2019届高考理科数学一轮复习学案第57讲二项式定理(含解析)

1、2019届高考理科数学一轮复习优选教学设计：第57讲二项式定理(含解析)2019届高考理科数学一轮复习优选教学设计：第57讲二项式定理(含解析)9/92019届高考理科数学一轮复习优选教学设计：第57讲二项式定理(含解析)第57讲二项式定理考试说明会用二项式定理解决与二项张开式有关的简单问题.考情解析真题再现2017-2013课标全国真题再现12017全国卷(1)6张开式中x2的系数为().+xA.15B.20C.30D.35解析C(1+x)6的张开式中x2的系数为,x4的系数为,所以(1+x)6张开式中x2的系数为=30.2.2017全国卷(x+y)(2x-y)5的张开式中x3y3的系数为(

2、)A80B40.-.-C40D80.解析C由二项式定理可得,原式张开式中含x3y3的项为x(2x)2(-y)3+y(2x)3(-y)2=40 x3y3,则x3y3的系数为40.32015全国卷(2)5的张开式中,52的系数为().x+x+yxyA10B20.C.30D.60解析C(x2+x)+y5的通项Tr+1=(x2+x)ry5-r,由题意取r=3,得T4=(x2+x)3y2=(x+1)3x3y2,记(x+1)3的通项Tr+1r,由题意得r=2,所以52的系数为30=xxy=.42013全国卷已知(1)(1+x)5的张开式中x2的系数为5,则a=().+axA.-4B.-3C.-2D.-1解

3、析D已知(1+x)(1+x)5的张开式中,x2的系数为+a=5,则a=-1,应选D.5.2013全国卷设m为正整数,(x+y)2m张开式的二项式系数的最大值为a,(x+y)2m+1张开式的二项式系数的最大值为b.若13a=7b,则m=()A.5B.6C.7D.8解析B(x+y)2m张开式的二项式系数的最大值是,即a=;(x+y)2m+1张开式的二项式系数的最大值是,即b=.13a=7b,13=7,13=7,易得m=6.62016全国卷(2x+)5的张开式中,3的系数是.(用数字填写答案).x答案10解析张开式的通项为Tr+1=25-r,令5-=3,得r=4,故所求系数为2=10.7.2015全

4、国卷(a+x)(1+x)4的张开式中x的奇数次幂项的系数之和为32,则a=.答案3解析(a+x)(1+x)4的张开式中x的奇数次幂项一部分来自第一个因式取a,第二个因式取x及x3;另一部分来自第一个因式取x,第二个因式取x0,x2及4所以系数之和为8832,所x.a+a+=a+=以a=3.8.2014全国卷(x-y)(x+y)8的张开式中x2y7的系数为.(用数字填写答案)答案-20解析(x+y)8的张开式中xy7的系数为=8,x2y6的系数为=28,故(x-y)(x+y)8的张开式中x2y7的系数为8-28=-20.9.2014全国卷(x+a)10的张开式中,x7的系数为15,则a=.(用数

5、字填写答案)答案解析张开式中x7的系数为315,即3,解得a=.a=a=2017-2016其他省份近似高考真题1.2016四川卷设i为虚数单位,则(x+i)6的张开式中含x4的项为()A.-15x4B.15x4C.-20ix4D.20ix4解析A由题可知,含x4的项为x4i2=-15x4.2.2017山东卷已知(1+3x)n的张开式中含有x2项的系数是54,则n=.答案4解析由于Tr+1=(3x)r,所以x2的系数为32,由32=54得n2-n-12=0,解得n=4或n=-3(舍去),故n=4.32017浙江卷已知多项式(1)3(2)2514233245,则4,5.x+x+=x+ax+ax+a

6、x+ax+aa=a=答案164解析由题意,得a4是张开式中的一次项系数,则41222+132116;5是张开式中的a=a常数项,则a5=1322=4.4.2016北京卷在(1-2x)6的张开式中,x2的系数为.(用数字作答)答案60解析张开式的通项Tr+1=16-r(-2x)r=(-2)rxr,令r=2,得x2的系数为(-2)2=60.5.2016上海卷在-n的二项张开式中,所有项的二项式系数之和为256,则常数项等于.答案112解析由题意得n所以n=8,则二项张开式的通项为T=()8-rrr得2=256,-=(-2),令-r=0,r+1r=2,所以常数项为T3=112.6.2016天津卷x2

7、-8的张开式中x7的系数为.(用数字作答)答案-56解析张开式的通项r+1(x28-rr(1)rx16-3r,由163r=7,得r=3,所以所求系数为(-1)3=-56.)T=-=-【课前双基牢固】知识聚焦1.r+12.相等2n2n-1对点演练1.16解析由题意得=,所以n=15,故张开式共有16项.2.9解析二项式x+12T=x12-rr=0,得r=8,即常数项是张开式的通项为=2,令12-r+1第9项.328解析二项张开式的通项为r+18-r(-1)r,令8-5,得r=2,所以含5项的系数为.T=x=x(-1)228=.4解析令1,得1412345,令x=-1,得

8、.-=ax+ax+ax+ax+axx=-=a+a+a+a+a-1+4=-a1+a2-a3+a4-a5,2(a1+a3+a5)=+,解得a1+a3+a5=.5280解析二项张开式的通项为r+1(-2)r(-2)rr,当r=3时,4(2)33=-2803,所.-T=x=xT=-xx以第4项的系数为-280.61解析由题意得2n32,所以5令x=1,得各项系数的和为(1-2)51.-=n=.=-7180解析(1)102(1-x)10,其张开式的通项为(r10-r(1-xrr=8,得r+11)2),令.+x=-T=-a8=4=180.8.-15解析(x+1)5(x-2)=x(x+1)5-2(x+1)5

