量子力学三维各向同性谐振子

1、三维各向同性谐振子径向方程上节小结(合流超几何方程)表示径向波函数的节点数(不包括r=0, 点). 能量能级笛卡尔坐标系中求解与之间关系 能级简并度 本节要点氢原子径向波函数 能量概率密度分布电流分布与磁矩径向方程 5.4氢原子势能 (无穷远为势能零点) (1)径向波函数 满足 (2) 式中 为电子的约化质量 和 分别为电子和质子的质量.采用自然单位令 方程(2)化为 (4) 边条件: 径向波函数 构成 奇点 邻域，式(4) 解1： 趋于满足方程. 解2： 不满足物理上的要求.奇点r趋于式(4)对于束缚态E0,并令 (实) (6) 式(4)化为 该方程的解为 其中 束缚态边条件，弃之. 不满足

2、所以,当r时,只能取 (7) 方程(4)的解(E0) (8)关于u(r)径向方程 导出：式(4)左边 方程(4)化为 (9)关于 径向方程 令 (10) 代入方程(9),得 (11) 这正是合流超几何方程 ：(12) 相应的参数为 (13) (14)径向波函数u()函数 方程(11)有两个解： 与三维各向同性谐振子相似, 在 邻域, 是物理上不能接受的,因此方程(8)的解只能取 可以证明,在 时,无穷级数解 这样的解代入式 不满足束缚态边条件.因此,对于束缚态,必须要求解 可以表示成如下幂级数中断为一个多项式. 从式(11)看出要求 或负数,即 (15) 定义主量子数 (16) 由(15)和(

3、16)可得： 径向波函数: 其中 (已添上长度自然单位 玻尔半径).l=0,1,2,n-1.!归一化径向波函数为 氢原子的束缚态能量本征函数 最低的几条能级的径向波函数:能量能量本征值利用 得 (17) 添上能量自然单位 即得氢原子的能本征值 (18) 这就是玻尔能级公式. 能级分布基态(n=1,l=m=0) 该能级很低,这与库仑势 有密切关系. 氢原子的电离能为13.6eV.随n增大,能级越来越密,在E小于且趋近0邻域,有无限多条离散能级密集.当E0,则过渡到连续区(游离态). 能级简并度对于给定能级 按式(16)， 而对于给定轨道角动量量子数l,磁量子数可以取个值,因此,属于能级 的量子态

4、的数目为 (26) !能级 的简并度高于一般能级 的简并度与l无关, 即l简并, 这是由于 这是由于库仑场具有比一般中心力场的几何对称性(三维空间旋转不变性)更高的动力学对称性.概率密度分布径向位置概率分布径向概率密度 在 态下, 在(r,r+dr)球壳中找到电子的概率为 分布特征 的节点数(不包括r=0, 点)为： n=1,l=0(1s); n=2,l=1(2p); n=3,l=2(3d); n=2,l=0(2s); n=3,l=1(3p); n=4,l=2; 即无节点. 一个节点.n=3,l=0(3s); n=4,l=1(4p); 两个节点.n=4,l=0(4s) 三个节点.称为“圆轨道”

5、: 无节点 最可几半径 极大值所在的位置为(28)例如 可以由 给出 (Bohr半径). 概率密度角分布在 态下, 在 方向的立体角 找到电子的概率为 其中 为连带勒让德多项式.特点： 角量子数l较低的粒子态的概率密度随角度的变化如图5.5所示. s态呈球对称. 它与角无关,即对绕z轴旋转是对称的. 这是因为是的本征态的缘故. 与无关. 随着m增大, 概率密度从沿z轴分布逐渐过渡到垂直z轴分布. 可以证明,对于给定l,不同m的概率密度之和呈球对称.电流分布与磁矩电流密度(电子电荷-e)(30) 利用球坐标中梯度的表达式 容易求出 的各分量. 由于 的径向波函数及部分波函数 部分是实数,由式(30)可以看出 而 是绕z轴的环电流密度. 磁矩定义：通过 的电流元为 它对磁矩的贡献为 是绕z轴的环的面积.因此总的磁矩(沿z轴方向)为其中 用归一化条件,得是细环的体积元, 利 (33) 其中 (34) 称为玻尔磁子. 由式(33)看出, 磁矩与量子数m有关,