《自动控制理论》第八章 例题解析

1、PAGE PAGE 74第8章 非线性控制系统的分析 例题解析例8-1 设非线性系统具有典型结构，试用等效增益概念分析具有死区的三位置理想继电特性(见图8-1(a)对系统稳定性的影响。 图8-1 稳定性分析解：由等效增益定义知，等效增益曲线如图8-1(b)所示，其中。设系统不存在非线性时，临界稳定增益为Kc，于是 = 1 * GB3 若KcKm，如图8-1(b)所示，则因实际增益小于临界增益Kc，所以系统稳定 = 2 * GB3 若KcKm，如图8-1(c)所示，其中x0=M./Kc，则当xx0时，此时，系统稳定，x收敛；当x减小至使xx0时，重复上述过程。可见，在这种情况下，系统将出现以x0

2、为振幅的自激振荡。 = 3 * GB3 原系统加入具有死区的理想三位置继电特性后，改善了系统的稳定性。不论原系统是否发散，现系统都不会发散，但可能产生一个以x0为振幅的自激振荡。例8-2 试求图8-2所示非线性环节的描述函数。（a） （b）图 8-2 非线性环节解：（1）对于图8-2（a），因为且单值奇对称，故A10图 8-3（2）对于图8-2（b），因为图示非线性可以分解为图8-3所示两个环节并联，所以 例8-3 试将图8-4（a），（b）所示系统归化为一个非线性部分和一个线性部分串联的典型结构。 （a） （b）图 8-4解：（1）G1与G2是小回路的负反馈，则 从而得典型结构，见图8-5。

3、图 8-5（2）在图8-4（b）中，先将主反馈回路与G1连结构成闭环，得到 再与H1串联得 最终得到典型结构，见图8-6（a），（b）。（a） （b）图 8-6例8-4 系统结构图如图8-7所示。试归化为一个非线性环节与一个线性部分串联的典型。图 8-7解：（1）求线性部分的传递函数G（s）：1）串联后做为G2的反馈通道图8-8见图8-8。1）线性部分的反馈回路等效为线性部分G（s），如图8-9所示。 归化的典型结构，见图8-10 图 8-9 图 8-10例8-5 将图8-11所示的非线性系统简化成非线性部分N(A)和等效线性部分G(s)相串联的典型结构(以便应用描述函数法)。写出等效线性部分

4、的传递函数。 解：对于图(a)，可简化成图8-12，再化为图8-13。（a） （b）图811图8-12 图8-13等效线性部分的传递函数为： G(s)=G1(s)1+H1(s)对于图(b)，可简化成图8-14，再化为图8-15。 图 8-14 图 8-15等效线性部分的传递函数为：例8-6 试确定图8-16所示非线性环节的描述函数。（1）将图8-16所示非线性特性分解为典型特性之和，见图8-17。由非线性可知，并联非线性环节其描述函数代数相加，故图8-16 （2）查表求出典型非线性特性N1（X），N2（X）。N1（X）为典型继电特性，其描述函数可据表查出N1（X）= 是放大环节。（3）求非线性

5、环节的描述函数N（X），即 图8-17例8-7 设非线性系统如图8-18所示，试讨论参数T对系统自振的影响。若T0.25，试求出输出振荡的振幅和频率。图8-18解：其中，M4；h1，且 其虚部，实部的计算数据如下：X/h11122.32.5345610110-0.36-0.785-1.36-1.63-1.8-2.22-3.04-3.85-4.61-7.81-8.6由于，当T0.25时，。其实部、虚部计算数据如下：1.51.72.02.22.32.534567101215-5.56-4.33-3.13-2.58-2.36-2-1.39-0.78-0.5-0.35-0.26-0.13-0.090.

6、061.30.570-0.2-0.27-0.36-0.46-0.47-0.42-0.37-0.33-0.24-0.2-0.16利用上述数据，在复平面上作出曲线和曲线，如图8-19所示。由图可见，B点对应自振，自振参数为，。因，所以自振振幅，频率 将振幅X折算到输出端，考虑到：图8-19所以输出振幅 故输出端振荡的振幅cX0.346，频率。为讨论T对自振的影响，令 由得，代入y得令，得。此时对应曲线曲线相切。由上可见，T对系统自振的影响为：T0.138， 与有两个交点A和B，如图8-19所示。小扰动时自振，大扰动时发散。T越大，自振振幅越小，自振频率越高。例8-8 设非线性系统结构图如图8-20

