函数模型及其应用教案-00002

1、第 PAGE10 页适用学科高中数学适用年级高一适用区域苏教版区域课时时长（分钟）2课时知识点几类不同增长的函数模型的特点、用已知函数模型解决实际问题、建立函数模型解决实际问题教学目标利用计算工具，比较指数函数、对数函数以及幂函数增长差异；结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的含义；了解社会生活中普遍使用的函数模型（指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等）的实例。教学重点了解函数模型的广泛应用。教学难点了解函数模型的广泛应用。【知识导图】教学过程一、导入函数应用问题是高考的热点，高考对应用题的考察即考小题又考大题，而且分值呈上升的趋势。高考中重视对环境保护及数学课外的的综

2、合性应用题等的考察。出于“立意”和创设情景的需要，函数试题设置问题的角度和方式也不断创新，重视函数思想的考察，加大函数应用题、探索题、开放题和信息题的考察力度，从而使高考考题显得新颖、生动和灵活。函数类应用题，是考察的重点，因而要认真准备应用题型、探索型和综合题型，加大训练力度，重视关于函数的数学建模问题，学会用数学和方法寻求规律找出解题策略。（1）题型多以大题出现，以实际问题为背景，通过解决数学问题的过程，解释问题；（2）题目涉及的函数多以基本初等函数为载体，通过它们的性质（单调性、极值和最值等）来解释生活现象，主要涉计经济、环保、能源、健康等社会现象。二、知识讲解考点1 解决实际问题的解题

3、过程（1）对实际问题进行抽象概括：研究实际问题中量与量之间的关系，确定变量之间的主、被动关系，并用x、y分别表示问题中的变量；（2）建立函数模型：将变量y表示为x的函数，在中学数学内，我们建立的函数模型一般都是函数的解析式；（3）求解函数模型：根据实际问题所需要解决的目标及函数式的结构特点正确选择函数知识求得函数模型的解，并还原为实际问题的解.这些步骤用框图表示：实际问题函数模型实际问题的解函数模型的解抽象概括还原说明运用函数性质考点2 解决函数应用问题应这种培养下面一些能力（1）阅读理解、整理数据的能力：通过分析、画图、列表、归类等方法，快速弄清数据之间的关系，数据的单位等等；（2）建立函数

4、模型的能力：关键是正确选择自变量将问题的目标表示为这个变量的函数，建立函数的模型的过程主要是抓住某些量之间的相等关系列出函数式，注意不要忘记考察函数的定义域；（3）求解函数模型的能力：主要是研究函数的单调性，求函数的值域、最大（小）值，计算函数的特殊值等，注意发挥函数图象的作用。三 、例题精析类型一 函数模型解决实际问题例题1某地区2019年底沙漠面积为95万公顷，为了解该地区沙漠面积的变化情况，进行了连续5年的观测，并将每年年底的观测结果记录如下表。根据此表所给的信息进行预测：（1）如果不采取任何措施，那么到2019年底，该地区的沙漠面积将大约变为多少万公顷；（2）如果从2019年底后采取植

5、树造林等措施，每年改造0.6万公顷沙漠，那么到哪一年年底该地区沙漠面积减少到90万公顷？观测时间2019年底2019年底2019年底2019年底2019年底该地区沙漠比原有面积增加数（万公顷）0.20190.40000.60010.79991.0001【规范解答】（1）由表观察知，沙漠面积增加数y与年份数x之间的关系图象近似地为一次函数y=kx+b的图象。将x=1，y=0.2与x=2，y=0.4，代入y=kx+b，求得k=0.2，b=0，所以y=0.2x（xN）。因为原有沙漠面积为95万公顷，则到2019年底沙漠面积大约为95+0.515=98（万公顷）。（2）设从2019年算起，第x年年底该

6、地区沙漠面积能减少到90万公顷，由题意得95+0.2x0.6(x5)=90，解得x=20（年）。故到2019年年底，该地区沙漠面积减少到90万公顷。【总结与反思】初中我们学习过的正比例、反比例和一元一次函数的定义和基本性质，我们要牢固掌握。特别是题目中出现的“成正比例”、“成反比例”等条件要应用好。类型二 函数性质应用例题1已知函数在R上有定义，对任何实数和任何实数，都有（）证明；（）证明其中和均为常数；【规范解答】证明（）令，则，。（）令，则。假设时，则，而，即成立。令，假设时，则，而，即成立。成立。【总结与反思】该题应用了正比例函数的数字特征，从而使问题得到简化。而不是一味的向函数求值方面

