推关系 所以，对于 我们有.利用此式l次，可得.在上式中令，并将代入左端，即得.故同理，由等可得，因此，也都可以用初等函数表示了。前几阶球Bessel函数的表示式：, ., ., 例5：半径为的均匀导热介质球，原来的温度为常量 将它放入冰水中，使球面温度保持在零度，求球内温度的变化和空间平均值。解：以球心为原点建

16、立球极坐标系，显然温度与无关，定解问题为设，即分离变量，可得：由边界条件，可得：其中为的正零点。由可知，的正零点 而即因为，所以不是本征值。因此本征值和本征函数可以写为： 而所以通解为 由，得 最后再讨论其物理意义。球内温度的空间平均值（匀质球，体密度为常量）：例6: 半径为的金属球，表面温度为零，球体内部的初始温度分布为 求冷却过程中球体内部的温度分布。解：由于对称性，定解问题令 故最后再讨论其物理意义（模式分解：基模式和低模式贡献大！）。由于半整数阶Bessel函数可以用初等函数表示，所以半整数低阶Bessel函数可用简单的初等函数表示，从而本征值问题比较简单。一般地也可以表示如下。2.

17、本征值问题将球Bessel方程改写为Sturm-Liouville型，其中为待定常数，权重函数为在区间上，需加自然边界条件需加齐次边界条件或其线性组合。我们已经知道方程的解为因为, 由自然边界条件，.由齐次自然边界条件本征值，本征函数，其中为的第个零点。本征函数（固定的情况下）的正交关系是： .模方：.因为，所以在区间上的平方可积函数可按本征函数（固定的情况下）展开为广义Fourier级数：，其中展开系数为同理可得齐次边界条件或的解（讨论，自习）。例7解定解问题： 解：（请补本题的物理提法）取球极坐标系，由边界和初始条件可知带入上式可得 即 再令, 代入Helmholtz方程 得从而有， （l

18、阶球Bessel方程） （1）可将其化为阶Bessel方程（过程同上）。即，命令 和 则另一个方程为 （2）方程（2）可化为Legendre方程: 即，命令 和 它与自然边界条件有界，即有界，构成本征值问题，其本征值和本征函数分别为 方程（1）或者阶Bessel方程与边界条件构成本征值问题，其本征值和本征函数分别为 ， 其中是的正零点 对应的本征值为 由方程 解得: 因此，定解问题的一般解为 由条件，得 由可以确定只有, 因此，有 因为已知，所以 故 最后再讨论其物理意义(初始有，以后只能有).例8平面波按球面波的展开（匹配、归化、一统描述）：证明：将平面波按Legendre函数展开： 其中系

19、数其中最后一步用到了次分部积分。再将在附近按Taylor级数展开：其中时(被积函数为奇函数)上述积分为零， 展开系数中的积分变为 则其中 得正。五、可化为Bessel方程的一类方程、Airy方程的有限解有一类方程，通过自变量和函数的适当代换可化为Bessel方程，例如球Bessel方程等： , （Bessel eq.) （1）作代换，其中,为常数，,，方程化为, （2）即：, （3）其中.由此可见，形如方程（3）的一类方程均可通过变换化为Bessel eq.来求解。例如：Airy方程 的有限解。 （4）解：看似如此简单的方程，由于其复杂性要分以下三步进行求解：当时,比较方程(4)与(3)有,即

20、,可见作代换,后，方程（4）将变为的阶Bessel eq.或者作代换,后，方程（4）变为的阶虚宗量Bessel eq.，即：.这个方程的解为.因而方程（4）的解为，其中是任意常数。由，要使有限，必须，可以证明在上是有限的，因此.（2）当时，方程（4）可以改写为 （5）将之与方程（3）比较有,，即,，可见，作代换,后，方程（5）变为的阶Bessel eq.，即：其解为故（5）的解为其中是任意常数。（3）为了求出方程（4）在无界区间上完整的有限解，我们必须选取适当的和，使与在点光滑地相连接，为此，考察时，和的近似式。当时，各取级数表达式的首项：所以为使与在点光滑连接，比较上面与的渐近式，得到因此方

21、程（4）的有限特解（同乘常数因子）为：可以证明就是Airy函数至多相差一个常数因子。例9. 第七章pp10-11例4（教材pp131-133例5）.（虽是定解问题，但给不出eigenvalues！）引入，并计此处的电子波函数为，则定解方程变为：我们用Fourier变换法求得为爱里(Air)函数：PlotAiryAix,x,-10,5 .显然它亦满足方程（只要）。此外，即亦是其边界条件。我们把都称为爱里方程。在这个例子中，电子从金属表面（）发射，半无界区域的边界条件和不清楚，所以有解（Airy函数），但没有本征值。如果将问题改为，粒子处于均匀电场或重力场中的半无界区域（），另一半是绝缘体或真空，

22、附加边界条件为，则，本征值是Airy函数的零点：解得，例如：,本征函数为 本征能量为，衰减式振荡函数和束缚能量（同一方程，不同边界条件物理要求，不同结果）。例10. 另一个例子是多体问题的平均场理论，除两体间有零程相互作用，为s-wave散射长度以外，多体效应用平均场代替。两体问题：引进相对坐标和质心坐标，且分离变量则：代这些公式代入两体问题的Schrodinger方程，得：由于是球对称、空间均匀的，在大尺寸范围内是“慢”变量，在小尺寸范围内是球对称“快”变量，则上述方程简化为：令，则：取波（）,则上述方程（除过外）变为：呢？取积分得：在上式首项中有在上式中项中有又中项变为而上式末项中为光滑连

23、续函数，其小区域积分为零，故两体零程相互作用的边界条件为假设多体系统由两分量的Fermi气体组成，则上述两体问题构成的本征值问题有解：对于正散射长度，本征函数为，本征值为，这是两体的束缚能，当时，即两分量Fermin原子组成Dimer分子（它是Bose子），分子的平均大小为对于负的散射长度,不存在束缚态，即两分量Fermi原子仍为Fermi子，其多体效应由Cooper对来体现。在“快、慢”变量分离情况下，假设，Fermi波矢为，Fermi能为平均场，其中（常数待定）。由广义Cooper对组成的多体问题简化为设（常数待定），则上述本征值问题的解为：其中无量纲本征值满足在BEC(广义Cooper对组成的Bose子发生Bose-Einstein Condensate)情况下，上述本征值方程自动成立；在BCS(Bardeen, Cooper,and Schrieffer研究Fermi体系的超导与超流时提出的Fermi集体合作理论)情况下，