结构力学优化算法：差分进化(DE)：差分进化算法的交叉与选择机制

结构力学优化算法：差分进化(DE)：差分进化算法的交叉与选择机制1差分进化算法简介1.1DE算法的历史与背景差分进化算法（DifferentialEvolution,DE）是一种基于群体智能的优化算法，由RainerStorn和KennethPrice在1995年提出。DE算法最初设计用于解决连续优化问题，但其应用范围已扩展至离散优化、多目标优化等领域。DE算法的灵感来源于生物进化过程，通过模拟自然选择、交叉和变异等机制，实现对问题解的优化搜索。1.1.1历史发展1995年：DE算法首次被提出，用于解决连续函数优化问题。1997年：DE算法的性能在多个基准测试函数上得到验证，显示了其在解决复杂优化问题上的潜力。2000年以后：DE算法逐渐被应用于各种领域，包括机器学习、信号处理、工程设计等，成为一种流行的全局优化方法。1.2DE算法的基本原理与流程DE算法是一种迭代优化算法，其核心思想是通过个体之间的差异来指导搜索方向，从而找到全局最优解。算法流程主要包括初始化、变异、交叉、选择和迭代等步骤。1.2.1初始化初始化阶段，DE算法随机生成一个包含多个个体的种群，每个个体代表一个可能的解。种群大小通常为问题维度的4到10倍。importnumpyasnp

#定义问题维度和种群大小

dimension=10

population_size=40

#初始化种群

population=np.random.rand(population_size,dimension)1.2.2变异变异操作是DE算法的核心，通过选择种群中的三个个体，计算它们之间的差值，并将差值加到另一个个体上，生成变异向量。#选择三个个体

r0,r1,r2=np.random.choice(population_size,3,replace=False)

x_r0=population[r0]

x_r1=population[r1]

x_r2=population[r2]

#变异操作

F=0.5#变异因子

mutant=x_r0+F*(x_r1-x_r2)1.2.3交叉交叉操作用于增加种群的多样性，通过将变异向量与原种群中的个体进行混合，生成试验向量。#交叉操作

trial=np.copy(population[r0])

foriinrange(dimension):

ifnp.random.rand()<0.9ori==np.random.randint(dimension):

trial[i]=mutant[i]1.2.4选择选择操作基于适应度函数，比较试验向量与原种群中的个体，保留适应度更高的个体。#定义适应度函数

deffitness(x):

returnnp.sum(x**2)

#选择操作

iffitness(trial)<fitness(population[r0]):

population[r0]=trial1.2.5迭代DE算法通过重复变异、交叉和选择操作，不断更新种群，直到达到预设的迭代次数或满足停止条件。#迭代过程

max_generations=100

forgenerationinrange(max_generations):

foriinrange(population_size):

#变异、交叉、选择操作

r0,r1,r2=np.random.choice(population_size,3,replace=False)

mutant=population[r0]+F*(population[r1]-population[r2])

trial=np.copy(population[i])

forjinrange(dimension):

ifnp.random.rand()<0.9orj==np.random.randint(dimension):

trial[j]=mutant[j]

iffitness(trial)<fitness(population[i]):

population[i]=trial通过以上步骤，DE算法能够在搜索空间中有效地探索，找到问题的最优解或近似最优解。其简单性和高效性使其在优化领域中得到广泛应用。2交叉机制详解2.1DE/rand/1交叉策略2.1.1原理差分进化算法(DE)中的DE/rand/1交叉策略是一种基本的变异策略。它从种群中随机选择三个不同的个体xi,xj,xk，然后计算它们之间的差向量，并将这个差向量加到另一个随机选择的个体xv其中，F是缩放因子，通常在0到1之间，用于控制差向量的步长。2.1.2内容在DE/rand/1策略中，变异过程是算法的核心。变异向量vt2.1.2.1代码示例importnumpyasnp

defde_rand_1(population,F):

"""

DE/rand/1变异策略实现。

参数:

population(np.array):当前种群，二维数组，每一行代表一个个体。

F(float):缩放因子，控制变异步长。

返回:

np.array:变异后的个体。

"""