7、靠拢。四 、课堂运用基础1. 某化工厂引进一条先进生产线生产某种化工产品，其生产的总成本y(万元)与年产量x(吨)之间的函数关系式可以近似地表示为，已知此生产线年产量最大为吨(1)求年产量为多少吨时，生产每吨产品的平均成本最低，并求最低成本；(2)若每吨产品平均出厂价为40万元，那么当年产量为多少吨时，可以获得最大利润？最大利润是多少？2即将开工的上海与周边城市的城际列车铁路线将大大缓解交通的压力，加速城市之间的流通根据测算，如果一列火车每次拖4节车厢，每天能来回16次；如果每次拖7节车厢，则每天能来回10次每天来回次数是每次拖挂车厢个数的一次函数，每节车厢一次能载客110人，试问每次应拖挂多

8、少节车厢才能使每天营运人数最多？并求出每天最多的营运人数(注：营运人数指火车运送的人数)答案与解析1.【答案】同解析【解析】(1)每吨平均成本为eq f(y,x)(万元)则eq f(y,x)eq f(x,5)eq f(8 000,x)482eq r(f(x,5)f(8 000,x)4832，当且仅当eq f(x,5)eq f(8 000,x)，即x200时取等号年产量为200吨时，每吨平均成本最低为32万元(2)设年获得总利润为R(x)万元，则R(x)40 xy40 xeq f(x2,5)48x8 000eq f(x2,5)88x8 000eq f(1,5)(x220)21 680(0 x21

9、0)R(x)在0,210上是增函数，x210时，R(x)有最大值为eq f(1,5)(210220)21 6801 660.年产量为210吨时，可获得最大利润1 660万元2.【答案】同解析【解析】设这列火车每天来回次数为t次，每次拖挂车厢n节，则设tknb.由eq blcrc (avs4alco1(164kb，,107kb)解得eq blcrc (avs4alco1(k2，,b24.)t2n24.设每次拖挂n节车厢每天营运人数为y，则ytn11022(220n22 640n)，当neq f(2 640,440)6时，总人数最多为15 840人答每次应拖挂6节车厢才能使每天的营运人数最多为15

10、 840人巩固1. 某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从二月一日起的300天内，西红柿市场售价与上市时间的关系用下图(1)的一条折线表示；西红柿的种植成本与上市时间的关系用下图(2)的抛物线表示写出图中(1)表示的市场售价与时间的函数关系式；写出图中(2)表示的种植成本与时间的函数关系式；（2）认定市场售价减去种植成本为纯收益，问何时上市的西红柿纯收益最大?（注：市场售价和种植成本的单位：元102，kg，时间单位：天）2某市居民自来水收费标准如下：每户每月用水不超过4吨时，每吨为1.80元，当用水超过4吨时，超过部分每吨3.00元某月甲、乙两户共交水费y元，已知甲、乙两户该月用水量分别

11、为5x,3x(吨)(1)求y关于x的函数；(2)若甲、乙两户该月共交水费26.4元，分别求出甲、乙两户该月的用水量和水费答案与解析【答案】同解析【解析】解：（1）由图（1）可得市场售价与时间的函数关系为f(t)eq blc(aal(300t，0t200，,2t300，200t300)由图（2）可得种植成本与时间的函数关系为g(t)eq f(1,200)(t150)2100，0t300（2）设t时刻的纯收益为h(t)，则由题意得h(t)f(t)g(t)，即h(t)eq blc(aal(eq f(1,200)t2eq f(1,2)teq f(175,2)，0t200，,eq f(1,200)t2e

12、q f(7,2)teq f(1025,2)，200t300)当0t200时，配方整理得h(t)eq f(1,200)(t50)2100，所以，当t50时，h(t)取得区间0，200上的最大值100；当200t300时，配方整理得h(t)eq f(1,200)(t350)2100，所以，当t300时，h(t)取得区间（200，300上的最大值87.5综上，由10087.5可知，h(t)在区间0，300上可以取得最大值100，此时t50，即从二月一日开始的第50天时，上市的西红柿纯收益最大2.【答案】同解析【解析】(1)当甲的用水量不超过4吨时，即5x4，乙的用水量也不超过4吨，y1.8(5x3x

