高中数学选择性必修一 1.1 空间向量及其运算（精练）(含答案)

1、1.1 空间向量及其运算(精练)【题组一 概念辨析】1(2021全国高二单元测试)下列说法中正确的是( )A两个有共同起点且相等的向量，其终点可能不同B若非零向量和是共线向量，则、四点共线C在空间中，任意两个单位向量都相等D零向量与任意向量平行【答案】D【解析】A项：因为两个向量起点相同且是相等的向量，所以终点必相同，A错误；B项：若非零向量和是共线向量，则和平行或者重合，故、四点不一定在同一条直线上，B错误；C项：单位向量的模相等，但方向不一定相同，C错误；D项：零向量与任意向量平行，D正确，故选：D.2(2021湖南)(多选)下列命题中为假命题的是( )A任意两个空间向量的模能比较大小B将

2、空间中所有的单位向量移到同一个起点，则它们的终点构成一个圆C空间向量就是空间中的一条有向线段D不相等的两个空间向量的模必不相等【答案】BCD【解析】对于选项A，向量的模即向量的长度，是一个数量，所以任意两个向量的模可以比较大小；对于选项B，其终点构成一个球面；对于选项C，零向量不能用有向线段表示；对于选项D，两个向量不相等，它们的模可以相等故选：BCD3(2021全国高二)下列说法中正确的是()A若，则，的长度相等，方向相同或相反B若向量是向量的相反向量，则C空间向量的减法满足结合律D在四边形中，一定有【答案】B【解析】对于A,向量的模相等指的是向量的长度相等,方向具有不确定性,因而不一定方向

3、相同或相反,所以A错误.对于B,相反向量指的是大小相等,方向相反的两个向量.因而相反向量满足模长相等,所以B正确.对于C,减法结合律指的是,因而由运算可得空间向量减法不满足结合律.所以C错误.对于D满足的一定是平行四边形,一般四边形是不满足的,因而D错误.综上可知,正确的为B故选:B4(2021陕西新城)给出下列命题：若空间向量满足，则；空间任意两个单位向量必相等；对于非零向量，由，则；在向量的数量积运算中.其中假命题的个数是( )A1B2C3D4【答案】D【解析】对于，空间向量的方向不一定相同，即不一定成立，故错误；对于，单位向量的方向不一定相同，故错误；对于，取，满足，且，但是，故错误；对

4、于，因为和都是常数，所以和表示两个向量，若和方向不同则和不相等，故错误.故选：D.【题组二 共线共面问题】1(2021涟水县)是空间四点，有以下条件：； ； ，能使四点一定共面的条件是_【答案】【解析】对于，由空间向量共面定理可知四点一定共面，不满足共面定理的条件.故答案为：2(2021江苏)设空间任意一点和不共线三点，且点满足向量关系，若四点共面，则_【答案】【解析】因为四点共面，三点不共线，所以因为，因为是任意一点，故可不共面，所以，故.故答案为：13(2021广东)对于空间任意一点和不共线的三点，有如下关系：，则( )A四点，必共面B四点，必共面C四点，必共面D五点，必共面【答案】B【解

5、析】因为，所以，即，根据共面向量基本定理，可得，共面，所以，四点共面故选：B4(2021湖南)已知、三点不共线，对平面外的任一点，下列条件中能确定点与点、一定共面的是( )ABCD【答案】B【解析】若，故可得即，则，故整理得又因为共面，故可得共面，而其它选项不符合，即可得四点共面.故选：B.5(2021安徽已知A，B，C三点不共线，O是平面ABC外的任意一点，若，试判断向量，是否共面，并判断点P是否在平面ABC内【答案】见解析【解析】因为，所以，即，所以向量，共面.因为，有共同的起点P，且A，B，C三点不共线，所以P，A，B，C共面，即点P在平面ABC内.6(2021全国高二课时练习)如图，在

6、四面体OABC中，E，F，G，H分别是OA，OB，BC，CA的中点求证：四边形EFGH是矩形【答案】证明见解析；【解析】取的中点D，联结OD，CD，由，知，又，故平面，又平面，因此又E，F，G，H分别是OA，OB，BC，CA的中点则，故，四边形EFGH是平行四边形同理，且，又所以，四边形EFGH是矩形【题组三 线性运算】1(2021全国高二课时练习)如图，已知平行六面体，化简下列表达式，并在图中标出化简结果的向量：(1)； (2)；(3)； (4)【答案】(1)，向量如图所示；(2)，向量如图所示；(3)，向量如图所示；(4)，向量如图所示；【解析】(1)，向量如图所示；(2)在平行六面体中，

