《数值分析》课程教学大纲

1、数值分析课程教学大纲 课程编码：171120010课程性质：学科专业必修课程适用专业： 信息与计算科学学时学分： 48学时3学分所需先修课：数学分析、高等代数、常微分方程编写单位： 数学与信息科学系一、课程说明 1、课程简介数值分析课程主要介绍科学计算的基本理论和常用的行之有效的方法，包括误差、插值法、函数逼近与曲线拟合、数值积分与数值微分、解线性方程组的直接法与迭代法、非线性方程求根等内容。适用于信息与计算科学专业学生。数值分析是一门运用计算机解决数学计算问题的学科，在科学与工程的计算中发挥着重要作用。计算机与计算技术的发展使数值分析的研究和应用有了更广阔的前景。数值模拟方法已成为实验与理论

2、两大科学研究方法之后的第三种方法。因此，学习和掌握数值分析的基本理论，包括算法设计和误差分析，对于将来从事科学研究的学生来说是必不可少的。 2、教学目标要求 通过本课程的学习，要求学生：1. 掌握数值分析的基本概念和基本原理，进一步提高抽象思维和逻辑推理的能力；2. 熟悉数值计算方法的构造思想和基本方法，掌握常见数值计算的方法，进一步提高数值计算能力；3. 能够分析计算中产生误差的原因，能采取减少误差的措施；4. 还希望学生能够解释计算结果的意义，根据计算结果作合理的预测。3、教学重点难点重点：绝对误差，相对误差，有效数字，拉格朗日插值多项式、牛顿插值多项式，牛顿前差插值多项式，最佳逼近多项式

3、，曲线拟合的最小二乘法，数值积分与数值微分的基本思想方法，等距节点下的几种低阶牛顿-柯特斯公式，外推法的基本思想，龙贝格算法，高斯消去法，选主元的高斯消去法，雅可比迭代法，高斯-塞德尔迭代法，不动点迭代法，牛顿法，弦截法。难点：有效数字与误差之间的关系，埃尔米特插值多项式的公式推导和误差分析，最佳一致逼近多项式，曲线拟合的最小二乘法，高斯求积公式的构造原理和技巧，矩阵的三角分解法，一般的迭代法，其收敛性分析的基本方法和主要应用，牛顿法收敛性和收敛速度的讨论，一般迭代法的收敛性分析。4、考核方式 本课程是考试课，考试的形式是闭卷，学期末考试（闭卷笔试），其成绩占总成绩的80，平时作业成绩占总成绩

4、的20。5、学时分配表章次教学内容理论课学时数实验（实践）课学时数第一章数值分析与科学计算引论22第二章插值法64第三章函数逼近与快速傅里叶变换62第四章数值积分与数值微分62第五章解线性方程的直接解法42第六章解线性方程组的迭代法42第七章非线性方程与方程组的数值解法42小计3216总计48二、各部分教学纲要第一章 数值分析与科学计算引论（4学时）教学目标1.了解数值分析的研究对象与特点，算法分析与误差分析的主要内容；2.理解学习和掌握数值分析的基本理论在科学计算中的重要性和必要性；3.会计算绝对误差、相对误差、有效数字，掌握它们之间的关系及转换；3.掌握避免误差危害的原则.4.初步了解Ma

5、tlab语言基础知识.本章重点绝对误差，相对误差，有效数字.本章难点 绝对误差限与相对误差限的关系，有效数字与绝对误差限和相对误差限的关系，数值运算的误差估计，Matlab相关知识应用.教学内容第一节 数值分析的对象、作用与特点一、数学科学与数值分析二、计算数学与科学计算三、计算方法与计算机四、数值问题与算法第二节 数值计算的误差一、误差来源与分类二、误差与有效数字（一）绝对误差与绝对误差限（二）相对误差与相对误差限（三）有效数字三、数值运算的误差估计第三节 误差定性分析与避免误差危害一、算法的数值稳定性二、病态问题与条件数三、避免误差危害的若干原则第四节 数值计算中算法设计的技术一、多项式求

6、值的秦九韶算法二、迭代法与开方求值三、以直代曲与化整为“零”四、加权平均的松弛技术第五节 Matlab相关基础知识 一、Matlab软件简介二、Matlab应用实例思考题1、问 2，2.0，2.00表示的数是否相同？2、有效数字与误差和相对误差有什么关系？3、想想现实生活中有哪些与这门课程有关系的例子？第二章 插值法（10学时）教学目标1.了解插值是函数逼近的重要方法，也是数值积分、数值微分及微分方程数值解法的基础；2.掌握拉格朗日插值多项式、牛顿插值多项式，还有适用于等距节点的牛顿前差插值多项式和牛顿后差插值多项式；3.了解和掌握埃尔米特插值多项式，包括其公式的推导和误差分析；4.简单了解分