#种群大小

pop_size=population.shape[0]

#随机选择三个不同的个体

a,b,c=population[np.random.choice(pop_size,3,replace=False)]

#随机选择一个个体进行变异

r=population[np.random.randint(pop_size)]

#生成变异向量

mutant=r+F*(a-b)

returnmutant

#示例种群

pop=np.array([[0.5,0.6,0.7],

[0.8,0.9,1.0],

[1.1,1.2,1.3],

[1.4,1.5,1.6]])

#缩放因子

F=0.5

#应用DE/rand/1策略

mutant=de_rand_1(pop,F)

print("变异后的个体:",mutant)2.1.3描述上述代码示例中，我们定义了一个de_rand_1函数，它接受当前种群和缩放因子作为参数。函数内部首先随机选择三个不同的个体a,b,c，然后随机选择一个个体r进行变异。通过计算r+F⋅a−2.2DE/best/1交叉策略2.2.1原理DE/best/1策略与DE/rand/1类似，但变异向量的生成方式有所不同。它使用当前种群中的最佳个体xbest和两个随机选择的个体xj,xv2.2.2内容DE/best/1策略通过利用种群中的最佳个体，增加了算法向最优解方向的搜索能力。这种策略在保持种群多样性的同时，也加速了收敛速度。2.2.2.1代码示例defde_best_1(population,fitness,F):

"""

DE/best/1变异策略实现。

参数:

population(np.array):当前种群，二维数组，每一行代表一个个体。

fitness(np.array):种群中个体的适应度值，一维数组。

F(float):缩放因子，控制变异步长。

返回:

np.array:变异后的个体。

"""

#种群大小

pop_size=population.shape[0]

#找到当前种群中的最佳个体

best_idx=np.argmax(fitness)

x_best=population[best_idx]

#随机选择两个不同的个体

a,b=population[np.random.choice(pop_size,2,replace=False)]

#随机选择一个个体进行变异

r=population[np.random.randint(pop_size)]

#生成变异向量

mutant=r+F*(x_best-r)+F*(a-b)

returnmutant

#示例种群

pop=np.array([[0.5,0.6,0.7],

[0.8,0.9,1.0],

[1.1,1.2,1.3],

[1.4,1.5,1.6]])

#示例适应度值

fitness=np.array([0.1,0.2,0.3,0.4])

#缩放因子

F=0.5

#应用DE/best/1策略

mutant=de_best_1(pop,fitness,F)

print("变异后的个体:",mutant)2.2.3描述在DE/best/1策略的代码示例中，我们首先找到种群中的最佳个体xbest，然后随机选择两个不同的个体a,b，以及一个个体r进行变异。通过计算r+2.3自适应交叉策略2.3.1原理自适应交叉策略是DE算法中的一种高级策略，它根据算法的运行情况动态调整交叉概率CR和缩放因子F2.3.2内容在自适应交叉策略中，CR和F的值不是固定的，而是根据算法的迭代次数、种群的多样性、以及目标函数的特性动态调整。例如，当算法接近最优解时，可以减小F的值，以减小步长，进行更精细的搜索；同时，增加C2.3.2.1代码示例defadaptive_cr_f(population,fitness,iteration,max_iter):

"""

自适应调整交叉概率CR和缩放因子F。

参数:

population(np.array):当前种群，二维数组，每一行代表一个个体。

fitness(np.array):种群中个体的适应度值，一维数组。

iteration(int):当前迭代次数。

max_iter(int):最大迭代次数。

返回:

tuple:(CR,F)，其中CR是交叉概率，F是缩放因子。

"""

#种群大小

pop_size=population.shape[0]

#计算种群的平均适应度

avg_fitness=np.mean(fitness)

#根据迭代次数和平均适应度调整CR和F

CR=0.5+(0.5*(avg_fitness/np.max(fitness)))

F=0.5-(0.4*(iteration/max_iter))

#确保CR和F的值在合理范围内

CR=max(0.1,min(CR,0.9))