7、所示，试分析系统的稳定性。 图8-20 非线性系统结构图解：设内回路输出为，原系统结构图经等效变换后如图8-21所示，其中，N代表原结构图中的饱和非线性环节。线性部分的传递函数为图8-21 等效结构图 饱和特性的描述函数为 利用计算机，求出与曲线的交点参数为，X1.712，说明该系统存在周期运动。为确定该周期运动是否稳定，需判断G(s)中正极点个数P。由G(s)分母，画出等效系统的根轨迹，如图8-22所示。该等效系统的闭环极点(K=20)即为G(s)的极点。由根轨迹知，当K11时，G(s)有两个极点在右半复平面，故P2。 图 8-22 图 8-23将与曲线绘在图8-23中，在两曲线交点M附近沿

8、X增大方向取一点Q，作为等效（-1，j0）点，曲线在该点以远有故该非线性系统的周期运动解是不稳定的。例8-9 试求图8-24所示非线性系统的等效形式。 （a） (b)图8-24 非线性系统解：(1) 对图8-24（a），由于非线性的对称性，故只需要考虑x0的情况。当y有输出时， 。此时，故 其中，KK1K2；。利用非线性环节的对称性，可得等效非线性特性如图8-25（a）所示。图8-25（b）为非线性系统的等效形式。（2）对图8-24（b），由于非线性的对称性，故只需要考虑x0的情况。 （a） （b） （c） 图 8-25 等效形式当时，否则；当时，。令，则有，故 图8-26（a）即当时，。所以

9、等效非线性特性如图8-25（c）所示，其中。 图8-26（b）例8-10 已知非线性控制系统结构如图8-26（a）所示。为使系统不产生自振，试利用描述函数法确定继电特性参数a，b的值。解： 当时， 当时， 所以必然存在极值。由 令 ，得，则再求与实轴的交点。令 得 可以求得 10.8 也就是和实轴交点为（4/3， 0）。G（s）正极点个数p=0。为使系统不产生自振，应使和两曲线无交点，如图8-26（b）所示。所以应有也就是 例 8-11 本题共两小题。（1）已知图8-27（a）所示非线性系统，图示中，当，时，试分析系统是否产生自振。若产生自振，求自振的振幅和频率；若不产生自振，试判别系统的稳定

10、性。 （a）（b）图 8-27（2）设图8-27（b）所示非线性系统，试绘制起点在的相轨迹。解：（1）原结构图转化为图8-28所示结构。图 8-28 当时， 令 得 因而 由 解得 X1=1.1 X2=2.3由图8-29（a）可知，由于曲线以为自变量。以穿入为稳定自振点，穿出为不稳定自振点。因此1.1sint是不稳定的周期运动，而2.3sint是稳定周期运动，故系统在非线性部件入口处存在振幅为2.3、频率为1的自振。当时， 因为幅频曲线与曲线无交点，故系统不自振，且保持稳定，如图8-29（b）所示。 （a） （b） （c）图 8-29（2）由图8-29（b）可得 开关线为。当时， 积分可得 其

11、中 在区域内，相轨迹是一顶点在（c0，0），开口向左的抛物线。当时，积分可得。A2由区域内的相轨迹与开关线的交点决定。由 故 由上式可见，在区域内，相轨迹为水平直线。当时，积分解出。A3由区域内的相轨迹与开关线的交点决定。因为在区域内的相轨迹是水平直线，所以交点坐标为。故在区域内相轨迹是一顶点在（-c0，0），开口向右的抛物线，与在区域内的相轨迹对称。可见该非线性系统相轨迹上下对称，左右对称且关于原点对称，如图8-29（c）所示。例8-12 用描述函数法分析图8-30所示系统的稳定性，并判断系统能否自振；若有自振，求出自振频率和振幅。图 8-30其中 解：非线性系统可等价为如图8-31（a）所

12、示结构。在复平面上画出和曲线，见图8-31（b）。可见系统存在稳定的自振。 （a） 图8-31 （b）由 =得 即 由 所以 由 故系统在非线性部件入口处存在频率为，振幅为的自振。例8-13 已知如图8-32所示系统，分析当T=0.5时，系统是否存在自振。若存在自振，则求出输出端自振参数（幅频和频率），并讨论参数T的变化对系统自振的影响。图中M=1，h=1，（答案中要有定性的图示曲线）。图 8-32附：非线性元件的描述函数关系式不灵敏区： 饱和特性： 继电特性： 解: 原结构图中的死区特性和饱和特性正好组成一比例环节K=1。结构图可化简如图8-33所示。系统线性部分的开环传递函数令，得可见其幅

