3.3二阶系统的时间响应及动态性能

1、PAGE PAGE 603.3 二阶系统的时间响应及动态性能3.3.1 二阶系统传递函数标准形式及分类常见二阶系统结构图如图3-所示其中，为环节参数。系统闭环传递函数为 化成标准形式 （首1型） （3-5） （尾1型） （3-6）式中，。 、分别称为系统的阻尼比和无阻尼自然频率，是二阶系统重要的特征参数。二阶系统的首1标准型传递函数常用于时域分析中，频域分析时则常用尾1标准型。二阶系统闭环特征方程为 其特征特征根为 若系统阻尼比取值范围不同，则特征根形式不同，响应特性也不同，由此可将二阶系统分类，见表3-3。表3-3 二阶系统（按阻尼比）分类表分类特征根特征根分布模态过阻尼临界阻尼欠阻尼零阻尼

2、数学上，线性微分方程的解由特解和齐次微分方程的通解组成。通解由微分方程的特征根决定，代表自由响应运动。如果微分方程的特征根是，且无重根，则把函数，称为该微分方程所描述运动的模态，也叫振型。如果特征根中有多重根，则模态是具有，形式的函数。如果特征根中有共轭复根，则其共轭复模态与可写成实函数模态与。 每一种模态可以看成是线性系统自由响应最基本的运动形态，线性系统自由响应则是其相应模态的线性组合。3.3.2 过阻尼二阶系统动态性能指标计算设过阻尼二阶系统的极点为 系统单位阶跃响应的拉氏变换 进行拉氏反变换，得出系统单位阶跃响应 （3-7）过阻尼二阶系统单位阶跃响应是无振荡的单调上升曲线。根据式（3-

3、7），令取不同值，可分别求解出相应的无量纲调节时间，如图3-7所示。图中为参变量，由 图 3-7 过阻尼二阶系统的调节时间特性可解出 当（或）很大时，特征根比远离虚轴，模态很快衰减为零，系统调节时间主要由对应的模态决定。此时可将过阻尼二阶系统近似看作由确定的一阶系统，估算其动态性能指标。图3-7曲线体现了这一规律性。例3-3 某系统闭环传递函数，计算系统的动态性能指标。解 查图3-7可得 ，计算得 图3-8 给出系统单位阶跃响应曲线。例3-4 角速度随动系统结构图如图3-9所示。图中，为开环增益，s为伺服电动机时间常数。若要求系统的单位阶跃响应无超调，且调节时间s，问应取多大？解 根据题意，考

4、虑使系统的调节时间尽量短，应取阻尼比。由图3-9，令闭环特征方程 比较系数得 查图3-7，可得系统调节时间s，满足系统要求。3.3.3 欠阻尼二阶系统动态性能指标计算1欠阻尼二阶系统极点的两种表示方法欠阻尼二阶系统的极点可以用如图3-10所示的两种形式表示。（1）直角坐标表示 （3-8）（2）“极”坐标表示 （3-9）2欠阻尼二阶系统的单位阶跃响应由式（3-5），可得系统单位阶跃响应的拉氏变换为 系统单位阶跃响应为 （3-10） 系统单位脉冲响应为 （3-11）典型欠阻尼二阶系统的单位阶跃响应如图3-11所示。响应曲线位于两条包络线之间，如图3-12所示。包络线收敛速率取决于（特征根实部之模）

5、，响应的阻尼振荡频率取决于（特征根虚部）。响应的初始值，初始斜率，终值。3欠阻尼二阶系统动态性能指标计算（1）峰值时间：令，利用式（3-11）可得 即有 由图3-1，并根据峰值时间定义，可得 （3-12）（2）超调量：将式（3-12）代入式（3-10）整理后可得 （3-13）可见，典型欠阻尼二阶系统的超调量只与阻尼比有关，两者的关系如图3-13所示。图3-13 欠阻尼二阶系统与的 关系曲线 （3）调节时间：用定义求解系统的调节时间比较麻烦，为简便计，通常按阶跃响应的包络线进入5误差带的时间计算调节时间。令可解得 （ ） （3-14）式（3-12）（3-14）给出典型欠阻尼二阶系统动态性能指标的

6、计算公式。可见，典型欠阻尼二阶系统超调量只取决于阻尼比，而调节时间则与阻尼比和自然频率均有关。按式（3-14）计算得出的调节时间偏于保守。一定时，调节时间实际上随阻尼比还有所变化。图3-14给出当时，调节时间与阻尼比之间的关系曲线。可看出，当（）时，实际调节时间最短，5，超调量又不大，所以一般称为“最佳阻尼比”。4典型欠阻尼二阶系统动态性能、系统参数及极点分布之间的关系根据式（3-13）、式（3-14）及式（3-8）、式（3-9），可以进一步讨论系统动态性能、系统参数及闭环极点分布间的规律性。当固定，增加（减小）时，系统极点在平面按图3-15中圆弧轨迹（I）移动，对应系统超调量减小；同时由于极

7、点远离虚轴，增加，调节时间减小。图3-16(a)给出=1，改变时的系统单位阶跃响应过程。当固定，增加时，系统极点在平面按图3-15中的射线轨迹（II）移动，对应系统超调量不变；由于极点远离虚轴，增加，调节时间减小。图3-16(b)给出了=0.5()，变化时的系统单位阶跃响应过程。一般实际系统中，是系统的固定参数，不能随意改变，而开环增益是各环节总的传递系数，可以调节。增大时，系统极点在平面按图3-15中的垂直线（III）移动，阻尼变小，超调量会增加。图3-16(c)给出，变化时系统单位阶跃响应的过程。 图3-16 二阶系统单位阶跃响应(a)=1,改变时的阶跃响应；(b) =0.5，改变时的阶跃