F=max(0.1,min(F,0.9))

returnCR,F

#示例种群

pop=np.array([[0.5,0.6,0.7],

[0.8,0.9,1.0],

[1.1,1.2,1.3],

[1.4,1.5,1.6]])

#示例适应度值

fitness=np.array([0.1,0.2,0.3,0.4])

#当前迭代次数

iteration=10

#最大迭代次数

max_iter=100

#应用自适应策略调整CR和F

CR,F=adaptive_cr_f(pop,fitness,iteration,max_iter)

print("调整后的交叉概率CR:",CR)

print("调整后的缩放因子F:",F)2.3.3描述在自适应交叉策略的代码示例中，我们定义了一个adaptive_cr_f函数，它根据当前种群的平均适应度和迭代次数动态调整交叉概率CR和缩放因子F。函数内部首先计算种群的平均适应度，然后根据平均适应度和迭代次数调整CR和2.4总结差分进化算法中的交叉机制是其搜索策略的关键组成部分。通过不同的交叉策略，如DE/rand/1、DE/best/1和自适应交叉策略，算法能够有效地探索解空间，找到最优解。上述代码示例展示了如何在Python中实现这些交叉策略，为理解和应用DE算法提供了实践指导。3选择机制解析3.1个体适应度评估在差分进化算法中，个体适应度评估是核心步骤之一，它决定了个体在种群中的生存能力。适应度函数根据问题的具体需求设计，用于量化个体的优劣。例如，在结构力学优化中，适应度函数可能基于结构的重量、成本、应力分布或稳定性等因素。3.1.1示例：结构重量最小化假设我们正在优化一个桥梁的设计，目标是最小化其重量。桥梁由多个参数定义，如材料类型、横截面尺寸和长度等。适应度函数可以定义为：deffitness_function(individual):

"""

计算个体（桥梁设计）的适应度，即桥梁的重量。

individual:一个包含桥梁设计参数的列表。

"""

#假设参数如下：

#individual[0]:材料密度

#individual[1]:横截面面积

#individual[2]:长度

weight=individual[0]*individual[1]*individual[2]

returnweight3.1.2数据样例假设我们有以下三个个体：个体1:[2.7e3,0.5,10]（铝，横截面面积0.5平方米，长度10米）个体2:[7.8e3,0.3,8]（钢，横截面面积0.3平方米，长度8米）个体3:[2.3e3,0.6,12]（镁合金，横截面面积0.6平方米，长度12米）我们可以使用上述适应度函数计算每个个体的适应度：individuals=[

[2.7e3,0.5,10],#铝

[7.8e3,0.3,8],#钢

[2.3e3,0.6,12]#镁合金

]

fitness_values=[fitness_function(ind)forindinindividuals]

print(fitness_values)#输出：[13500.0,18720.0,16080.0]3.2生存者选择策略差分进化算法中的生存者选择策略用于决定哪些个体将被保留到下一代。常见的策略包括“竞争选择”和“精英策略”。3.2.1竞争选择竞争选择策略中，新生成的个体与种群中的某个个体进行比较，如果新个体的适应度更好，则替换旧个体。这通常涉及到一对一的比较。3.2.2精英策略精英策略确保种群中适应度最好的个体被保留到下一代，即使新个体的适应度普遍较低。这有助于保持种群的多样性，同时确保最优解不会丢失。3.2.3示例：使用竞争选择策略假设我们有一个种群，包含上述三个个体，以及通过差分进化操作生成的新个体：新个体:[2.7e3,0.4,9]（铝，横截面面积0.4平方米，长度9米）我们首先计算新个体的适应度，然后与种群中的个体进行比较，以决定是否替换：defcompetitive_selection(population,new_individual):

"""