7、段低次插值法的基本思想和样条插值函数也是分段插值函数，它可以保证分段插值函数在整个区间上具有连续的二阶导数，因此具有较好的光滑性，收敛性和稳定性.5. 了解Lagrange插值多项式和牛顿插值多项式的程序设计过程及Matlab实现.本章重点拉格朗日插值多项式，牛顿插值多项式，牛顿前差插值多项式，埃尔米特插值多项式.本章难点 埃尔米特插值多项式的公式推导和误差分析，样条插值函数, 程序设计过程及Matlab实现.教学内容第一节 引言一、插值问题的提出二、多项式插值第一节 拉格朗日插值一、线性插值与抛物插值（一）线性插值（二）抛物插值二、拉格朗日插值多项式三、插值余项与误差估计第三节 均差与牛顿插

8、值公式一、插值多项式的逐次生成二、均差及其性质（一）均差（二）性质三、牛顿插值多项公式四、差分形式的牛顿插值公式（一）差分及其性质（二）牛顿前插公式第四节 埃尔米特插值两点三次埃尔米特插值二、低阶含导数项的埃尔米特插值第五节 分段低次插值一、高次插值的的病态性质二、分段线性插值三、分段三次埃尔米特插值第六节 三次样条插值一、三次样条函数二、样条插值函数的建立第七节 Matlab与应用实例一、Lagrange插值多项式的程序设计过程及Matlab实现二、牛顿插值多项式的程序设计过程及Matlab实现思考题1、Ln(x)一定是n次的多项式吗？2、牛顿插值法与拉格朗日插值法有什么异同？3、埃尔米特插

9、值与一般插值区别是什么？4、如何利用计算机语言来实现这些插值法？第三章 函数逼近与快速傅里叶变换（8学时）教学目标1.理解函数逼近的基本思想和基本概念；2.了解正交多项式，掌握和理解构造正交多项式的方法及几种特殊正交多项式；3.理解最佳平方逼近的思想，掌握利用勒让德多项式求最佳平方逼近多项式的方法；4.掌握曲线拟合的最小二乘法，并能进行低次多项式的拟合；5.要求学生能够应用Matlab数学软件了解曲线拟合的方法。本章重点正交多项式，最佳一致逼近多项式，曲线拟合的最小二乘法.本章难点 最佳平方逼近多项式，曲线拟合的最小二乘法.教学内容第一节 函数逼近的基本概念一、函数逼近与函数空间二、范数与赋范

10、线性空间（一）范数定义（二）几种特殊范数三、内积与内积空间第二节 正交多项式一、正交函数族与正交多项式二、勒让德多项式三、切比雪夫多项式（一）切比雪夫多项式性质（二）利用切比雪夫求最佳逼近多项式四、切比雪夫多形式零点插值五、其他常用的正交多项式第三节 最佳平方逼近多项式一、最佳平方逼近及其计算二、用正交函数族作最佳平方逼近第五节 曲线拟合的最小二乘法一、最小二乘法及其计算二、用正交多项式做最小二乘法第七节 Matlab与应用实例一、曲线拟合的Matlab实现思考题1、范数与绝对值运算的异同？2、正交多项式在本章有什么作用？3、利用最小二乘法解决问题时，需要分几步？需要注意的是什么？4、平方逼近

11、与最小二乘法有什么异同？第四章 数值积分与数值微分（8学时）教学目标1.了解数值积分与数值微分的基本思想方法；2.掌握等距节点下的几种低阶牛顿-柯特斯公式；初步了解不等距节点下的高斯求积公式的构造原理和技巧；3.理解外推法的基本思想，了解龙贝格算法；4.掌握数值微分基本公式，了解数值微分的外推算法；5.了解和掌握辛普森求积公式和复合的辛普森求积公式的Matlab实现.本章重点数值积分与数值微分的基本思想方法，等距节点下的几种低阶牛顿-柯特斯公式，数值微分基本思想.本章难点 高斯求积公式的构造原理和技巧.教学内容第一节 数值积分概论一、数值求积的基本思想二、代数精度的概念三、插值型的求积公式四、