8、响应；(c)T=1,K改变时的阶跃响应综合上述讨论：要获得满意的系统动态性能，应该适当选择参数，使二阶系统的闭环极点位于线附近，使系统具有合适的超调量，并根据情况尽量使其远离虚轴，以提高系统的快速性。掌握系统动态性能随参数及极点位置变化的规律性，对于分析设计系统是十分重要的。例3-5 控制系统结构图如图3-17所示。（1）开环增益时，求系统的动态性能指标；（2）确定使系统阻尼比的值。解 （1）时，系统闭环传递函数 ， (2) 令得 例3-6 系统结构图如图3-19所示。求开环增益分别为10，0.5，0.09时系统的动态性能指标。解 当=10，0.5时，系统为欠阻尼状态，当=0.09时，系统为过

9、阻尼状态，应按相应的公式计算系统的动态指标，列表计算，见表3-4。图3-20（a）,（b）分别给出了不同值时的系统的极点分布和相应的单位阶跃响应曲线。可见，调整系统参数可以使系统动态性能有所改善，但改善的程度有限；而且，改善动态性能和改善稳态性能对的要求相互矛盾，一般只能综合考虑，取折中方案。用后面介绍的速度反馈或比例加微分控制可以进一步提高系统的动态性能。 图3-20 时系统极点的分布及单位阶跃响应表3-4 例36的计算结果计算100.50.09开环传递函数闭环传递函数特征参数特征根 动态性能指标例3-7 二阶系统的结构图及单位阶跃响应分别如图3-21(a), (b)所示。试确定系统参数的值

10、。解 由系统结构图可得 （3-15）由单位阶跃响应曲线有 （3-16） 联立求解得 （3-17）将式（3-17）代入式（3-15）得因此有。关于二阶系统的脉冲响应和斜坡响应的讨论，方法与一阶系统类似，在此不再赘述。表3-5中给出了不同阻尼比下二阶系统的典型输入响应公式及曲线，供查阅。输入输出 ()响应曲线 表3-5 二阶系统典型响应一览表3.3.4 改善二阶系统动态性能的措施采用测速反馈和比例加微分控制方式，可以有效改善二阶系统的动态性能。例3-8 在如图3-22(a)所示系统中，分别采用测速反馈和比例加微分控制，系统结构图分别如图3-22(b)和(c)所示。其中。分别写出它们各自的开环传递函

11、数、闭环传递函数，计算出动态性能指标（，）并进行对比分析。解 图3-22（a）、b）中的系统是典型欠阻尼二阶系统，其动态性能指标（，）按式（3-13）、式（3-14）计算。而图3-22(c)表示的系统有一个闭环零点，不符合上述公式应用的条件。将各系统的性能指标的计算及比较列于表3-6中。图3-22所示的系统可以用表3-7中相应的公式（或用MATLAB）计算其动态性能指标。可以看出，采用测速反馈和比例加微分控制后，系统动态性能得到了明显改善。表3-6 原系统、测速反馈和比例加微分控制方式下系统性能的计算及比较系统结构图图3-22(a)图3-22(b)图3-22(c)开环传递函数闭环传递函数系统参

12、数0.1580.50.53.163.163.16开环零点-4.63-4.63极点0，-0，-0，-闭环零点-4.63极点-0.5j3.12-1.58j2.74-1.58j2.74动态性能1.011.151.056016.32372.22.1从物理本质上讲，图3-22(b)系统引入速度反馈，相当于增加了系统的阻尼，使系统的振荡性得到抑制，超调量减小；图3-22(c)所示系统采用了比例加微分控制，微分信号有超前性，相当于系统的调节作用提前，阻止了系统的过调。相对于原系统而言，两种方法均可以改善系统的动态性能。实际使用中，比例加微分装置一般串联在前向通道信号功率较弱的地方，需要放大器进行信号放大；而

13、反馈则是从大功率的输出端反馈到前端信号较弱的地方，一般不需要信号放大。从效果上看，由于比例加微分环节是高通滤波器，会放大噪声，影响系统正常工作；而测速反馈不会有这样的问题。从经济角度考虑，比例加微分实现简单，费用低；测速反馈装置价格高。实际采用哪一种方法，应根据具体情况适当选择。1加开环零点对系统动态性能的影响比较图3-22(a)和(b)所示两系统的开环传递函数可以看出，后者比前者多一个开环零点，因而影响了系统的闭环特征多项式，改变了闭环极点的位置（见图3-23）。显然，图3-22(b)所示系统闭环极点较图3-22(a)所示系统闭环极点远离虚轴（相应调节时间小），且角小（对应阻尼比较大，超调量

14、较小），因而动态性能优于图3-22(a)所示系统。 图23 例3-8中三个系统的闭环零极点分布及单位阶跃响应附加开环零点是通过改变闭环极点（改变模态）来影响闭环系统动态性能的。2附加闭环零点对系统动态性能的影响图3-22(b)，(c)两系统有相同的开环传递函数，只是闭环传递函数中后者较前者多一个闭环零点。附加闭环零点不会影响闭环极点，因而不会影响单位阶跃响应中的各模态。但它会改变单位阶跃响应中各模态的加权系数，由此影响系统的动态性能。附加闭环零点是通过改变单位阶跃响应中各模态的加权系数影响闭环系统动态性能的。将图3-22(c)系统闭环传递函数等效分解如图3-24所示。从信号的合成关系上可见，图3-22(c)所示系统的单位阶跃响应是在图3-22(b)系统单位阶跃响应基础上叠加了一个而成的。即有明显看出，附加闭环零点会使系统的峰值