使用竞争选择策略，比较新个体与种群中的个体，保留适应度更好的个体。

population:当前种群的列表。

new_individual:新生成的个体。

"""

new_fitness=fitness_function(new_individual)

worst_index=population.index(max(population,key=fitness_function))

ifnew_fitness<fitness_function(population[worst_index]):

population[worst_index]=new_individual

returnpopulation

#更新种群

population=[

[2.7e3,0.5,10],#铝

[7.8e3,0.3,8],#钢

[2.3e3,0.6,12]#镁合金

]

new_individual=[2.7e3,0.4,9]#新个体

population=competitive_selection(population,new_individual)

print(population)#输出更新后的种群3.2.4示例：使用精英策略精英策略确保种群中适应度最好的个体不会被替换。我们可以通过以下方式实现：defelite_strategy(population,new_individuals):

"""

使用精英策略，保留种群中适应度最好的个体，并用新个体替换其余个体。

population:当前种群的列表。

new_individuals:通过差分进化操作生成的新个体列表。

"""

#计算当前种群和新个体的适应度

current_fitness=[fitness_function(ind)forindinpopulation]

new_fitness=[fitness_function(ind)forindinnew_individuals]

#找到当前种群中适应度最好的个体

elite_index=current_fitness.index(min(current_fitness))

elite_individual=population[elite_index]

#用新个体替换当前种群中的个体，保留精英个体

population=new_individuals+[elite_individual]

returnpopulation

#更新种群

population=[

[2.7e3,0.5,10],#铝

[7.8e3,0.3,8],#钢

[2.3e3,0.6,12]#镁合金

]

new_individuals=[

[2.7e3,0.4,9],#新个体1

[2.3e3,0.5,11],#新个体2

[7.8e3,0.2,7]#新个体3

]

population=elite_strategy(population,new_individuals)

print(population)#输出更新后的种群，包含精英个体通过上述示例，我们可以看到差分进化算法中选择机制如何工作，以及如何通过不同的策略来优化种群，以寻找结构力学问题的最优解。4DE算法在结构力学优化中的应用4.1结构优化问题定义在结构力学领域，优化问题通常涉及寻找最佳的结构设计，以满足特定的性能指标，如最小化结构的重量、成本或应力，同时确保结构的强度和稳定性。这类问题可以被形式化为一个多目标优化问题，其中目标函数可能包括结构的重量、成本、应力等，而约束条件则可能涉及结构的尺寸、材料属性、安全系数等。4.1.1目标函数以最小化结构重量为例，目标函数可以表示为：f其中，wi是第i个结构元素的单位重量，x4.1.2约束条件约束条件可能包括：-尺寸约束：每个结构元素的尺寸必须在一定范围内。-强度约束：结构的任何部分都不能超过其材料的强度极限。-稳定性约束：结构必须满足特定的稳定性要求，如不能发生过大的变形。4.2DE算法求解结构优化实例差分进化（DifferentialEvolution,DE）算法是一种高效的全局优化技术，特别适用于解决高维、非线性、非连续的优化问题。DE算法通过迭代过程，利用种群中的个体差异进行变异、交叉和选择，逐步逼近最优解。4.2.1实例：桥梁结构优化假设我们正在设计一座桥梁，目标是最小化其总重量，同时确保其强度和稳定性满足标准。桥梁由多个梁组成，每个梁的尺寸（宽度和高度）是可变的。4.2.1.1目标函数f其中，m是梁的数量，wi和hi分别是第i个梁的单位宽度和高度重量，xi4.2.1.2约束条件每个梁的宽度和高度必须在0.1,桥梁的总应力不能超过材料的强度极限，假设为100MPa。4.2.1.3DE算法实现importnumpyasnp

fromscipy.optimizeimportdifferential_evolution

#定义目标函数

defbridge_weight(x):

#假设参数

w=np.array([10,15,20,25,30])#单位宽度重量

h=np.array([5,10,15,20,25])#单位高度重量

#计算总重量

total_weight=np.sum(w*x[::2]+h*x[1::2])

returntotal_weight

#定义约束条件

defbridge_stress(x):

#假设参数

max_stress=100#材料强度极限

#计算总应力

total_stress=np.sum(x)#简化示例，实际应力计算更复杂

returnmax_stress-total_stress

#约束列表

bounds=[(0.1,1.0)]*10#5个梁，每个梁的宽度和高度

constraints=({'type':'ineq','fun':bridge_stress})