13、)14.4x；当甲的用水量超过4吨，乙的用水量不超过4吨，即3x4，且5x4时，y41.83x1.83(5x4)20.4x4.8.当乙的用水量超过4吨，即3x4时，y241.83(3x4)(5x4)24x9.6.所以yeq blcrc (avs4alco1(14.4x，0 xf(4,5)，,20.4x4.8， f(4,5)f(4,3).)(2)由于yf(x)在各段区间上均单调递增，当xeq blcrc(avs4alco1(0，f(4,5)时，yfeq blc(rc)(avs4alco1(f(4,5)26.4；当xeq blc(rc(avs4alco1(f(4,5)，f(4,3)时，yfeq b

14、lc(rc)(avs4alco1(f(4,3)1010，得(eq f(3,2)x108，两边取以10为底的对数，得xlgeq f(3,2)8，xeq f(8,lg 3lg 2)，eq f(8,lg 3lg 2)eq f(8,0.4770.301)45.45，x45.45.答经过46小时，细胞总数可以超过1010个五 、课堂小结课程小结1将实际问题转化为函数模型，比较常数函数、一次函数、指数函数、对数函数模型的增长差异，结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的含义。2怎样选择数学模型分析解决实际问题数学应用问题形式多样，解法灵活。在应用题的各种题型中，有这样一类题型：信息由表

15、格数据的形式给出，要求对数据进行合理的转化处理，建立数学模型，解答有关的实际问题。解答此类题型主要有如下三种方法：（1）直接法：若由题中条件能明显确定需要用的数学模型，或题中直接给出了需要用的数学模型，则可直接代入表中的数据，问题即可获解；（2）列式比较法：若题所涉及的是最优化方案问题，则可根据表格中的数据先列式，然后进行比较；（3）描点观察法：若根据题设条件不能直接确定需要用哪种数学模型，则可根据表中的数据在直角坐标系中进行描点，作出散点图，然后观察这些点的位置变化情况，确定所需要用的数学模型，问题即可顺利解决。六 、课后作业基础1拟定甲地到乙地通话m分钟的电话费(单位：元)，其中，m表示不

16、大于m的最大整数(如)，当时，函数的值域是_2. 将边长为1m正三角形薄片，沿一条平行于底边的直线剪成两块，其中一块是梯形，记Seq f(梯形的周长)2,梯形的面积)，则S的最小值是 3生产一定数量的商品的全部费用称为生产成本，某企业一个月生产某种商品x万件时的生产成本为C(x)eq f(1,2)x22x20(万元)一万件售价是20万元，为获取更大利润，该企业一个月应生产该商品数量为_万件答案与解析1.【答案】1.06,1.59,2.12,2.65【解析】当0.5m1时，m0，f(m)1.06；当1m2时，m1，f(m)1.59；当2m3时，m2，f(m)2.12；当3m3.1时，m3，f(m

17、)2.65.2.【答案】eq f(32eq r(,3),3)【解析】设剪成的小正三角形的边长为x，则Seq f(3x)2,eq f(1,2)(x1)eq f(r(,3),2)(1x)eq f(4,eq r(,3)eq f(3x)2,1x2)(0 x1)令3xt，t(2，3)，eq f(1,t)(eq f(1,3)，eq f(1,2)，则Seq f(4,eq r(,3)eq f(t2,t26t8)eq f(4,eq r(,3)eq f(1,eq f(8,t2)eq f(6,t)1)故当eq f(1,t)eq f(3,8)，xeq f(1,3)时，S的最小值是eq f(32eq r(,3),3)3

18、.【答案】18【解析】利润L(x)20 xC(x)eq f(1,2)(x18)2142，当x18时，L(x)有最大值巩固1据某校环保小组调查，某区垃圾量的年增长率为b,2009年产生的垃圾量为a t，由此预测，该区下一年的垃圾量为_t,2019年的垃圾量为_t.2有一批材料可以建成200 m长的围墙，如果用此批材料在一边靠墙的地方围成一块矩形场地，中间用同样材料隔成三个面积相等的矩形(如图所示)，则围成场地的最大面积为_(围墙的厚度不计)3已知每生产100克饼干的原材料加工费为1.8元某食品加工厂对饼干采用两种包装，其包装费用、销售价格如下表所示：型号小包装大包装重量100克300克包装费0.5元0.7元销售价格3.00元8.4元则下列说法中正确的是_(填序号)买小包装实惠；买大包装实惠；卖3小包比卖1大包盈利多；卖1大包比卖3小包盈利多答案与解析1.【答案】a(1b)a(1b)5【解析】由于2009年的垃圾量为a t，年增长率为b，故下一年的垃圾量为aaba(1b) t，同理可知2019年的垃圾量为a(1b)2t，2019年的垃圾量为a(1b)5 t.2.【答案】2 500 m2【解析】设所围场地的长为x，则宽为eq