北京立新学校2022年高二数学文联考试卷含解析

1、Word 文档下载后（可任意编辑）北京立新学校 2022 年高二数学文联考试卷含解析一、 选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 如果一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底面为 ，腰和上底均为的等腰梯形，那么原平面图形的面积是（）点评： 本题考查球的体积的求法，解题的关键是求出球的半径，同时考查直角三角形的性质以及勾股定理的逆定理，考查运算能力，属于基础题A.参考答案：B.C.D.A3. 双曲线为的焦距（）2. 三棱锥SABC 的顶点都在同一球面上，且SA=AC=SB=BC=，SC=2，则该球的体积为（）ABCDAB

2、C2 D8参考答案：5. 过双曲线左焦点 F1 的弦 AB 长为 6，则（F 为右焦点）的周长是（2）参考答案：B考点： 球的体积和表面积专题： 计算题；空间位置关系与距离；球解答： 解：由于SA=AC=SB=BC=，SC=2，分析： 由勾股定理的逆定理可得SAAC，SBBC，取SC 的中点O，连接OA，OB，则由直角三角形的斜边上的中线即为斜边的一半，即有球的半径r 为 1，运用球的体积公式计算即可得到则 SA2+AC2=SC2，SB2+BC2=SC2，即有 SAAC，SBBC，取 SC 的中点O，连接OA，OB，则由直角三角形的斜边上的中线即为斜边的一半， 可得 OA=OB=OC=OS=1

3、，则球的体积为=即有球的半径r 为 1，故选 BD略如果 AC0，BC0，那么直线Ax+By+C=0 不通过（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限参考答案：A略A28B22C14 D12参考答案：A略已知函数 f(x)sinxlnx，则 f(1)的值为（）A1cos1B1cos1Ccos11D1cos1参考答案：B二、 填空题:本大题共 7 小题,每小题 4 分,共 28 分11. 已知半径为 1 的扇形面积为参考答案：，则此扇形的周长为.由图结合棱锥的体积公式，设扇形的弧长为l，则：l1=，故l=当这两个平面垂直时，底面积是定值，高最大，故该四面体的体积最大，则此扇形的周长为l+2R=

4、+2.此时棱锥的底面积S=a2sin60=，棱锥的高h=，12. 过点的直线，与圆相较于 A、B 两点，则 。7. 某人要制作一个三角形支架，要求它的三条高的长度分别为则此（）则该四面体的体积最大值为V=a2=10. 已知三棱锥SABC 的所有顶点都在球O 的球面上，是边长为 1 的正三角形，SC 为球O 的直径，且，则此棱锥的体积为（）ABCDA不能作出这样的三角形B能作出一个锐角三角形C能作出一个直角三角形D能作出一个钝角三角形参考答案：D略四面体的六条棱中，有五条棱长都等于a，则该四面体的体积的最大值为（）Aa3Ba3Ca3Da3参考答案：C【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积【分析】由已知中

5、一个四面体有五条棱长都等于2，我们易得该四面体必然有两个面为等边三角形， 我们根据棱锥的几何特征，分析出当这两个平面垂直时，该四面体的体积最大，将相关几何量代入棱锥体积公式，即可得到答案【解答】解：若一个四面体有五条棱长都等于a， 则它必然有两个面为等边三角形，如下图故选 C正方体 AC1 中，点P、Q 分别为棱A1B1、DD1 的中点，则PQ 与 AC1 所成的角为()A30oB45oC60oD90o参考答案：D略参考答案：A参考答案：【解答】解：法（1）：由题意，S =1=120，S =4=221，12参考答案：当 n=3 时，S =1+2+3+（21）+（31）+（32）+（32+1）=

6、12=322，13. 三个互不重合的平面把空间分成部分，则所有可能值为 3当 n=4 时，S =1+2+3+4+（21）+（31）+（41）+（32）+（42）+（43+2）+（32+1）+4（43+2+1）=32=423，根据前 4 项猜测集合N=1，2，3，n的每一个非空子集的“交替和”的总和S =n?2n1，或若三个平面互相平行，则可将空间分为部分；若三个平面有两个平行，第三个平面与其它两个平面相交，则可将空间分为 部分； 若三个平面交于一线，则可将空间分成部分；若三个平面两两相交且三条交线平行，则可将空间分成 部分；若三个平面两两相交且三条交线交于一点（如墙角三个墙面的关系），则可将空

7、间分成 部分 故的所有可能值为，或14. 函数的值域是n参考答案：法（2）：同法（1）可得S =1+2+3+（21）+（31）+（32）+（32+1）=12，3对于集合N=1，2，3，4，n，分析可得其共有 2n 个子集，将其子集分为两类：第一类包含元素n，第二类不包含元素n，其余的元素相同； 这两类子集可建立一一对应关系，如1，n和1，n和空集，共有 2（n1）对这样的子集，对于每一对这样的子集，如A 和 B，n 大于B 中任意元素，如果子集B 的交替和为b，则子集A 的交替和为nb 这样，A 与 B 的交替和 之和为 n，则 S =n?2n1n参考答案：已知集合N=1，2，3，4，n，A

