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1、Word 文档下载后(可任意编辑)北京立新学校 2022 年高二数学文联考试卷含解析一、 选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的1. 如果一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底面为 ,腰和上底均为的等腰梯形,那么原平面图形的面积是()点评: 本题考查球的体积的求法,解题的关键是求出球的半径,同时考查直角三角形的性质以及勾股定理的逆定理,考查运算能力,属于基础题A.参考答案:B.C.D.A3. 双曲线为的焦距()2. 三棱锥SABC 的顶点都在同一球面上,且SA=AC=SB=BC=,SC=2,则该球的体积为()ABCDAB
2、C2 D8参考答案:5. 过双曲线左焦点 F1 的弦 AB 长为 6,则(F 为右焦点)的周长是(2)参考答案:B考点: 球的体积和表面积专题: 计算题;空间位置关系与距离;球解答: 解:由于SA=AC=SB=BC=,SC=2,分析: 由勾股定理的逆定理可得SAAC,SBBC,取SC 的中点O,连接OA,OB,则由直角三角形的斜边上的中线即为斜边的一半,即有球的半径r 为 1,运用球的体积公式计算即可得到则 SA2+AC2=SC2,SB2+BC2=SC2,即有 SAAC,SBBC,取 SC 的中点O,连接OA,OB,则由直角三角形的斜边上的中线即为斜边的一半, 可得 OA=OB=OC=OS=1
3、,则球的体积为=即有球的半径r 为 1,故选 BD略如果 AC0,BC0,那么直线Ax+By+C=0 不通过()A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限参考答案:A略A28B22C14 D12参考答案:A略已知函数 f(x)sinxlnx,则 f(1)的值为()A1cos1B1cos1Ccos11D1cos1参考答案:B二、 填空题:本大题共 7 小题,每小题 4 分,共 28 分11. 已知半径为 1 的扇形面积为参考答案:,则此扇形的周长为.由图结合棱锥的体积公式,设扇形的弧长为l,则:l1=,故l=当这两个平面垂直时,底面积是定值,高最大,故该四面体的体积最大,则此扇形的周长为l+2R=
4、+2.此时棱锥的底面积S=a2sin60=,棱锥的高h=,12. 过点的直线,与圆相较于 A、B 两点,则 。7. 某人要制作一个三角形支架,要求它的三条高的长度分别为则此()则该四面体的体积最大值为V=a2=10. 已知三棱锥SABC 的所有顶点都在球O 的球面上,是边长为 1 的正三角形,SC 为球O 的直径,且,则此棱锥的体积为()ABCDA不能作出这样的三角形B能作出一个锐角三角形C能作出一个直角三角形D能作出一个钝角三角形参考答案:D略四面体的六条棱中,有五条棱长都等于a,则该四面体的体积的最大值为()Aa3Ba3Ca3Da3参考答案:C【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积【分析】由已知中
5、一个四面体有五条棱长都等于2,我们易得该四面体必然有两个面为等边三角形, 我们根据棱锥的几何特征,分析出当这两个平面垂直时,该四面体的体积最大,将相关几何量代入棱锥体积公式,即可得到答案【解答】解:若一个四面体有五条棱长都等于a, 则它必然有两个面为等边三角形,如下图故选 C正方体 AC1 中,点P、Q 分别为棱A1B1、DD1 的中点,则PQ 与 AC1 所成的角为()A30oB45oC60oD90o参考答案:D略参考答案:A参考答案:【解答】解:法(1):由题意,S =1=120,S =4=221,12参考答案:当 n=3 时,S =1+2+3+(21)+(31)+(32)+(32+1)=
6、12=322,13. 三个互不重合的平面把空间分成部分,则所有可能值为 3当 n=4 时,S =1+2+3+4+(21)+(31)+(41)+(32)+(42)+(43+2)+(32+1)+4(43+2+1)=32=423,根据前 4 项猜测集合N=1,2,3,n的每一个非空子集的“交替和”的总和S =n?2n1,或若三个平面互相平行,则可将空间分为部分;若三个平面有两个平行,第三个平面与其它两个平面相交,则可将空间分为 部分; 若三个平面交于一线,则可将空间分成部分;若三个平面两两相交且三条交线平行,则可将空间分成 部分;若三个平面两两相交且三条交线交于一点(如墙角三个墙面的关系),则可将空
