《微分几何》教学大纲

1、微分几何Differential Geometry一、课程基本情况课程类别：专业主干课课程学分：3学分课程总学时：其中讲课：48学时（含习题课），不含课外辅导学时课程性质：必修开课学期：第5学期先修课程：数学分析、高等代数、解析几何、常微分方程适用专业：数学与应用数学、信息与计算科学、应用统计学教材：Do Carmo 曲线与曲面的微分几何机械工业出版社. 2005.开课单位：数学与统计学院数学系二、课程性质、教学目标和任务微分几何是数学学院各专业的重要专业课。本课程以微积分、线性代数、空间解析几何，微分方程等为基础课。微分几何是用数学分析为工具研究空间图形性质的数学分支，主要讨论光滑曲线和曲面

2、的性质。本课程主要为经典微分几何，包括少量整体微分几何和近代微分几何。教学目标与教学任务：我们的目标为学生将来学习微分流形打下基础，做好平滑过渡的准备，以便于学生将来能继续学习现代几何学。期望通过一学期的教学，使学生既学会应用数学分析工具研究光滑曲线和曲面的经典方法和内容，又稍微了解近代几何的方法和内容，同时为进一步学习近代数学其它各分支打下基础。主要内容、重点：曲线弧长公式*、曲率公式*，Frenet标架*、Frenet公式，平面曲线的等周不等式，正则曲面*、临界点、正则值，曲面上的可微函数，第一、二基本型*，曲面的定向*、面积，Gauss映照*、法曲率*、Gauss曲率、平均曲率、法截线，

3、Euler公式、Dupin标线、Gauss映照的局部坐标表示、直纹面和极小曲面*，等距对应、共形映照，Gauss绝妙定理*，Gauss-Codazzi方程*，平行移动和测地线、测地曲率及其Liouville公式、Gauss-Bonnet定理及其应用*注：重点用右上标星号标出三、教学内容和要求第一章曲线 (6学时）1.1 参数曲线(1学时）（1）了解：可微，可微参数曲线，轨迹，切向量，范数，内积1.2 正则曲线、弧长(1学时）（1）理解：奇点，正则，定向；（2）掌握：弧长公式；重点：奇点，正则；1.3 R3中的向量积(0.5学时）（1）理解：定向，正基，外积；1.4 以弧长为参数的曲线的局部理论

4、(1.5学时）（1）了解：密切平面，法平面，从切平面，主法线，从法线挠率，曲线局部理论的基本定理及其证明；（2）理解：曲率，主法向量，从法向量，曲率半径；（3）掌握：Frenet标架，Frenet公式；重点：Frenet标架，Frenet公式，曲率；难点：弧长的参数化；1.5 局部规范形式(0.5学时）（1）掌握：将曲线按照Taylor公式展开，只取到2阶导；1.6 局部规范形式(0.5学时）（1）了解：简单闭曲线，内部区域，正定向；（2）理解：等周不等式；第二章正则曲面 (12学时）2.1 正则曲面；正则值的原像(3.5学时）（1）了解：连通的定义，反函数定理简介；（2）理解：正则曲面及其参

5、数表示，正则曲面的例子，临界值，正则值；（3）掌握：按定义判定正则曲面，运用隐函数定理判定正则曲面；重点：正则曲面及其参数表示；难点：按定义判定正则曲面；2.2 参数变换；曲面上的可微函数(2学时）（1）了解：参数变换，旋转面，经线，纬线，母线，旋转轴，切线面；（2）理解：参数变换的证明，可微函数；重点：可微函数；难点：参数变换的证明；2.3 切平面；映照的微分(2学时）（1）理解：映照的微分的例子；（2）掌握：切平面，映照的线性性，映照的同构性；难点：切平面；2.4 第一基本形式；面积(2.5学时）（1）理解：第一基本形式的例子，环面的面积公式；（2）掌握：第一基本形式，面积公式；重点：第一

