(完整word)截长补短法

1、一种可使平分截长补短法第二课堂活动方案八年级数学组八年级上册课本中，在全等三角形部分介绍了角的平分线的性质,这一性质在许多问题里都 有着广泛的应用。而“截长补短法”又是解决这一类问题的特殊方法，在无法进行直接证明的情形下，利用此种方法常 思路豁然开朗.请看几例.例1. 已知，如图1一1,在四边形ABCD中，BCAB, AD二DC, BDZABC.求证：ZBAD+ZBCD=180分析：因为平角等于180，因而应考虑把两个不在一起的通过全等转化成为平角，图中缺少全等的三角形，因而解题的关键在于构造直角三角形,可通过“截长补短法”来实现.证明：过点D作DE垂直BA的延长线于点E,作DF丄BC于点F,

2、如图12VBD 平分 ZABC,ADE=DF,在 RtAADE 与 RtCDF 中,DE 二 DFAD 二 CD.RtAADERtACDF(HL), AZDAE=ZDCFOBC又Z BAD+ Z DAE=180 ,AZ BAD+ Z DCF=180 即 ZBAD+ZBCD=180例2.如图 21, ADBC,点 E 在线段 AB 上, ZADE=ZCDE,ZDCE=ZECBO求证：CD二AD+BC。FC即在问题,分析：结论是CD二AD+BC，可考虑用“截长补短法中的“截长”， CD上截取CF=CB，只要再证DF=DA即可，这就转化为证明两线段相等的 从而达到简化问题的目的.证明：在CD上截取C

3、F=BC,如图22在厶FCE与厶BCE中，CF 二 CB ZFCE = ZBCECE = CE.FCE9ABCE(SAS)，.Z2二Z1。又.ADBC,.ZADC+ZBCD=180 ,AZDCE+ZCDE=90，AZ2+Z3=90，Z1 + Z4=90，AZ3=Z4.在厶FDE与厶ADE中,ZFDE = ZADE DE = DEZ3 = Z4FDE9AADE(ASA)，.DF二DA，.CD二DF+CF，.CD二AD+BC.例3 已知，如图3-1, Z1 = Z2, P为BN上一点，且PD丄BC于点D,AB+BC=2BD。求证：ZBAP+ZBCP=180。分析:与例 1 相类似，证两个角的和是

4、180，可把它们移到一起，让它们是邻补角，即证明ZBCP=ZEAP,因而此题适用“补短”进行全等三角形的构造。证明：过点P作PE垂直BA的延长线于点E,如图VZ1 = Z2,且 PD丄BC,.PE二PD,在 RtBPE 与 RtBPD 中，PE 二 PDBP 二 BP.Rt ABPE竺R tABPD(HL),.BE二BD。.* AB+BC=2BD,A ab+bd+dc=bd+be,a ab+dc=be 即DC=BE-AB=AE。在 RtAPE 与 RtCPD 中,PE = PD ZPEA = DCAE = DC:.RtAPERtCPD (SAS), AZPAE=ZPCD又TZ BAP+ Z P

5、AE=180 BAP+ Z BCP=180 例4.已知：如图 4一1,在AABC 中，ZC=2ZB,Z1 =3-2图 3-1图 3-2Z2.求证：AB二AC+CD。分析:从结论分析，“截长”或“补短都可实现问题的转化，即延长AC至E使CE=CD，或在AB 上截取 AF=AC。证明：方法一（补短法）延长AC到E,使DC=CE，则ZCDE=ZCED,如图.ZACB=2ZE,VZACB=2ZB,AZB=ZE,在厶ABD与厶AED中，Z1 二 Z2 ZB = ZEAD = ADABDAAED (AAS) ,.AB二AE.又 AE二AC+CE=AC+DC,.AB二AC+DC。方法二(截长法)在AB上截取AF=AC，如图43在厶AFD与厶ACD中，AF = AC Z1 = Z2AD = AD4-2AFD9AACD(SAS),DF二DC,ZAFD=ZACD。又.ZACB=2ZB,.ZFDB=ZB,FD二FB。TAB二AF+FB二AC+FD,.AB