固体物理总结能带理论完全版

1、目录TOC o 1-5 h z一、本章难易及掌握要求1二、基本内容11、三种近似12、周期场中的布洛赫定理21）定理的两种描述22）证明过程：23）波矢k的取值及其物理意义33、近自由电子近似3A、非简并情况下4B、简并情况下5C、能带的性质64、紧束缚近似65、质势96、三种方法的比较107、布里渊区与能带118、能态密度及费米面11三、常见习题14简答题部分14计算题部分15 一、本章难易及掌握要求要求重点掌握：1）理解能带理论的基本假设和出发点；2）布洛赫定理的描述及证明；3）一维近自由电子近似的模型、求解及波函数讨论，明白三维近自由电子近似的思想；4）紧束缚近似模型及几个典型的结构的计

2、算；5）明白简约布里渊区的概念和能带的意义及应用；6）会计算能态密度及明白费米面的概念。本章难点：1）对能带理论的思想理解，以及由它衍生出来的的模型的应用.比如将能带理论应用于区分绝缘体，导体，半导体；2）对三种模型的证明推导.了解内容：1）能带的成因及对称性；2）费米面的构造；3）贋势方法；4）旺尼尔函数概念；5）波函数的对称性.二、基本内容K三种近似在模型中它用到已经下假设：1）绝热近似：由于电子质量远小于离子质量，电子的运动速度就比离子要大得多。故相对于电子，可认为离子不动，或者说电子的运动可随时调整来适合离了的运动.多体问题化为了多电子问题.2）平均场近似：在上述多电子系统中，可把多电

3、子中的每一个电子，看作是在离子场及其它电子产生的平均场中运动，这种考虑叫平均场近似.多电子问题化为单电子问题。3）周期场近似：假定所有离子产生的势场和其它电子的平均势场是周期势场，其周期为晶格所具有的周期。单电子在周期性场中。2、周期场中的布洛赫定理1）定理的两种描述当晶体势场具有晶格周期性时，电子波动方程的解具有以下性质：形式一：0（厂+尺”）=严”0（厂），亦称布洛赫定理，反映了相邻原包之J田的波函数相位差形式二：0（7）m%（7）,亦称布洛赫函数，反映了周期场的波函数可用受你调制的平面波表示.其中呛:）=曲+兀），斤”取布拉菲格子的所有格矢成立。2）证明过程：a.定义平移算符,7&）=7

4、叫（即曙2）775）b证明与的对易性.TaH=HTaCo代入周期边界条件，求出在与共同本征态下的本征值.即0（F）=皿+畑讥尸）=肖（F+N阳.A人=/瓦,仏=严,A=严0（7）=0（F+N&3）d.将代入的本征方程中，注意定义，可得布洛赫定理。0（F+Rm）=兄”叽孑石：0（=”如禹+应琢心0（f）IA0（形=eil7uk（r）!3）波矢k的取值及其物理意义斤=+字瓦+共一冷字，k是第一布里渊区的波13失，称简约波矢。其是平移算符本征值量子数，而7）亦）=皿+Rm）=严W）反映了原胞之间电子波函数位相的变化。同时也可以得出如果一个势场是周期场，那么可以把其波函数设为布洛赫函数。3、近自由电子

5、近似1）思想:假设将周期场的周期起伏看作自由电子稳定势场的微扰2）条件要求:原子的动能大于势能以使电子可以自由运动，势函数的的起伏很小，以满足微扰论适用，外层电子以满足电子可以自由运动.3）模型建立过程：首先，在零级近似下，考虑到周期性边界条件得到了波矢的允许取值，推出了能量的准连续性；其次，由于考虑到二级微扰，而推出能量在布区边界处分裂，且发生了能级间的“排斥作用”，于是形成能带和带隙。A、非简并情况下1）由假设1,2可得系统的哈密顿量和薛定谭方程:rrd-7”比七尹,微扰项:/-VW_y=AV,满足的方程式：H屮=E屮。2）利用微扰论方法有设：仗=环+即+即+其中:设:屮k（x）=屮；+0

6、严（X）+.其中:讥=仕严，代=X富畀（心K）4）结论:能量本征值：牛穿+形禹2/77a波函数:2尹咗乍F禹广2/77a5）波函数的意义:第一项是波矢为k的前进的平面波，第二项是平面波受到周期性势场作用产生的散射波再令uk(x)=1+Y厂,贝IJ右屮k(x)=丄叫一(A)”丸一仗+%门兀2/77a具有布洛赫函数形式，其中用到如(X+ma)=itk(x)B、简并情况下感-硝|匕|此时波矢k离一号较远,k状态的能量和状态佼=,”0-風）（此法的本质），代m入上得：工+U（r）-V（r-）0（尸-斤”吃J0（尸-心）inm考虑到当原子间距比原子半径大时，不同格点的朮7）重叠很有，J0：（r-RJif