6、基本形式，面积公式；2.5曲面的定向(1学时）（1）了解：Mobius带的不可定向性；（2）理解：定向及其例子，可微单位法向量场；（3）掌握：曲面可定向的判定条件；难点：曲面可定向的判定条件；2.6 面积的几何定义(0.5学时）（1）了解：细分；（2）理解：曲面的面积公式；第三章 Gauss映照的几何学 (12学时）3.1 Gauss映照的定义和基本性质(4学时）（1）了解：自伴随线性映照和二次形式，平面、球面、圆柱面、双曲抛物面情形的Gauss映照的微分，共轭；（2）理解：Gauss映照的自伴随性，曲率线，曲面的分类(椭圆、抛物、双曲)，脐点及其性质，渐近线，Dupin标线（3）掌握：第二基

7、本型，法曲率，法截线，主方向，主曲率,Euler公式，平均曲率，Gauss曲率重点：Gauss映照定义及基本性质，第二基本形式，Euler公式；难点：第二基本形式，Gauss曲率，平均曲率；3.2 局部坐标中的 Gauss映照(4学时）（1）了解：环面、猴鞍面、旋转面，可微函数的图的平均曲率和Gauss曲率；（2）理解：Weingarten方程，渐近线和曲率线的微分方程；（3）掌握：平均曲率和Gauss曲率的局部坐标表示；第二基本型的应用；重点：Weingarten方程；难点：平均曲率和Gauss曲率的局部坐标表示，Gauss曲率的几何意义；3.3 向量场(0.5学时）（1）了解：轨线及其唯一

8、性，初积分，积分曲线，向量场的可微性，正交场；3.4 直纹面和极小曲面(2.5学时）（1）了解：直纹面定义，锥面，直纹面公式，腰曲线；（2）理解：直纹面的高斯曲率，等温曲面，悬链面，正螺面，Enneper极小曲面, Scherk极小曲面；（3）掌握：极小曲面及其判定条件；重点：极小曲面及其判定条件；第四章曲面的内蕴几何学 (18学时）4.1 等距对应(2学时）（1）了解：曲面局部理论基本定理简介，悬链面与正螺面的等距对应关系，等温坐标；（2）理解：等距对应及其例子，等距对应的判定条件，共形映照；4.2 Gauss定理和相容性方程(3学时）（1）了解：旋转面的Christoffel符号；（2）理

9、解：Christoffel符号，Bonnet定理；（3）掌握：Gauss-Codazzi方程；难点：Gauss-Codazzi方程；4.3平行移动；测地线 (4学时）（1）了解：正则曲线，球面上的平行移动及测地线，正则弧，协变导数的代数值；（2）理解：协变导数，沿曲线的向量场，平行移动的性质，平行向量场的唯一性，旋转抛物面的测地线；（3）掌握：平行移动，参数测地线，测地线，测地曲率；重点：平行移动，测地曲率，Liouville公式；难点：Gauss-Codazzi方程，测地线微分方程；4.4 Gauss-Bonnet定理及其应用 (4学时）（1）了解：简单闭参数曲线，正则弧，切线回转定理，简单

10、区域，正定向；（2）理解：顶点，外角，Gauss-Bonnet定理，三角剖分，Euler示性数，亏格；（3）掌握：平行移动，参数测地线，测地线，测地曲率，Gauss-Bonnet定理的应用7例；重点：Gauss-Bonnet定理的应用；难点：Gauss-Bonnet定理；4.5 指数映照；测地极坐标 (4学时）（1）了解：径向测地线，测地圆,Minding定理；（2）理解：测地线的伸缩性，法坐标，测地极坐标，Gauss曲率的几何解释；（3）掌握：指数映照及其微分，测地极坐标系下的第一基本形式；重点：指数映照及其微分；难点：测地极坐标系下的第一基本形式，指数映照及其微分；四、课程考核（1）作业等：作业：8次；（2）考核方式：闭卷考试（3）总评成绩计算方式：平时作业和考勤占10