7、间分成 部分 故的所有可能值为,或14. 函数的值域是n参考答案:法(2):同法(1)可得S =1+2+3+(21)+(31)+(32)+(32+1)=12,3对于集合N=1,2,3,4,n,分析可得其共有 2n 个子集,将其子集分为两类:第一类包含元素n,第二类不包含元素n,其余的元素相同; 这两类子集可建立一一对应关系,如1,n和1,n和空集,共有 2(n1)对这样的子集,对于每一对这样的子集,如A 和 B,n 大于B 中任意元素,如果子集B 的交替和为b,则子集A 的交替和为nb 这样,A 与 B 的交替和 之和为 n,则 S =n?2n1n参考答案:已知集合N=1,2,3,4,n,A
8、为非空集合,且A?N,定义 A 的“交替和”如下:将集合A 中的元素按由大到小排列,然后从最大的数开始,交替地减、加后续的数,直到最后一个数,并规定单元素集合的交替和为该元素例如集合1,2,5,7,8的交替和为 87+52+1=5,集合4的交替和为 4,当 n=2 时,集合N=1,2的非空子集为1,2,1,2,记三个集合的交替和的总和为S =1+2+(21)=4,则n=3 时,集合N=1,2,3的所有非空子集的交替和的总和S =;集合23N=1,2,3,4,n的所有非空子集的交替和的总和S =n参考答案:12; n?2n1.【考点】进行简单的合情推理;元素与集合关系的判断【分析】根据“交替和”
9、的定义:按照递减的次序重新排列该子集,然后从最大数开始交替地减、加后继的数可求出“交替和”的总和S ,再根据其结果猜测集合N=1,2,3,n的每一个非空子集3参考答案:直线斜率是 2,y= =2,x= ,即 y=ln 上( ,ln )处切线斜率是 2所以切线是 y-ln( )=2(x- ),2x-y-1-ln2=0,则和 2x-y+3=0 的距离就是最短距离在 2x-y+3=0 上任取一点(0,3),到 2x-y-1-ln2=0 距离=。三、 解答题:本大题共 5 小题,共 72 分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤故答案为:12,n?2n117. 曲线上的点到直线的最短距离是15. 在
10、ABC 中,若,则 B 等于 18. 三角形的顶点,重心(1)求三角形的面积;的“交替和”的总和Sn即可参考答案:解:(1)由重心坐标公式可得点,所以,那么三角形的面积为(2)设三角形外接圆为,代入三点的坐标得(2)由题意知,设点P(x,y)为弦AB 的中点, 由(1)可知CPPQ,点 P 的轨迹方程是以CQ 为直径的圆, 线段 CQ 的中点为(2,),|CQ|=,则线段 AB 中点 P 的轨迹方程为;由圆的几何性质可知,当Q(3,1)是弦AB 的中点时,|AB|最小 弦心距,C 的半径为 5,解得,所以三角形的外接圆方程为可得|AB| =2=4min(本题满分 12 分)如图,在直三棱柱中,
11、平面侧面且(2)求三角形外接圆的方程.由|CQ|=5,可得 Q 在圆C 内,则直线l 与C 恒有两个交点;19. 已知C:x2+y22x4y20=0,直线l:(2m+1)x+(m+1)y7m4=0求证:直线l 与C 恒有两个交点;若直线l 与C 的两个不同交点分别为A,B求线段AB 中点P 的轨迹方程,并求弦AB 的最小值参考答案:【考点】直线和圆的方程的应用【分析】(1)求出圆C 的圆心和半径,整理直线方程为m(2x+y7)+(x+y4)=0,求出直线2x+y7=0,x+y4=0 的交点,判断它在圆内,即可得证;(2)由题意知,设点P(x,y)为弦AB 的中点,连接CP,则 CPPQ,由平面
12、几何知识可得点P 的轨迹方程是以CQ 为直径的圆,求得圆心和半径,注意运用中点坐标公式,再由当Q(3,1)是弦AB 的中点时,|AB|最小,运用勾股定理即可得到所求值【解答】解:(1)证明:C:x2+y22x4y20=0, 即(x1)2+(y2)2=25,圆心 C(1,2),半径r=5,又直线 l:(2m+1)x+(m+1)y7m4=0,化为 m(2x+y7)+(x+y4)=0,由解得,则直线 l 恒过定点Q(3,1),.()求证:;()若直线与平面所成的角为,求锐二面角的大小.参考答案:(1)证明:如图,取的中点,连接,因,则1 分由平面侧面,且平面侧面,得, 又平面,所以.3 分.因为三棱
13、柱是直三棱柱,则, 所 以 .5 分 .又,从而侧面,又侧面,故6 分又 PO底面O,AC底面O所以 ACPO,而OD,PO 是平面内的两条相交直线所以 AC平面POD;() 解法一:连接,由(1)可知,则是在内的射影即为直线与所成的角,则7 分在等腰直角中,且点是中点,且,8 分过点作于点,连,由(1)知,则,且即为二面角的一个平面角9 分且直角中:,又,11 分.又二面角为锐二面角,即二面角的大小为12 分解法二(向量法)略.(本题满分 10 分)在圆锥中,已知的直径的中点()求证:;()求直线.参考答案:(2)(方法一)由(1)知,AC平面POD,又 AC平面 PAC 所以平面POD平面PAC在平面 POD 中,过O 作OHPD 于 H,则 OH平面PAC 连接 CH,则CH 是 OC 在平面上的射影,所以OC
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