#DE算法求解

result=differential_evolution(bridge_weight,bounds,constraints=constraints)

print("Optimalsolutionfound:",result.x)

print("Minimumweight:",result.fun)4.2.2解释在上述代码中，我们定义了桥梁的总重量为目标函数，并通过differential_evolution函数求解。约束条件通过bridge_stress函数定义，确保桥梁的总应力不超过材料的强度极限。DE算法通过迭代，逐步调整梁的尺寸，找到满足所有约束条件下的最小总重量。4.2.2.1注意实际应用中，应力计算会基于更复杂的力学模型，而非简单的总和。DE算法的参数（如种群大小、变异因子、交叉概率等）需要根据具体问题进行调整，以获得最佳性能。通过DE算法，结构力学优化问题可以被有效地解决，找到既满足性能要求又经济的设计方案。5提高DE算法性能的策略5.1参数调优技巧5.1.1控制变异因子(F)5.1.1.1原理差分进化(DE)算法中的变异因子F控制着变异操作的步长，其值通常在[0,2]之间。选择合适的F值对于算法的探索能力和收敛速度至关重要。过小的F值可能导致算法收敛过慢，而过大的F值则可能使算法在搜索空间中跳跃过于剧烈，难以找到最优解。5.1.1.2内容自适应F值调整：根据当前迭代的性能动态调整F值，如使用自适应策略F=Fmin+Fmax−随机F值：在每次迭代中随机选择F值，增加算法的随机性和探索能力。5.1.1.3示例代码importnumpyasnp

defadaptive_F(iteration,max_iter,F_min=0.5,F_max=1.0):

"""

动态调整变异因子F的值

:paramiteration:当前迭代次数

:parammax_iter:最大迭代次数

:paramF_min:F值的最小限制

:paramF_max:F值的最大限制

:return:调整后的F值

"""

returnF_min+(F_max-F_min)*iteration/max_iter

#假设最大迭代次数为100，当前迭代次数为50

F=adaptive_F(50,100)

print(f"调整后的F值为:{F}")5.1.2控制交叉率(CR)5.1.2.1原理交叉率CR决定了个体中多少基因会从变异向量中继承。合理的C5.1.2.2内容自适应CR值调整：与F类似，C混合策略：结合不同的CR值策略，如在算法初期使用较大的C5.1.2.3示例代码defadaptive_CR(iteration,max_iter,CR_min=0.1,CR_max=0.9):

"""

动态调整交叉率CR的值

:paramiteration:当前迭代次数

:parammax_iter:最大迭代次数

:paramCR_min:CR值的最小限制

:paramCR_max:CR值的最大限制

:return:调整后的CR值

"""

returnCR_min+(CR_max-CR_min)*(1-iteration/max_iter)

#假设最大迭代次数为100，当前迭代次数为50

CR=adaptive_CR(50,100)

print(f"调整后的CR值为:{CR}")5.2多目标优化与DE算法5.2.1多目标优化原理5.2.1.1内容多目标优化问题涉及同时优化多个目标函数，这些目标函数之间可能存在冲突。DE算法在处理多目标优化时，通常采用帕累托最优的概念，即寻找一组解，其中不存在任何解在所有目标上都优于该组解中的任何其他解。5.2.2DE算法在多目标优化中的应用5.2.2.1内容多目标DE算法：如NSGA-II(Non-dominatedSortingGeneticAlgorithmII)与DE的结合，通过非支配排序和拥挤距离来选择个体。权重法：为每个目标函数分配权重，将多目标问题转化为单目标问题。5.2.2.2示例代码fromdeapimportbase,creator,tools,algorithms

importrandom

#定义问题类型

creator.create("FitnessMin",base.Fitness,weights=(-1.0,-1.0))

creator.create("Individual",list,fitness=creator.FitnessMin)