7、-Rn）dr=戈,”用P；（r-Rn）左乘上面方程5*，得到工”J矿（r-Rn）U（r）-V（r-Rm）r-Rm）dr=E-q）d”mJ0；齐&一&）Q（自一V（g）%（石w-丿&一R”）则得-工唧氏-心）=（E,考虑到周期性的势场，应有mg=C評叽（是任意常数矢量），则有工丿（尺）广阪，R=丘-民利用归一化条件则得：晶体中电子的波函数必（F）=厶工严0（丘）Nm考虑用简约波失农示右必（F）=缶严号严r（F-瓦）,由此可得对于确定，E（）=s-工J（RJC咲,而且实现了N个晶体中的电子波函数与束缚态的波函数的幺正变换换:丫giE瓦、芒孔兀.血尺V、So-尺）、屮J1严g心忌礼张eO-忌）-_F

8、-此v&“处他JkNRnejeeyb（尸-忌）丿3）模型简化：考虑-J）=J0：（右-&）（）-吨）（自疵的化简: 当0：(g-&)和(g)有重叠时，积分不为0.a最完全的重叠&=HO,得丿。=-(前旧(鬲-V(g)始b其次考虑近邻格点的格矢，得Eg)=s-J-工丿(&)阪o6*Rf-Nearest能带底部电子的有效质量卅=丄,能带顶部电子的有效质量IJ.a-*力H1=o2J.C12能级与能带的对应A计算简单立方晶格中由原子s态形成的能带s态的波函数是球对称的，在各个方向重叠积分相同。找出紧邻坐标代入6*有E(k)=.-Jq2Jj(coskxa+coskya4-cosk.a)，其中在能带k=(

9、0,0,0)处在斤=(0,0,0)处用级数展开有Enrni=5-丿0+6人，在能带顶部R.=(-,-)按k=(,-)附近按泰勒级数展开得aaaaaaEnnx=-JQ+6丿带宽取决于JI,大小取决于近邻原子波函数之间的相互重叠，重叠越多，形成能带EnergyofAtomJoXCH004025BandEnergyinSolidBcwiFjwjyyinMid越宽，同样可以看出，由于k的取值可以故一个能级在微扰下分裂成为一个能有N个,带。XGKiM(QHB对于一般情况有如下结论:-个原子能级wi对应一个能带，不同的原子能级对应不同的能带.当原子形成固体后，形成了一系列能带能量较低的能级对应的能带较窄，

10、能量较高的能级对应的能带较宽简单情况下，原子能级和能带之间有简单的对应关系，如ns带、np带、nd带等等，由于p态是三重简并的，对应的能带发生相互交叠,d态等一些态也有类似能带交叠。但是其能带不再是仅仅靠主量子数N决定，与L值也有关。对于内层电子能级和能带有一一对应的关系，对于外层电子，能级和能带的对应关系较为复杂.5）瓦尼尔函数紧束缚近似中，能带中电子波函数可以写成布洛赫和0：（斤,F）=*牙严（尸-&）,对于任何能带f（斤，门=靑工严叫（了一斤”），即一个能带的Wannier函数是由同一个能带的布洛赫函数所定义如果晶体中原子之间的间距增大，当电子距离某一原子较近时，电子的行为类似于孤立原子

11、时的情形性质：a.局域性质（定域性）由于u（k,r）=u（k,rRn），因此Wn（rRn）是以&为中心的定域函数。b.正交性5、贋势1）引入贋势的目的：在近自由电子近似时，假设电子所处势场的周期性起伏小,但实际材料势场周期性起伏都比较大，不能用近自由电子模型求解。但是近自由电子模型计算结果对于对于实际能带结构是适合的。为了解决这个矛盾，引入质势概念.贋势定义：在离子实内部，用假想的势能取代真实的势能，求解波动方程时，若不改变其能量本征值及离子实之间的波函数，则这个假想的势能成为质势。模型的实现方式：是质势包含离子势和价电子的作用，称为有效势，可以有多种具体形式。选择包含一个或几个参量的模型，用

12、与实验数据比较的方法,确定这些参量。6、三种方法的比较：近自由电子近似是一种电子可以自由运动的模型，是一种在自由电子基础上的微扰论，结果是自由电子能级发生分裂，形成能带。在使用它解决问题时需要知道u(x),而这个V(x)可以通过质势来实现，不同的结构对应的贋势是不同的。而紧束缚近似针对于电子被束缚在原子周围，在解决实际问题时只需知道r-Rm)U(r)-V(r-RJt对于不同的原包结构其0(戸-心)和U(F)-*尸-心)均不同，这里应该也会有一个质势的方法，可以说紧朿缚近似是在H原子模型上在用微扰论的.所以它的能带是在能级的基础上形成的，是原来原子团的能级分裂成的。而质势方法只是提供了一种寻找等

