《近世代数》教学大纲

1、近世代数Abstract algebra一、课程基本情况课程类别：专业主干课课程学分： 3 学分课程总学时： 48 学时，其中讲课： 48 学时，实验（含上机）： 0 学时，课外 0 学时课程性质：必修课开课学期：第3学期先修课程： 数学分析、高等代数适用专业： 数学与应用数学教 材：近世代数基础 张禾瑞编 高等教育出版社 1978年修订本开课单位： 数学与统计学院数学系二、课程性质、教学目标和任务本课程是数学系本科生的一门专业主干课。它不仅在数学中占有及其重要的地位，而且在其它学科中也有广泛的应用，如理论物理、化学和计算机学科等。与此同时，近世代数的研究的方法和观点，也对其他学科产生了越来越

2、大的影响。 本课程的教学目标在于培养数学专业学生的严密的逻辑思维能力和规范的推导证明过程。 本课程教学任务是讲授代数中典型的代数系统：群、环、域及其相关的代数性质。其主要内容包括（1）群的定义，循环群，n阶对称群，子群、不变子群，商群、群的同态基本定理的内容及其性质；（2）环、子环，理想、商环、整环，多项式环、域、唯一分解环，以及域的扩张概念。课程的重点在于：（1）掌握Larange定理并能够计算或证明群的元素的阶 （2）会证明子群和正规子群相关的问题且会应用群的同态基本定理证明群的同构（3）会证明理想和子环相关的问题且会应用环的同态基本定理证明环同构。（4）了解整环的分类。由于课时的原因，本

3、课程对西罗定理和伽罗瓦理论不做要求。三、教学内容和要求第1章 基本概念（7学时）1.1集合、映射与变换（2学时）（1）了解集合的概念； （2）理解映射、变换的概念及其与函数的关系； （3）掌握一一映射的概念与性质。重点：一一映射的性质难点：一一映射的证明1.2代数运算与运算规律（2学时）（1）了解代数运算的实质是映射； （2）理解交换律、结合律和分配律的定义； （3）掌握结合律的意义；重点：结合律存在的意义；难点：代数运算是可以定义的；1.3 同态与同构（2学时）（1）了解同态的本质是映射。（2）理解同态与同构的定义，并会举例（3）掌握同构的证明重点：同态和同构的定义难点：同态和同构的证明1.

4、4 等价类与集合的分类（1学时）（1）了解集合分类的原则（2）理解等价关系的定义（3）掌握等价关系与集合分类之间的联系。重点：等价关系的定义与实例难点：集合分类与等价关系的联系第二章 群论（18学时）2.1 群和有限群的定义（3学时）（1）了解高等代数中已经出现的群（2）理解群和有限群的定义（3）掌握单位元，逆元和消去律以及群的定义证明。重点：群和有限群的定义难点：相关的证明和举例2.2 循环群，变换群与置换群（3学时）（1）了解变换群的定义和相关的性质（2）理解置换群与变换群的关系（3）掌握置换的乘积，置换群、循环群的定义和性质重点：置换的乘积，置换的阶，循环群的分类难点： 循环群的证明，置

5、换的分解2.3 子群与陪集（4学时）（1）了解子群的定义（2）理解左右陪集的定义（3）掌握子群的判定及陪集的相等重点：子群的判定与陪集的计算难点：陪集相等在证明中的应用。2.4 正规子群与群的同态基本定理（4学时）（1）了解正规子群与子群陪集之间的关系（2）理解正规子群的定义（3）掌握正规子群的判定和同态基本定理重点：正规子群的判定与应用同态基本定理证明难点：应用同态基本定理的证明2.5 正规子群与商群（4学时）（1）了解为何定义商群必须用正规子群。（2）理解商群的元素及运算（3）掌握商群的阶，商群的计算重点：商群的定义及证明难点：商群的阶与子群在群中指数的区别与联系。第三章 环论（15学时）

6、3.1 环的定义（4学时）（1）了解环与群的关系（2）理解环的定义能找出高等代数中环的例子（3）掌握环中的特殊元素如幺元，零因子。重点：环的定义与举例难点：无零因子与消去律 3.2 无零因子环，整环及域（4学时）(1) 了解无零因子环的特征（2）理解无零因子环，整环、除环域的定义（3）掌握整环、除环、域的证明重点：整环、除环、域的证明难点：整环、除环、域的证明3.3 子环，理想，多项式环（2学时）（1）了解子环的定义（2）理解理想的定义与多项式环的定义（3）掌握理想的证明重点：理想的定义与证明难点：多项式环3.4 环的同态，同态基本定理，极大理想（3学时）（1）了解环的同态（2）理解环的同态基

7、本定理（3）掌握环的同态的证明与极大理想的证明重点：环的同态的证明与极大理想的证明难点：环的同态的证明与极大理想的证明3.5 商环，剩余类环（2学时）（1）了解商环和剩余类环的定义（2）理解剩余类环计算（3）掌握整数环的商环重点：剩余类环的计算难点：剩余类环的计算第四章 整环里的因子分解（8学时）4.1理解素元、唯一分解、唯一分解环（4学时）（1） 了解素元，唯一分解的定义（2） 理解环中的单位和相伴元（3） 计算素元和单位重点：素元和单位，唯一分解难点：素元和单位，唯一分解4.2主整理环、欧氏环（4学时）（1）了解主理想环、欧式环的定义（2）理解主理想环、欧式环的区别和联系（3）掌握两种环的例子重点：主理想环、欧式环的区别和联系难点：理解主理想环、欧式环的区别和联系四、课程考核（1）作业等：作业： 8 次