#目标函数

defevalTwoObj(individual):

x,y=individual

obj1=x**2+y**2

obj2=(x-1)**2+(y-1)**2

returnobj1,obj2

#初始化种群

toolbox=base.Toolbox()

toolbox.register("attr_float",random.random)

toolbox.register("individual",tools.initRepeat,creator.Individual,toolbox.attr_float,n=2)

toolbox.register("population",tools.initRepeat,list,toolbox.individual)

#注册算法操作

toolbox.register("mate",tools.cxSimulatedBinaryBounded,eta=20.0,low=0,up=1)

toolbox.register("mutate",tools.mutPolynomialBounded,eta=20.0,low=0,up=1,indpb=1.0/2)

toolbox.register("select",tools.selNSGA2)

toolbox.register("evaluate",evalTwoObj)

#运行算法

pop=toolbox.population(n=50)

hof=tools.ParetoFront()

stats=tools.Statistics(lambdaind:ind.fitness.values)

stats.register("avg",np.mean,axis=0)

stats.register("std",np.std,axis=0)

stats.register("min",np.min,axis=0)

stats.register("max",np.max,axis=0)

pop,logbook=algorithms.eaMuPlusLambda(pop,toolbox,mu=50,lambda_=100,cxpb=0.7,mutpb=0.2,ngen=100,stats=stats,halloffame=hof)5.2.3解析帕累托前沿5.2.3.1内容帕累托前沿是指在多目标优化问题中，不存在任何其他解在所有目标上都优于该解集中的解。在DE算法中，通过非支配排序可以识别出帕累托前沿上的解。5.2.3.2示例代码#假设hof是算法运行后得到的帕累托前沿

pareto_front=np.array([ind.fitness.valuesforindinhof])

print("帕累托前沿上的解:")

forindinpareto_front:

print(ind)5.2.4处理多目标冲突5.2.4.1内容在多目标优化中，冲突的目标函数可能导致算法难以找到最优解。通过引入偏好或约束，可以引导算法寻找更符合实际需求的解。5.2.4.2示例代码#定义带有约束的目标函数

defevalTwoObjWithConstraints(individual):

x,y=individual

obj1=x**2+y**2

obj2=(x-1)**2+(y-1)**2

ifx<0ory<0:

return(obj1+1000,obj2+1000)#对违反约束的解施加惩罚

returnobj1,obj2

#更新目标函数

toolbox.unregister("evaluate")

toolbox.register("evaluate",evalTwoObjWithConstraints)

#重新运行算法

pop,logbook=algorithms.eaMuPlusLambda(pop,toolbox,mu=50,lambda_=100,cxpb=0.7,mutpb=0.2,ngen=100,stats=stats,halloffame=hof)通过上述策略，可以显著提高DE算法在解决复杂优化问题时的性能和效率。6DE算法与其他优化算法的比较6.1遗传算法(GA)对比6.1.1原理与内容遗传算法（GeneticAlgorithm,GA）和差分进化算法（DifferentialEvolution,DE）都是基于自然选择和遗传学原理的全局优化技术。然而，它们在操作机制上存在显著差异。6.1.1.1遗传算法(GA)遗传算法通过模拟自然选择过程，包括选择、交叉、变异和适应度评估，来搜索最优解。GA中，个体（解）通常被编码为二进制字符串或实数向量，通过交叉操作交换部分基因，变异操作随机改变基因，以及选择操作保留适应度高的个体，从而迭代进化种群。6.1.1.2差分进化算法(DE)DE算法则采用向量表示个体，通过差分变异和交叉操作生成新个体。差分变异是DE的核心，它通过计算种群中个体之间的差向量，然后将这个差向量加到另一个个体上，生成变异个体。交叉操作则决定变异个体的哪些部分将被保留到下一代。选择机制基于适应度，保留更优的个体。6.1.2示例6.1.2.1GA示例代码#遗传算法示例代码

importrandom

#定义适应度函数

deffitness_function(x):

returnx**2-5*x+6

#初始化种群

definit_population(pop_size,chrom_length):

return[random.choices([0,1],k=chrom_length)for_inrange(pop_size)]