8、为非空集合，且A?N，定义 A 的“交替和”如下：将集合A 中的元素按由大到小排列，然后从最大的数开始，交替地减、加后续的数，直到最后一个数，并规定单元素集合的交替和为该元素例如集合1，2，5，7，8的交替和为 87+52+1=5，集合4的交替和为 4，当 n=2 时，集合N=1，2的非空子集为1，2，1，2，记三个集合的交替和的总和为S =1+2+（21）=4，则n=3 时，集合N=1，2，3的所有非空子集的交替和的总和S =；集合23N=1，2，3，4，n的所有非空子集的交替和的总和S =n参考答案：12; n?2n1.【考点】进行简单的合情推理；元素与集合关系的判断【分析】根据“交替和”

9、的定义：按照递减的次序重新排列该子集，然后从最大数开始交替地减、加后继的数可求出“交替和”的总和S ，再根据其结果猜测集合N=1，2，3，n的每一个非空子集3参考答案：直线斜率是 2，y= =2，x= ，即 y=ln 上( ,ln )处切线斜率是 2所以切线是 y-ln( )=2(x- )，2x-y-1-ln2=0，则和 2x-y+3=0 的距离就是最短距离在 2x-y+3=0 上任取一点(0,3)，到 2x-y-1-ln2=0 距离=。三、 解答题：本大题共 5 小题，共 72 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤故答案为：12，n?2n117. 曲线上的点到直线的最短距离是15. 在

10、ABC 中，若，则 B 等于 18. 三角形的顶点，重心（1）求三角形的面积；的“交替和”的总和Sn即可参考答案：解：（1）由重心坐标公式可得点，所以，那么三角形的面积为（2）设三角形外接圆为，代入三点的坐标得（2）由题意知，设点P（x，y）为弦AB 的中点， 由（1）可知CPPQ，点 P 的轨迹方程是以CQ 为直径的圆， 线段 CQ 的中点为（2，），|CQ|=，则线段 AB 中点 P 的轨迹方程为；由圆的几何性质可知，当Q（3，1）是弦AB 的中点时，|AB|最小 弦心距，C 的半径为 5，解得，所以三角形的外接圆方程为可得|AB| =2=4min（本题满分 12 分）如图，在直三棱柱中，

11、平面侧面且（2）求三角形外接圆的方程.由|CQ|=5，可得 Q 在圆C 内，则直线l 与C 恒有两个交点；19. 已知C：x2+y22x4y20=0，直线l：（2m+1）x+（m+1）y7m4=0求证：直线l 与C 恒有两个交点；若直线l 与C 的两个不同交点分别为A，B求线段AB 中点P 的轨迹方程，并求弦AB 的最小值参考答案：【考点】直线和圆的方程的应用【分析】（1）求出圆C 的圆心和半径，整理直线方程为m（2x+y7）+（x+y4）=0，求出直线2x+y7=0，x+y4=0 的交点，判断它在圆内，即可得证；（2）由题意知，设点P（x，y）为弦AB 的中点，连接CP，则 CPPQ，由平面

12、几何知识可得点P 的轨迹方程是以CQ 为直径的圆，求得圆心和半径，注意运用中点坐标公式，再由当Q（3，1）是弦AB 的中点时，|AB|最小，运用勾股定理即可得到所求值【解答】解：（1）证明：C：x2+y22x4y20=0， 即（x1）2+（y2）2=25，圆心 C（1，2），半径r=5，又直线 l：（2m+1）x+（m+1）y7m4=0，化为 m（2x+y7）+（x+y4）=0，由解得，则直线 l 恒过定点Q（3，1），.（）求证：；（）若直线与平面所成的角为,求锐二面角的大小.参考答案：（1）证明：如图，取的中点，连接，因，则1 分由平面侧面，且平面侧面，得， 又平面，所以.3 分.因为三棱

13、柱是直三棱柱，则， 所 以 .5 分 .又，从而侧面，又侧面，故6 分又 PO底面O，AC底面O所以 ACPO，而OD，PO 是平面内的两条相交直线所以 AC平面POD；() 解法一：连接，由（1）可知，则是在内的射影即为直线与所成的角，则7 分在等腰直角中，且点是中点，且，8 分过点作于点，连，由（1）知，则，且即为二面角的一个平面角9 分且直角中：，又，11 分.又二面角为锐二面角，即二面角的大小为12 分解法二（向量法）略.(本题满分 10 分)在圆锥中，已知的直径的中点（）求证：；（）求直线.参考答案：（2）（方法一）由（1）知，AC平面POD，又 AC平面 PAC 所以平面POD平面PAC在平面 POD 中，过O 作OHPD 于 H，则 OH平面PAC 连接 CH，则CH 是 OC 在平面上的射影，所以OC