9、,张开式中含有x2的项为-20 x2+5x2=-15x2,故x2的系数为-15.【课堂考点研究】例1思路点拨(1)第一依照张开式的通项求得含x3项的项数,尔后再利用张开式的通项求其系数第一依照张开式的通项求得常数项的项数,尔后再利用张开式的通项求常数项.;(2)(1)A(2)B解析(1)(1-2x)5的张开式的通项为Tr+1=(-2)rxr,令r=3,得x3的系数为(-2)3=-80,应选A.(2)二项张开式的通项为Tk+1=x6-k-k=x6-k(-1)k=(-1)k,要使其为常数,则6-k=0,即54=15.k=4,故常数项为T=(-1)变式题(1)A(2)20解析(1)x-5的张开式的通

10、项为r+15-r()rx5-2r令52r=3,解得T=x=-a.-r=1,3的系数为-a30,则实数6应选Ax=a=-.(2)张开式的通项为r+1(2x)r2r2r-53r-10 x2r-5,令253,得r=4,故x3的系数是2T=x=r-=12-104520,应填20.2=例2思路点拨(1)利用赋值法,先求各项系数和,为4n,二项式系数和为2n,求出6,尔后再利用张开式n=的通项求x3的系数即可;(2)利用二项张开式的通项,将绝对值符号去掉得12|+|a3|+|a|+|a+|a9|=-a1+a2-a3+-a9,令x=0得a0=1,令x=-1得a0-a1+a2-a3+-a9=29,相减可得.(

11、1)C(2)D解析(1)由题意知r+16-r=3r,令6-=3,得r=2,=64,得n=6,张开式的通项为T=x则x3的系数为32=135.应选C.令x=0,得a0=1,令x=-1,得|a1|+|a2|+|a3|+|a9|=1-(-1)9-1=29-1=511.变式题(1)D(2)-4或2解析(1)由于n=6是偶数,所以张开式共有7项,其中中间一项的二项式系数最大,其二项式系数为m=20,含x5项的系数为n=(-1)2=-12,则=-=-,应选D.(2)由x2+nn可得n=6,再由x2+n的张开式中二项式系数和为2=64,的张开式中所有项的系数和为(1+a)6=729,可得a=-4或a=2.例

12、3思路点拨依照二项式定理,将(1+x)n张开式中含x2项的系数分别求出,再相加.D解析张开式中x2项的系数是+=+=+=,所以x2项的系数是=220,应选D.例4思路点拨分别找出(-1)4的张开式中含x的项及常数项,再找出(x-1)2的张开式中含x的项及常数项,最后得出(-1)4(x-1)2的张开式中含x的项的系数.D解析由于(-1)4(x-1)221(221),所以(-1)4(x-1)2的张开式中,含x=x-+x-+x-x+项的系数为-2=4,应选D.例5思路点拨将x2-整体看作一项,利用二项式定理张开,再考虑张开式中哪些项含有常数项,相加得所求张开式中的常数项.117解析原式可化为x2-+

13、34=x2-4+3x2-3+9x2-2+27x2-+81,由于二项式2n的张开式的通项为r+1=x2n-2r(1)r2n-3r,令23,适合3时,r=2,此时对应的项是x-T=-xn=rn=(-1)23,所以常数项的系数为33481117,应填117.=+=增强演练1A解析x的奇数次幂项的系数之和为32,得a=-3,应选A.=.2.2解析23n=n+1解得n=5,所以log25=2.令x=1可得a+a+a+a=2+2+2+2=2-2=62,012nn3.-12解析(x2-x-2)3=(x-2)3(x+1)3,所以张开式中含x项的系数为(-2)3+(-2)2=-24+12=-12.4.120解析

14、xy3的系数为2=120.5.-180解析由题意得,x-(2x-1)6的张开式中含x3的项为x(2x)2(-1)4+(2x)4(-1)2=-180 x3,所以张开式中x3的系数为-180.6.-84解析由于(1+y3)x-n(nN+)的张开式中存在常数项,则1+y3中的y3与x-n的张开式中含项的乘积即为所求,x-n张开式的通项为Tr+1=(-1)rxn-3ry-r,令n-3r=0且-r=-3,得n=9,r=3,所以常3数项为(-1)=-84.例6思路点拨由题意结合二项式定理即可证得题中的结论.nnnn=m+n证明:由f(n,1)=mfn,得(1+m)=m1+,则1+m=m+,所以m=.又f2

15、017,=1+2017120171+12216,=+=而f-2017,=1+-2017=1+-20176f-2017,.例7思路点拨由题意求得首项和公差,据此可得数列的通项公式an.解:由题意,?m,又mN,m=2,a1=-=100.7777-15=(194+1)77-15=+(194)+(194)77-15=(194)+(194)+(194)76-19+5,7777-15除以19的余数为5,即n=5.-5张开式的通项为r+1=(-1)r,令5150,得r=3,T=r-=公差d=(-1)3=-4,an=a1+(n-1)d=104-4n.增强演练1.B解析利用二项式定理张开得883+6=(7+1)83+6=783+782+72+7+1+6=72M+837+7(M是正整数)=49M+4912=49N(N是正整数),883+6被49除所得的余数是0.应选B.20或7解析依照二项式定理可知,7n7n-17n-27(71)n-18n1,又由于.+=+=-8n-1=(9-1)n-1=9n+9n-1(-