13、价UW的方法，实际运算需要结合其他的模型。 7、布里渊区与能带明白波失空间和倒空间的区别，倒空间是倒格子的集合，倒格点是固定的分立的，而波失空间是波失的集合，波失是准连续的.在相同的空间大小中，波失数比倒格矢数要多。布里渊区是波失空间的分区域，也是倒空间的分区域，他是在k空间把原点和所有倒格矢中点的垂直平分面画出，k空间分割为许多区域，每个区域内Ek是连续变化的，而在这些区域的边界上能量E(k)发生突变，这些区域称为布里渊区.&能态密度及费米面1)能态密度:A77V(E)=lim-AE,表示能态数目，如果在波矢空间，根据E(k)=常数作出等能面，则在等能面E和E+AE之间的状态的数目就是AZe

14、。由于状态在k空间分布是均匀的、准连续的状态密度V是(2龙尸，所以ZE=V/(2n)3X(两等能面E-E+AE之间的体积)dS经过积分计算得:考虑电子自旋为2,二维:Ze=S/(2n)2X(两等能线E-E+AE之间的面积),dL一维Ze=L/(2n)x(两等能点EE+AE之间长度)，N(E)=L/2nX1/|V,E|X22)费米面：A.费米面是指绝对零度时，k空间电子占据态与未占据态之间的分界面。电子填充量子态的形式:按泡利不相容原理由低到高填充能量尽可能低的N(电子数)个量子态。对于自由电子E伙)=比,电子填2/?充k空间半径为kF的球N=2x欣；二自由电子数，便可求得相应(2龙)3的pF=

15、hkF,当温度不是绝对零度时，求就与第七章是联系在一起了.Bo电子填充能带的形式有两种类型：第一种:电子恰好填满最低的一系列能带，再高的能带都是空的。最高的满带称为价带(valenceband)，最低的空带成为导带(conductionband),价带最高能级与导带最低能级Z间的范围则为带隙(bandgap)o半导体带隙宽度较小1eV,绝缘体带隙宽度较宽10eV第二种：除去完全被电子充满的一系列能带外，还有只是部分地被电子填充的能带，部分被电子填充的能带被称为导带(conductionband)o这时，电子所占据的最高能级即为费米能级，它位于一个或几个能带的范围之内。在每一部分占据的能带中虫空

16、间都有一个占有电子与不占有电子的分界面，所有这些表面的集合就是费米面。Co导体，绝缘体，半导体和半金属的能带理论解释： 在绝对零度，如果电子刚好填充一个或更多能带，其余能带是全空的，那么晶体就是绝缘体，外电场也不能因其绝缘体内电流的流动因为满带和上边导带隔开，当温度升高时，出现下边两种情况。1）当温度升高时，如果带隙很大，电子很难跃迁到导带，晶体仍为绝缘体，2）如果能隙较小，电子隧穿效应使得导带中有少量电子，并在价带产生空穴，具有一定的导电性，称为半导体.如能带未填满，在外场下电子做定向运动，就是导体。3）能量交叠较小时晶体导电性比导体小几个数量级，晶体则称之为半金属。构造费米面的具体步骤如下

17、：ao利用En（k）是倒格矢的周期函数，画出布里渊区的扩展图形。bo用自由电子模型画出费米球.落在各个布氏区的费米球片断平移到简约布里渊区的等价部位.由自由电子模型过渡到准自由电子模型必须注意能带边界禁带出现费米面同布里渊区边界垂直相割，自由电子的费米面尖角处要钝化。三、常见习丿简答题部分6o1周期场是能带形成的必要条件吗?解答:不是。能带论虽然是从周期场中推导出来的，但周期场并不是能带形成的必要条件，在非晶体中固体中，电子同样具有能带结构，周期场对能带的形成是必要条件，这是由于在周期场中运动的电子的波函数是一个周期性调幅的平面波，即是一个布洛赫波。由此使能量本征值也称为波矢的周期函数，从而形