13、相曲线为一抛物线。继电器特性负倒描述函数是 图 8-33 图 8-34 由图8-34可见，G（s）和必然存在交点也就是必然有自振。由 得振荡频率 代入G（s）得 又由 如果令K0=1，则有 X=1.181折合到输出端振幅为 由 可见，T增大则振幅频率也增大，同时减小，相应的X减小，输出端振幅也减小。例8-14 判断图8-35所示各系统是否稳定 ，并判断与的交点是否为自振点。解：（1）先将图8-35中各图的稳定区标出来，见图8-36。（2）按图示各种情况，分别说明：（a）与两条曲线有交点。但是看到X增大时， 由的左侧进入 的右侧，是由的稳定区穿入不稳定区，故该交点是一个不稳定工作点，不是自振点。

14、图 8-35（b）始终在曲线的左侧，即在稳定区，说明系统闭环稳定。（c）负倒描述函数 与幅相频率特性曲线有交点，交于A点。由于是由的不稳定区穿出到稳定区，故A点为自振点。（d）稳定区如图8-36（d）所示。与两条相交于A，B两点。交点A是曲线由不稳定穿出到稳定区的交点，故交点A为系统的自振点。交点B是曲线由稳定区穿入到不稳定区的交点，故不是自振点，而是不稳定的周期运动点。图8-36（e） 曲线与曲线有一个交点，交点处是由不稳定区穿出到稳定区的点，故该交点为自振点。（f） 曲线与曲线有两个交点A，B。在A点穿入不稳定区，故A为不稳定工作点。在B点穿出不稳定区，B为自振点。（g） 与曲线有两个交点

15、，B为穿出点，是自振点。A为穿入点是不稳定工作点。例8-15 某单位反馈系统，其前向通路中有一描述函数的非线性元件，线性部分的传递函数为，试用描述函数法确定系统是否存在自振？若有，参数是多少？解：非线性元件的负倒描述函数：又 绘制负倒描述函数曲线与曲线，如图8-37所示。在B点，有： (1) (2)由2）式，有： 代入1）式，得： 图 8-37 故系统中产生自振荡，频率为2rad/s，振幅为5.29。例8-16 设系统微分方程为，初始条件为，试用消去时间变量t的办法求该系统相轨迹。解： 因为，所以特征根， 因为 所以 由式(1)、(2)得即相轨迹方程为相轨迹如图8-38所示，为一簇同心椭圆。椭

16、圆的大小与初始条件有关，每一个椭圆对应一个简谐振动。图8-38例8-17 设系统如图8-39所示，假设系统仅受初始条件作用，试画平面上的相轨迹。图8-39解：（1）求微分方程：由结构图知 当e时， 当e=0时，其中e=0为开关线。（2）求相轨迹： 当时，=-M 可见，在区域内，相轨迹是开口向左的抛物线，顶点在e轴上。当时，同理可得图8-40 相轨迹是一条开口向右的抛物线，顶点e轴上。当e=0时， 此时相轨迹在开关线上，u发生突跳。设突跳时刻为t0，将上式在t0时刻积分由于u跳跃，幅值为有限值2M，所以 当e由负向正运动穿过开关线时， 所以，在开关线上 （2）由上面分析可画出相轨迹，如图8-40

17、所示，相轨迹在开关线上有幅度为2M的跳跃。当时，相轨迹下跳；当时，相轨迹上跳，最终收敛于坐标原点。例8-18 试绘制的相轨迹解：由方程可见 1）满足原方程，为一条相轨迹。利用等倾线法，可求出其它相轨迹。 因为 ，所以，令得等倾线方程。可见，等倾线为一簇水平线。 图8-41当时， 。由式1）知，该等倾线亦为一条相轨迹，因相轨迹互不相交，故其它相轨迹均以此线为渐近线。当时，表明相轨迹垂直穿过x轴。当时，说明平面上下无穷远处的相轨迹斜率为-1/T。图8-41大致示出了该系统的相轨迹。例8-19 试绘制如图8-42所示系统的相平面图，并分析系统运动特性。初始条件为 解：由结构图知：图8-42又，所以

18、图8-43 由初始条件积分。当时， 得 相轨迹为一椭圆，且 当时， 当时， 当时， 积分得：相轨迹是圆心在（0，-1）半径为圆弧。当时， 同理，积分得 相轨迹是圆心在点（0，1）半径为的圆弧。整个相轨迹形成闭合的环形，如图8-43所示。说明系统运动为等幅振荡，且和初始条件有关。例8-20 设一阶非线性系统微分方程为试确定系统有几个平衡状态，分析平衡状态的稳定性，并作出系统的相轨迹。解：令，得即 系统的平衡状态为 xe0，1，1当xe0时，将原微分方程线性化，得特征方程：，特征根。可见xe0是一个稳定平衡点。当xe1时，令xx01进行平移变换，原微分方程变为：图8-44在x00(即x1)处进行线