7、有，故，向量如图所示；(3)由知，取的中点为E，向量如图所示；(4)由(2)知，取的三等分点F点，向量如图所示；2(2021福建)如图，E，F分别是长方体的棱AB，CD的中点、化简下列表达式，并在图中标出化简结果的向量：(1)； (2)；(3)； (4)【答案】(1)；(2)；(3)；(4)【解析】(1)；(2)；(3)；(4).3(2021全国高二课时练习)举出一些表示三个不同在一个平面内的向量的实例【答案】实例见解析；【解析】在三棱锥中，不同在一个平面内；长方体中，从一个顶点A引出的三个向量，不同在一个平面内.4(2021全国高二课时练习)如图所示，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中

8、，E，F，G，H，P，Q分别是A1A，AB，BC，CC1，C1D1，D1A1的中点，则( )ABCD【答案】A【解析】由题图观察，平移后可以首尾相接，故有.故选：A.5(2021静宁县)如图：在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，M为A1C1与B1D1的交点.若，则下列向量中与相等的向量是( )ABCD【答案】A【解析】，故选：A.【题组四 数量积】1(2021海南)已知E，F，G，H分别为空间四边形ABCD各边AB，BC，CD，DA的中点，若对角线BD2，AC4，则EG2HF2的值是( )A5B10C12D不能确定【答案】B【解析】如图所示，由三角形中位线的性质可得,.所以四边形EFGH是

9、平行四边形，因为，所以 .故选：B.2(2021四川眉山市)在底面是正方形的四棱柱中， ，则( )ABCD2【答案】A【解析】因为四棱柱中，底面是正方形，则，所以.故选：A.3(2021四川省内江市第六中学)如图所示，已知空间四边形的每条边和对角线长都等于1，点，分别是，的中点，则_.【答案】【解析】设，则且两两夹角为 所以 ，所以故答案为：4(2021全国高二单元测试)已知球内切于正四面体，且正四面体的棱长为，线段是球的一条动直径(，是直径的两端点)，点是正四面体的表面上的一个动点，则的最大值是_【答案】8【解析】由正四面体棱长为，其内切圆的半径为，由题意，是直径的两端点，可得，则，当点在正

10、四面体顶点时，最大，且最大值为，则的最大值为，故答案为：5(2021北京)若平面向量为单位向量， 空间向量满足，则对任意的实数，的最小值为_【答案】【解析】即，当且仅当取等号即的最小值为故答案为：6(2021河北新乐市第一中学高二开学考试)如图，在平行六面体中，为的中点，则_.【答案】6【解析】设因为所以解得故答案为：67(2021广东珠海市高二期末)如图，在一个直二面角的棱上有两点，分别是这个二面角的两个面内垂直于的线段，且，则_【答案】【解析】由已知，可得，故答案为8(2021东莞市光明中学高二开学考试)如图，甲站在水库底面上的点处，乙站在水坝斜面上的点处，已知库底与水坝所成的二面角为，测

11、得从到库底与水坝的交线的距离分别为米、米，米，则甲乙两人相距_米.【答案】70【解析】由题意，米，米，米，库底与水坝所成的二面角为，米.故答案为：70.9(2021全国高二单元测试)已知P是棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1内(含正方体表面)任意一点，则的最大值为_.【答案】2【解析】由题意画出图形，如图所示，因为，且是向量在上的投影，所以当P在棱C1C上时，投影最大，所以的最大值为.故答案为：210(2021山东威海市高二期末)已知四面体ABCD的每条棱长都等于1，点G是棱CD的中点，则_.【答案】【解析】因为四面体ABCD的每条棱长都等于1，点G是棱CD的中点，所以，且，所以，故答案为：.11(2021全国高二课时练习)如图所示，已知是所在平面外一点，求证：在平面上的射影是的垂心【答案】证明见解析【解析】，平面，由题意可知，平面，同理可证，是的垂心12(2021山西)如图，在平行四边形中，沿着它的对角线将折起，使与成角，求此时，之间的距离【答案】或【解析】因为，所以，因为与成角，所以或因为，所以，所以当时，即；当时，即综上，可知，之间的距离为或13(2021全国高二课时练习)如图，已知四面体ABCD的所有棱长都等于a，E，F，G分别是棱AB，AD，DC的中点求：(1)； (2)； (3)； (4)；(5)； (6)【答案】(1)；(2)；(3)