初中数学北师大八年级上册（2023年修订） 实数立方根学案（教师大比武）

1、北师版八年级数学（上）第二章实数 立方根 成都市石室联中 岳迎春学习目标：1.了解立方根的概念，会用根号表示一个数的立方根.2.能用立方运算求某数的立方根，了解开立方与立方互为逆运算.3.区分立方根与平方根的不同.学习重点：立方根的概念.学习难点：1.正确理解立方根的概念.2.区分立方根与平方根的不同之处.学习环节：一 问题情境 由，如何求它的棱长？有问题，也有情境，导入新课，开门见山。要解决问题，自然想到类似问题，类比平方根。1.一个体积为27 cm3的正方体盒子，它的棱长是多少？2.一个体积为5 cm3的正方体盒子，它的棱长是多少？二 类比引入立方根定义 （2）表示方法 记作 下定义的类比

2、，巧妙带出N次方根的意义，有顺手拈来之妙。拓展：类比平方根和立方根的定义：三 初步探究做一做 (1)怎样求下列括号内的数？各题中已知什么数？求什么数？ ； ； 2的立方等于多少？是否有其他的数，它的立方也等于8？-3的立方等于多少？是否有其他的数，它的立方也等于-27?议一议（1）正数有几个立方根？（2）0有几个立方根？ （3）负数呢？立方根的性质 由于立方运算具有保留运算符号的性质，所以立方根也保留原来运算符号。性质探究是用归纳法，由特殊到一般。开立方的定义 四 反馈练习例1 求下列各数的立方根如何求立方根？注意前两个是完全立方数，而 -5不是一个完全立方数。例题数据的设计有代表性，有整数，

3、分数，有完全立方数，也有非完全立方数。（1）；（2） ； （3）五 深入探究探究1 探究1，由特殊到一般，引导猜想。一个数a的立方幂再开立方，仍为这个数a,探究2，由特殊到一般，引导猜想。一个数a的立方根的立方，仍为这个数a,事实上，乘立方与开立方互为逆运算。就像一个数a的相反数的相反数，是数a本身。 从以上式子中发现什么结论？（用来表示） 结论 探究2从以上式子中发现什么结论？结论 探究3 互为相反数的两个数，其立方根也互为相反数。这是一个有趣也有用的结论。类比算术平方根的平方。及时将知识纵横联系，有利于比较其差异。从以上式子中发现什么结论？结论 我们可以通过具体例子归纳出上面结论，还能进行

4、理论解释吗？ 由二次根式，三次根式的性质，及时拓展到n次根式，由特殊到一般，逻辑连贯，一气呵成。既利于知识本身的延伸拓展，更有利于逻辑思维训练，在追问中学会提出新问题的方法。拓展： ， 例2 求下列各式的值法1：用结论，被开方数互为相反数，所以，即，原式=法2：，两边立方，得，所以后略这是给条件求值问题，妙在整体代入。接下来的归纳一般结论，并与平方根的相关结论对比，设计巧妙。 例题4及其变式，由简单问题出发。 若，求的值巧解1：由立方根的意义得，若，显然符合题意若，两边同时除以，则得，所以巧解2：由方程两边同时立方得 即，分解因式得所以赏析：法1巧在分两种情况讨论，巧妙避开因式分解解三次方程；

5、法2用因式分解解三次方程，是常用的通法。如果将原方程中的用一个代数式表示，则可以得到一系列变式问题，其解决方法也很巧妙，只需令这个代数式的整体值为0，1，-1。变式1：若，求的值答案：可以取值，所以的值为1或者2或者0.变式2：若，求的值答案：原方程变形得，可以取值，所以的值为1或者2或者0.变式3：若，求的值答案：原方程变形得，可以取值 所以的值为或者1或者.赏析：由简单问题逐步演变为复杂问题，既展示了数学思维的逐步深刻化过程，更重要的是揭示原来“复杂的问题并不复杂”，在复杂中揭示“简单性”，这是数学理性之美；这一串变式问题，在离散中，可以概括解决方法的统一性，这是数学的统一美！用文字描述上

6、式规律 用符号语言：六 课时小结平方根与立方根的联系与区别 定义 表示方法 存在条件及运算结果 特殊规律等 本节课重要的数学思想关于渗透数学美：1.由特殊到一般，归纳探究，.类比思考，培养逻辑推理的核心素养，渗透数学思维的方法美；2. 归纳出来的立方根的性质，用字母表示，简单明了，简洁美；3.乘方与开方互为逆运算，辩证统一具有和谐之美。拓展：1.请先观察下列等式赏析：观察等式发现，根号内的带分数，其整数居然可以跑到根号外面，根号对整数很“宽容”，允许整数在“根号内外自由进出”！等式竟然成立。显然，并不是所有带分数的整数，都能“享有这项特权”（根号内外自由进出），这是一类奇异的带分数！让我们欣赏

7、到数学的奇异美！经过观察，写出满足上述各式规律的一般公式 请先观察下列等式经过观察，写出满足上述各式规律的一般公式 赏析：由二次根式、三次根式。推广到n次根式，由特殊到一般，惊奇地发现，每一类n次根式，都分别有一类特殊的带分数，它们的整数享有自由进出n次根号的“特权”!数学世界也很奇妙！成立吗？ 七 作业布置习题 八 课外阅读 倍立方问题很久很久以前，在古希腊的某个地方发生大旱，地里的庄稼都干死了，人们找不到水喝，于是大家一起到神庙里祈求神说，我之所以不给你们降水，因为你们给我做的正方体祭坛太小了，如果你们做一个比它大1倍的祭坛放在我面前，我就给你们降下雨水大家觉得这好办，很快做好一个祭坛送到神那儿，新祭坛的边长是原祭坛