12、求积公式的收敛性与稳定性第二节 牛顿-柯特斯公式柯特斯系数偶阶求积公式的代数精度几种低阶求积公式的余项 第三节 复合求积公式一、复合梯形公式二、复合辛普森求积公式第五节 高斯求积公式一般理论高斯-勒让德求积公式第六节 数值微分中点方法与误差分析插值型的求导公式三次样条求导数值微分的外推算法第七节 Matlab与应用实例一、辛普森求积公式Matlab实现二、复合辛普森求积公式Matlab实现Matlab实现思考题1、对给定求积公式的节点，给出两种计算求积系数的方法.2、什么是牛顿-柯特斯求积？它的特点是什么？3、什么是复合求积法？研究它的必要性？4、为什么称高斯求积公式是具有最高代数精度的求积公

13、式？第五章 解线性方程组的直接方法（6学时）教学目标1.了解研究求解线性代数方程组的数值方法的必要性，算法的分类及直接法的应用范围；2.理解高斯消去法的基本原理，掌握选主元的高斯消去法；3.了解矩阵的三角分解法的基本思想，平方根法及其改进方法；4.了解求解特殊线性代数方程组的追赶法；5.理解向量和矩阵的范数；6.了解代数方程组的性态概念，理解系数矩阵的条件数是度量线性代数方程组良态或病态的主要指标；7. 掌握Gauss消去法求解线性方程组的具体matlab实现，学会范数和条件数的求法.本章重点高斯消去法，选主元的高斯消去法.本章难点 矩阵的三角分解法，平方根法，追赶法.教学内容第一节 引言与预

14、备知识引言向量和矩阵矩阵的特征值与谱半径特殊矩阵第二节 高斯消去法高斯消去法矩阵的三角分解列主元素消去法第三节 矩阵三角分解法直接三角分解法平方根法追赶法第五节 向量和矩阵的范数向量的范数矩阵的范数第六节 误差分析矩阵的条件数迭代改善法第七节 Matlab与应用实例一、Gauss消去法求解方程组Matlab实现二、范数和条件数的Matlab实现思考题1、用高斯消去法为什么要选主元？可不可以不选主元？2、高斯消去法与LU分解有什么关系？3、哪些线性方程组可以用平方根法求解？4、矩阵范数和向量范数有什么异同？5、如何判断线性方程组是否是病态的？第六章 解线性方程组的迭代法（6学时）教学目标1.了解

15、算法的分类及迭代法的应用范围及构造迭代法时必须考虑的收敛性和收敛速度问题； 2.理解雅可比迭代法，高斯-塞德尔迭代法，SOR方法及SSOR方法的构造原理；3.对于上述常用的迭代法，掌握其收敛的条件，对一般的迭代法，掌握其收敛性分析的基本方法和主要结果；4. 掌握雅可比迭代法，高斯-塞德尔迭代法在求解线性方程组时的具体实现.本章重点雅可比迭代法，高斯-塞德尔迭代法，SOR方法及SSOR方法，线性代数方程组的性态，上述常用的迭代法其收敛的条件.本章难点 一般的迭代法，其收敛性分析的基本方法和主要应用.教学内容第一节 迭代法的基本概念一、引言二、向量序列与矩阵序列的极限三、迭代法及其收敛性第二节 雅

16、克比迭代法与高斯-塞德尔迭代法引言雅克比迭代法高斯-塞德尔迭代法雅克比迭代与高斯-塞德尔迭代收敛性第三节 超松弛迭代法逐步超松弛迭代法SOR迭代法的收敛性块迭代法第四节 Matlab与应用实例一、Jacobi法求解线性方程组的Matlab实现二、Gauss-Seidel法求解线性方程组的Matlab实现思考题1、解线性方程组的直接方法与迭代法有什么区别？2、什么是矩阵的分裂？3、雅克比迭代法与高斯塞德尔迭代法有什么区别？4、什么叫矩阵的严格对角占优？第七章 非线性方程与方程组的数值解法（6学时）教学目标1.了解方程求根问题，掌握二分法和不动点迭代法，了解不动点迭代法收敛性； 2.理解和掌握牛顿

17、法及其收敛性；3.了解和掌握弦截法和抛物线法；4.了解非线性方程组的数值解法；5.了解牛顿法在Matlab中的具体实现，能够应用牛顿法求解具体方程.本章重点二分法、不动点法、弦截法和抛物线法，及其它们的收敛性.本章难点 不动点法、弦截法和抛物线法，及其它们的收敛性的判定.第一节 方程求根与二分法一、引言二、二分法第二节 不动点迭代法与其收敛性一、不动点与不动点迭代法二、不动点的存在性与迭代法的收敛性三、局部收敛与收敛阶第三节 牛顿法一、牛顿法及其收敛性二、牛顿法应用举例三、简化牛顿法与牛顿下山法四、重根情形第四节 弦截法与抛物线法一、弦截法二、抛物线法第五节 非线性方程组的数值解法一、非线性方程组二、多变量方程的不动点迭代法非线性