19、性化，有： 显然，特征根：。此，xe-1是一个不稳定的平衡点。同理讨论xe1也是一个不稳定的平衡点。相轨迹如图8-44所示。图8-45例8-21 试用相平面法分析图8-45所示系统分别在情况下，相轨迹的特点。解：由图8-45可得到 因此，=0为开关线。分别求解可得 （1）当=0时，开关线为轴，相轨迹见图8-46（a），为一族封闭曲线，奇点在坐标原点，为中心点。图8-46（2）当时，开关线沿原点向右旋转，相轨迹见图8-46（b），奇点在坐标原点，为不稳定的焦点。（3）当时，开关线沿原点向左旋转，相轨迹见图8-46（c），奇点在坐标原点，为稳定的焦点。例8-22 设系统如图8-47所示。假设系统仅

20、受到初始条件的作用，试画出平面上的相轨迹。图8-47解：（1）求解微分方程：由结构图知 所当时， 当时，开关线为。（2）求相轨迹方程：当时 c1是与初始条件或此区域内相轨迹起点有关的积分常数。由上式可见，在区域内相轨迹是一条开口向左、顶点在e轴上的抛物线。当时c2是与初始条件或此区域内相轨迹起点有关的积分常数。在区域内，相轨迹是一条开口向右、顶点在e轴上的抛物线当时此时相轨迹正处于开关线上，u发生突跳。设突跳时刻为t0，将上式在t0时刻积分：由于t0时刻u跳跃幅值有限，故， 当e由负向正运动穿过开关线时，。所以，在开关线上图8-48上式表明了相轨迹在开关线上的跳跃幅度和方向。（3）绘制相轨迹：

21、相轨迹如图8-48所示。相轨迹在开关线上出现跳跃，幅度为2M。时，相轨迹下跳；时，相轨迹上跳。最终相轨迹收敛于坐标原点。例8-23 非线性系统结构如图8-50所示，试描绘该系统的相平面图。设输入。图 8-50解：由系统方框图，有 有 当时，图8-51相平面轨迹斜率为 当时，等倾线方程为 当时， 相平面轨迹斜率为 由三个区域的等倾线，在给定起始点后，可以描绘出相轨迹，如图8-51所示。例8-24 线性系统方程如下 讨论常数与相平面（）上奇点类型的关系。解： 由得方程组： 也就是求矩阵的特征值： =0得 令 则有 当时， 存在线性变换矩阵使得 令 有 由可得 坐标变换为 坐标变换后曲线只是形状发生

22、扭曲，奇点性质不变，只讨论变换后的奇点性质即可。，即 （8-1）当，为两正实根时，可假设，对式（8-1）积分得 相轨迹为抛物线，如图8-52（a）所示。此时奇点在原点，是不稳定的节点。当， 为两负实根时，假设时，对式（8-1）积分得相轨迹为抛物线，如图8-52（b）所示。此时奇点在原点，是稳定的节点。当为两异号实根时，设，则对式（8-1）积分得 此时相轨迹双曲线，如图8-52（c）奇点在原点，为一鞍点。（4）当， 为共轭复根时，设 得做变换 有 设 即 积分得 把代入得 令 则 当时，曲线如图8-52（d）所示，奇点为稳定的焦点。当时，曲线如图8-52（e）所示，奇点为不稳定的焦点。（5）当，

23、 为纯虚根时，令，则积分得 曲线如图8-52（f）所示，奇点在原点，为一鞍点。（6）当，中有一个为0时，设，则积分得，可见和无关。同样，当时， 和y2无关。不存在奇点。当时，矩阵有重特征值，若有，也就是，则有 此时 积分得 相轨迹为一组直线。若， 同号，则直线由轴向右倾斜，相轨迹如图8-52（g）所示。奇点在轴上，是不稳定的节点。若a，c异号，则直线由轴向左倾斜，相轨迹如图8-52（h）所示，奇点在轴上是稳定的节点。 图 8-52例8-25 试用描述函数法和相平面法分别研究图8-53所示系统的周期运动，说明应用描述函数法所做的基本假定的意义。解：（1）相平面法：由图8-53有图8-53 对方程组积分可得到 其中 ， 和初始条件无关。相轨迹：当时，是以（KM，0）为圆心，A为半径的圆。当时，是以（-KM，0）为圆心，A2为半径的圆。对于任意一条相轨迹有A1=A2，且A1=A2，原点是系统奇点，也是中心点。图8-54周期计算只要算1/4个周期即可，如图8-54所示，取起点A（C0，0），终点为点，有（2）描述函数法：非线性部分描述函数为 线性部分频率特性是 因此闭环特征方程为 对于任意一个不小于1的，都有一个X和