2018年全国高中数学联赛山东省预赛(解析版)

1、第 页 共 7 页2018年全国高中数学联赛山东省预赛一、填空题1若复数 满足 ，则 的最小值为 【答案】 1【解析】【详解】设 ， ， ，则点 的轨迹为线段 因此 为原点 到 的距离，即 2在正四核锥中，已知二面角 的正弦值为 ，则异面直线 与 所成的角为 【答案】【解析】【详解】如图，设 、 的交点为 ， 在 上的射影为 ，则 又因为 面 ，因此 ，所以 面 ，则因此 即为二面角 的平面角，从而由此得，因此，解得设 ， ，则 在 中，从而四棱锥各侧面均为正三角形，则异面直线 与 所成的角为 3函数的值域为 （其中 表示不超过实数的最大整数） 答案】解析】【详解】因为 且 ，对称所以 以 为

2、周期，且图象关于直线时， 的取值即可所以只需讨论时， 取得最小值 ，易得，当 时， 取得最大值 2；当 所以 的值域为 4在 中， ， 的平分线 交 于 ，且有 若 ，则 【答案】解析】【详解】过点 作 交 于点 ， 交 于点 ，由题设 ，所以因此所以，所以 ， ，因此由此得5甲、乙两人轮流掷一枚硬币至正面朝上或者朝下，规定谁先掷出正面朝上为赢；前一场的输者，则下一场先掷若第一场甲先掷，则甲赢得第场的概率为答案】解析】【详解】 设甲赢得第 场的概率为 ，在每一场先掷的人赢得的概率为所以 ，由此得因此因为 ， 在直线 上6若直线交椭圆 （ ，且 、 为整数） 于点 、 设为椭圆的上顶点，而 的重

3、心为椭圆的右焦点 ，则椭圆的方程为 【答案】【解析】【详解】设，由题意 的重心为椭圆的右焦点 ，整理得 ， 由 ， 在直线 上，得到由 ， 在椭圆 上，得到 ，两式相减并整理得 整理得将 ， 代入得整理得联立，且注意到、 为整数，解得故所求的椭圆方程为7对任意的实数， 的最小值为答案】解析】【详解】得 解得又当 ， ， 时，有解 ，故当 ， 时， 取到最小值 8已知 ，且 为方程 的一个根， 则 的最大可能值为 【答案】 9【解析】【详解】由题设 ，则 因为 ， ，则 必为完全平方数设 ，则 ， 所以 或 或 或 解得，8， ,0所以 的最大可能值为 9.9集合 、 满足 ， ，若 中的元素个

4、数不是 中的元素， 中的元素个数不是 中的元素，则满足条件的所有不同的集合 的个数为 【答案】 186【解析】【详解】设 中元素个数为 ，则 中元素个数为 ， ，此时满足题设要求的 的个数为其中，当 时，不满足题意，故 所以 的个数为10 设 为最接近 的整数，则答案】 解析】【详解】设 ，则，即因此满足 的 有 个注意到 ，从而或 7由于所以因此 二、解答题11已知圆与曲线 ， ， ， 为曲线 上的两点， 使得圆 上任意一点到点 的距离与到点 的距离之比为定值 ，求 的值【答案】【解析】【详解】设 为圆 上任意一点，则由题意知 即 ，于是 ，整理得 因此点 的轨迹是一个圆因为 为圆上任意一点

5、，所以此圆与圆 必为同一个圆，于是有 ，整理得 ， ，因为 ，所以，从而又因为 ，所以所以因此将 ， ，代入 ，得 12 已知数列满足： ， ，【答案】 见解析求证：解析】【详解】设 ，则从而 在区间 上单调递增，在 上单调递减当 下面用数学归纳法证明结论时，当 时， ；当，3，4 时，假设当 时结论成立，即有则当 时，由 在区间上单调递增，因此下证因为 ，所以所以 从而结论对 成立 由数学归纳法知，结论对任意正整数 均成立13实数 、 、 满足 ，试求 大值的最【解析】【详解】不妨设 ，令 ， ， ， ，则由条件知 ，整理成关于 的一元二次方程 因为方程有解，则 ，解得 上式关于 、 对称，不妨设 ， ，又因为 ，所以 当且仅当 ，即， ，时上式取到等号，因此14 证明对所有的正整数，存在一个集合 ，满足如下条件：（ 1） 由都小于的 个正整数组成；（ 2）对 的任意两个不同的非空子集、 ，集合 中所有元素之和不等于集合 中所有元素之和【答案】 见解析【解析】【详解】当 时，取 ，则 满足条件其次，当 时，令 下面证明这样的 满足条件事实上，设 、 是 的两个不同的非空子集，令 表示集合 的所有元素之和，要证明的目标是 不妨设 ，注意到，对任意 均有 所以，当 ， ， 都不属于 时