18、成了一系列的能带。6o2禁带是否一定出线？出现晶带与哪些因素有关？解答：禁带不一定出现.在一维情况下，禁带一定出现，在三维情况下，在k空间的不同方向，不连续的能量范围不一定相同,从而不连续不一定导致禁带的发生，这就是说，不同能带的禁带不一定存在，可能发生能量交叠。在布里渊区界面是否出现禁带与下列因素有关:一是与周期势场的具体形式有关，若在某个布里渊区界面上,Vr的展开式系数VG时，则此布里渊区界面上将不出现能隙,两个能带联为一体；二是与结构因子有关，如结构因子SG=0时，在相应布里渊区界面上的能隙为零。1能带理论基础产生禁带的原因：是在布区边界上存在布拉格反射产生禁带的原因：是在布区边界上存在

19、布拉格反射。6.3为什么引入正交平面波法？这种方法有何优点？解答：同内层电子态正交的平面波称为正交化平面波，电子的布洛赫波函数只有在两个离子实的中间区域是变化平缓的，在离子实区域（简称芯区），晶体势很强,波函数不像平面波，而具有类似于孤立原子中电子波函数的急剧震荡特性。因为平面波展开收敛很慢，使其难以成为能带计算的实用方法，而价电子波函数的振荡部分出现离子实区域，此波函数又必须与内层电子的波函数正交，正交平面波正好在离子实区域引进振荡成分，恰好能描述价电子的特征。这种方法的优点是减少了计算工作量，只需取几个正交的平面波就会得到很好的结果.计算题部分6o1一维周期场中电子的波函数必应满足布洛赫定

20、理，若晶格常必(x)=sin兰xii/k(x)=zcosx数为,电子的波函数为(1)a(2)。(3)必(Q=幺(f是某个确定的函数)试求电子在这些状态的波矢解：布洛赫函数为必(x+d)W3siii(x+6r)=sni(x+7r)=-sinx仃)aacia:sm(x+a)=eikasinxJ，a/.e,ka=-lkci=7rka=7r同理，.严=-1717+(Cl)d(3)=-OO=r=-xf=yc此处r=-i,=i,6.2已知一维晶格中电子的能带可写成E（k）=-coska+-cos2kanias8丿，式中是晶格常数,m是电子的质量，求（1）能带的宽度，（2）电子的平均速度，（3）在带顶和带底

21、的电子的有效质量dE（k）_o解：能带宽度为比=E详一,由极值条件dk,得shika一丄sin2ka=shika-sinkacoska=042上式的唯一解是six血=0的解,此式在第一布里渊区内的解为*=或万当R=0时，E&）取极小值6un,且有Enun=E（0）=0k上当。时，丘取极大值丘町2力，ma2maxminE=E-E=$力由以上的可得能带宽度为maXmm賦J购=2（2）电子的平均速度为方dkmasinka-sm2kci4（3）带顶和带底电子的有效质量分別为=/?(coska-cos2ka2d=m(1)coskacos2kaA=0l2丿k=0trdEw0=2ni6.2维周期势场为naf

22、当na-hxna+b0-l)a+hx0,0o,为晶格常数，试求=6(6Zsillakx=0=ciasinak,=0Ok.可看出，n为偶数时E为极小值，n为奇数时为极大值顶=-Q-1+(-1)-0(-l)=2a+pE=_al+1_01=_2a_0故，能带宽度丄顶-仪=也+20(2)心叮+/+以其中X丄要显必与专竽+迹m叫”丄竺丄,0sm叭tickx方ncky方hdk:方在k=討）时咚=匕=I皿V=IV4血宀涸(3)能带底n为偶数，可取为零，故5化3均很小cosx1-zE(R)=_a据2(xvvl)有|町P0+业+込+叠尸222:.E+2a+/3=-aa2acrper刍EtE+2q+0“tZ用和6

23、.5题相同的方法，其中力-,如,则:6.6用紧朿缚模型求最近邻近似的S态电子能带公式,写出二维正三角形网络的能带，计算电子的速度及有效质量张量。解:E=E人厶工严,Rx对二维正三角晶格（如图）,6个最近邻的坐标为(aV3,a(a43,a22/221(aV3-,一a(22丿aV3,a22X代入上式并化简得:Eg=Eacos&a+2cosr2cH2电子速度：心叮+2,其中丄竺=込仏s也sm邑凶-fidkx方I22由于（小讐：2cosW+cos%cos石Jr22-6.7用紧朿缚近似计算面心立方晶格最近邻近似下s态电子能带(1)证明在k=0附近，能带的等能面是球形的，导出有效质量。(2)画出100与111方向的E）曲线。(3)画出忍一匕平面内能量的等值线。解：（1）E(k)=E-J-JdZ面心立方最近邻有十二个原子，其忆位置在a2a20Ja_20a_2a_2将这些&代入上式并简化可得:E（k）=o-丿0-4几k.ak、cikyak.akakxacoscoscoscos+coscos.k=0附2222