2021-2022学年辽宁省沈阳市高一年级下册学期期末考试数学试卷

1、20212022学年度下学期高一年级期末数学试题一、单选题：本题共8小题，每题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1. 若，则（ ）A. 1B. C. 2D. 2. 已知向量，.若，则（ ）A. 5B. 3C. 0D. -33. 若，则（ ）A. B. C. D. 4. 已知，则（ ）A. B. C. D. 5. 在中，三内角A，B，C对应的边分别为a，b，c，且b2，B45若利用正弦定理解仅有唯一解，则（ ）A. 0a2B. 2a2C. 0a2或a2D. 0a2或a26. 如图，一个底面半径为的圆锥，其内部有一个底面半径为a的内接圆柱，且此内接圆柱的体积为，则该圆

2、锥的体积为（ ）.A. B. C. D. 7. 圭表（如图甲）是我国古代一种通过测量正午日影长度来推定节气的天文仪器，它包括一根直立的标竿（称为“表”）和一把呈南北方向水平固定摆放的与标竿垂直的长尺（称为“圭”）当太阳在正午时刻照射在表上时，日影便会投影在圭面上，圭面上日影长度最长的那一天定为冬至，日影长度最短的那一天定为夏至图乙是一个根据某地的地理位置设计的圭表的示意图，已知某地冬至正午时太阳高度角（即）大约为15，夏至正午时太阳高度角（即）大约为60，圭面上冬至线与夏至线之间的距离（即DB的长）为a，则表高（即AC的长）为（ ）A. B. C. D. 8. 已知正三棱锥P-ABC，底面边长

3、为3，高为1，四边形EFGH为正三棱锥P-ABC一个截面，若截面为平行四边形，则四边形EFGH面积的最大值为（ ）A. B. C. D. 二、多选题：本题共四个小题，每小题5分，共20分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分9. 已知的内角，B，所对的边分别为a，下列四个命题中正确的命题是（ ）A. 若，则B. 若是锐角三角形，则恒成立C. 若，则一定是直角三角形D. 若，则一定锐角三角形10. 已知函数的部分图象如图所示，下列说法正确的是（ ）A. 函数的图象关于点对称B. 函数的图象关于直线对称C. 函数在单调递减D. 该图象向右平移个

4、单位可得图象11. 已知复数（其中为虚数单位，）则下列说法正确的有（ ）A. 若，B. 若，则C. 若，则D. 若，则12. 三棱锥中，平面平面ABC，则（ ）A. B. 三棱锥的外接球的表面积为C. 点A到平面SBC的距离为D. 二面角的正切值为三、填空题：本题共4小题，每小题5分，14题第一空2分，第二空3分，共20分13. 若，则_.14. 已知平面单位向量，且，则在方向上的投影向量为_；（）的最小值是_15. 已知函数在区间上是增函数，将函数的图像向左平移个单位后得到的图像与将其向右平移个单位后所得到的图像重合则的值为_.16. 在三棱锥中，平面ABC，以A为球心，表面积为的球面与侧面

5、PBC的交线长为_四、解答题：本题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17. 已知向量，（1）若点A，B，C三点共线，求实数x，y满足的关系；（2）若x=1且为钝角，求实数y的取值范围18. 如图，已知等腰梯形ABCD的外接圆半径为2，点P是上半圆上的动点（不包含A，B两点），点Q是线段PA上的动点，将半圆APB所在的平面沿直径AB折起使得平面平面ABCD（1）求三棱锥PACD体积的最大值；（2）当平面QBD时，求的值19. 已知函数为奇函数，且图象相邻两对称轴间的距离为.（1）求的解析式与单调递减区间；（2）将函数的图象向右平移个单位长度，再把横坐标缩小为原来的（纵坐标不

6、变），得到函数的图象，当时，求方程的所有根的和.20. 九章算术中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑如图，已知PA平面ABC，平面PAB平面PBC（1）判断四面体PABC否为鳖臑，并给出证明；（2）若二面角BAPC与二面角ABCP的大小都是，求AC与平面BCP所成角的大小21. 请在向量，且；这两个条件中任选一个填入横线上并解答在锐角三角形ABC中，已知角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足条件_（1）求角C；（2）若的面积为，求的取值范围注如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分22. 如图，某公园改建一个三角形池塘，百米，百米，现准备养一批观赏鱼供游客观赏.（1）若在ABC内部

7、取一点P，建造连廊供游客观赏，方案一如图，使得点P是等腰三角形PBC的顶点，且，求连廊的长（单位为百米）；（2）若分别在AB，BC，CA上取点D，E，F，并建造连廊，使得DEF变成池中池，放养更名贵的鱼类供游客观赏：方案二如图，使得DEF为正三角形，设为图中DEF的面积，求的最小值；方案三如图，使得DE平行于AB，且EF垂直于DE，设为图中DEF的面积，求的取值范围.答案19.ABC10.ABDD BDC 9.ABC 10.ABD 11.AC 12.AD13. 14. . # . 15. 216. 17. (1)因为A，B，C三点共线，即，所以，即；(2)因为为钝角，所以且，不共线，由（1）得

8、：当，且时，因为，不共线，所以，解得：，所以且.18. (1)当时，平面，由平面平面，平面平面，知平面，此时，到平面的距离最大，为，所以，的最大值为.(2)连接交于点，连接，则平面平面，依题意，平面，平面，所以，所以，等腰梯形中，所以.19. (1)由题意，图象的相邻两对称轴间的距离为，的最小正周期为，即可得，又为奇函数，则，又，故，令，得函数的递减区间为，(2)将函数的图象向右平移个单位长度，可得的图象，再把横坐标缩小为原来的，得到函数的图象，又，则或，即或.令，当时，画出的图象如图所示：有两个根,关于对称，即,有在上有两个不同根，,；又的根为，所以方程在内所有根的和为.20. (1)作交于

9、，因为PA平面ABC，平面ABC，故.又平面PAB平面PBC，且平面PAB平面PBC，故平面，又平面，故，又，平面，故平面，故.又PA平面ABC，故，故四面体PABC所有面都为直角三角形，故四面体PABC为鳖臑(2)由（1），连接，二面角BAPC的平面角为，二面角ABCP的平面角为，故，故均为等腰直角三角形.设，则，.又平面，故AC与平面BCP所成角为，又，且为锐角，故，即AC与平面BCP所成角的大小为21. (1)选择：因为所以，由正弦定理得，即，即，即，即因为，又为锐角，所以选择：因为，由正弦定理得，即又，所以因为，所以，又为锐角，所以，(2)因为，所以，则由余弦定理得，因为为锐角三角形，所以即将代入上式可得即解得令，所以在上单调递增，所以，即，即的取值范围为22. (1)解：因为点是等腰三角形的顶点