#交叉操作

defcrossover(parent1,parent2,crossover_rate):

ifrandom.random()<crossover_rate:

point=random.randint(1,len(parent1)-2)

returnparent1[:point]+parent2[point:]

returnparent1

#变异操作

defmutation(individual,mutation_rate):

return[1ifrandom.random()<mutation_rateelsegeneforgeneinindividual]

#选择操作

defselection(population,fitnesses):

return[population[i]foriinsorted(range(len(population)),key=lambdak:fitnesses[k])[:len(population)//2]]

#主循环

defgenetic_algorithm(pop_size,chrom_length,generations,crossover_rate,mutation_rate):

population=init_population(pop_size,chrom_length)

for_inrange(generations):

fitnesses=[fitness_function(int(''.join(map(str,individual)),2))forindividualinpopulation]

new_population=[]

foriinrange(pop_size):

parent1=random.choice(population)

parent2=random.choice(population)

child=crossover(parent1,parent2,crossover_rate)

child=mutation(child,mutation_rate)

new_population.append(child)

population=selection(new_population+population,fitnesses+fitnesses)

best_individual=min(population,key=lambdax:fitness_function(int(''.join(map(str,x)),2)))

returnfitness_function(int(''.join(map(str,best_individual)),2)),best_individual

#参数设置

pop_size=50

chrom_length=10

generations=100

crossover_rate=0.7

mutation_rate=0.01

#运行遗传算法

best_fitness,best_individual=genetic_algorithm(pop_size,chrom_length,generations,crossover_rate,mutation_rate)

print(f"最优适应度:{best_fitness},最优个体:{best_individual}")6.1.2.2DE示例代码#差分进化算法示例代码

importnumpyasnp

#定义适应度函数

deffitness_function(x):

returnx**2-5*x+6

#初始化种群

definit_population(pop_size,dim):

returnnp.random.uniform(-10,10,(pop_size,dim))

#差分变异

defdifferential_mutation(population,F):

idxs=np.random.choice(len(population),3,replace=False)

returnpopulation[idxs[0]]+F*(population[idxs[1]]-population[idxs[2]])

#交叉操作

defcrossover(target,mutant,CR):

trial=np.copy(target)

foriinrange(len(target)):

ifrandom.random()<CR:

trial[i]=mutant[i]

returntrial

#选择操作

defselection(population,fitnesses,trial,trial_fitness):

iftrial_fitness<fitnesses:

returntrial,trial_fitness

returnpopulation,fitnesses

#主循环

defdifferential_evolution(pop_size,dim,generations,F,CR):

population=init_population(pop_size,dim)

fitnesses=np.array([fitness_function(x)forxinpopulation])

for_inrange(generations):

foriinrange(pop_size):

mutant=differential_mutation(population,F)

trial=crossover(population[i],mutant,CR)

trial_fitness=fitness_function(trial)

population[i],fitnesses[i]=selection(population[i],fitnesses[i],trial,trial_fitness)

best_individual=population[np.argmin(fitnesses)]

returnfitness_function(best_individual),best_individual

#参数设置

pop_size=50

dim=1

generations=100

F=0.8

CR=0.9

#运行差分进化算法

best_fitness,best_individual=differential_evolution(pop_size,dim,generations,F,CR)

print(f"最优适应度:{best_fitness},最优个体:{best_individual}")6.2粒子群优化(PSO)对比6.2.1原理与内容粒子群优化（ParticleSwarmOptimization,PSO）算法是另一种启发式全局优化方法，它模拟了鸟群觅食的行为。在PSO中，每个解被称为一个粒子，粒子在搜索空间中飞行，通过更新自己的速度和位置来寻找最优解。粒子的速度受其自身最佳位置和个人认知（粒子记忆）以及群体中其他粒子的最佳位置（社会认知）的影响。6.2.1.1PSO示例代码#粒子群优化算法示例代码

importnumpyasnp

#定义适应度函数

deffitness_function(x):

returnx**2-5*x+6

#初始化粒子群

definit_particles(pop_size,dim):

positions=np.random.uniform(-10,10,(pop_size,dim))

velocities=np.zeros_like(positions)

personal_best=np.copy(positions)