（文章）四用函数单调性

1、四用函数单调性函数单调性是函数的重要性质之一，也是高考热点问题之一，在历年高考试题中，涉及函数单调性内容的试题屡见不鲜下面举例说明函数单调性在解题中的应用。一、正用是指直接利用单调函数概念，证明或判断一个函数是增函数或减函数其步骤通常是：设,是给定区间内的任意两个值，且；作差f()f()，并将此差式变形（要注意变形的程度）；判断f()f()的正负（要注意说理的充分性）；根据f()f()的符号确定其增减性例1.求函数f(x)=x+的单调区间。解析：显然x0。由于函数f(x)为奇函数，因此先求f(x)在x0时的单调区间，再由奇函数的对称性求出在整个定义域范围内的单调区间。当0 x1x2时，则f(x

2、2)-f(x1)=x2-x1+-=。即f(x)在1,+)上是递增的，在(0,1)上是递减的；由于奇函数的图象关于原点对称，因此f(x)在（-，-1上是递增的，在（-1，0）上是递减的。点评：由定义法求函数的单调区间时，需要分两步：一是在定义域范围内设两个数x1x2；二是比较f(x1)与f（x2）的大小；但往往在第二步中会遇到不能确定正负的式子，如例1中的（x1x2-1），则需要按实际分情况讨论。例2已知函数= x2ax3a1 a0，0 x1求函数的最大值和最小值；若的最小值是，求其最大值分析：若由= (xa)2a1就认为的最小值是2a1，最大值不存在，是不正确的因为这里函数的定义域是0，1，而

3、且这里的二次函数的图象的对称轴(x = a)的位置是不确定的因此，应该讨论直线x = a相对于区间0，1的各种可能解：= x2ax3a1= (xa)2a1，a0，当a1时，由于在0，1上是减函数，故的最大值为=3a1，最小值为=3a2a；当0a1时，的最小值为=2a1，的最大值为、中的较大者若，则3a13a2a，解得a，当0a时，的最大值为=3a2a；当a1时，的最大值为=3a1由或 a =由于0，故此时的最大值为=点评：在中，对a作了二次划分，前者是以1为划分标准，后者又以为分类标准，这种分类讨论的方法可以保证每一级都不会重复与遗漏二、逆用逆用是指已知单调性，求参数的取值范围例3已知函数在区

4、间上是减函数，求实数的取值范围.解：.此二次函数对称轴为，因为在区间上，是单调递减的，若使在上单调递减，对称轴必须在的右侧或与其重合，即，解得.例4已知函数(x) = lg(ax1)lg(x1) （aR），若函数(x)在10，+) 单调递增，试求a的取值范围 解：由已知有10a10，a因为(x) = lg(ax1)lg(x1) = lg(a +) 在10，+ ) 上单调递增，所以当 10 xx+时，恒有( x)( x)，即有 (a1)()0，而，a1 即a的取值范围为（，1） 三、活用由单调函数的概念，知“在其单调区间上，每个自变量与函数值之间是一一对应的”是一个函数为单调函数的必要条件例5设

5、f(x)x33x26x6，若f(a)1，f(b)5，则ab（ ）(A) 2 (B) 0 (C) 1 (D) 2解：原函数可化为f(x)(x1)33(x1)2又f(a)1，f(b)5，则可得(a1)33(a1)3，(1b)33(1b)3又设函数f(t)t33t，故上面等式可化为f(a1)f(1b)，易知函数f(t)t33t在R上是单调递增函数，即a11b，得ab2例6.已知，求函数的最值解：已知函数式可化为，先判断函数在上的增减性设，则，即函数在上是减函数故所求函数的最小值为，无最大值点评：函数单调性在解题中的应用，主要表现在通过建立函数关系式或构造辅助函数式，把原问题转化为对函数单调性的讨论，以达到化难为易、化繁为简的目的四、构造用即非单调函数问题(如不等式证明、求值等)，通过构造，转化为单调函