力学量用算符表达

1、力学量用算符表达第1页，共29页，2022年，5月20日，14点22分，星期一18-10 势垒贯穿（隧道效应）在经典力学中,若 ,粒子的 动能为正,它只能在 I 区中运动。即粒子运动 到势垒左边缘就被反射回去，不能穿过势垒。OIIIIII求一个动量和能量已知的粒 子受到势场的作用后，被散 射到各个方向去的几率。在量子力学中,无论粒子能量是大于还是 小于 都有一定的几率穿过势垒，也有 一定的几率被反射。我们下面只就 时，讨论薛定谔方程的解。第2页，共29页，2022年，5月20日，14点22分，星期一势垒的势场分布写为：在三个区间内波函数应遵从的 薛定谔方程分别为：OIIIIII定态薛定谔方程

2、的解又如何呢？第3页，共29页，2022年，5月20日，14点22分，星期一令：定态解的含时部分：三个区间的薛定谔方程化为：第4页，共29页，2022年，5月20日，14点22分，星期一若考虑粒子是从 I 区入射，在 I 区中有入射波 反射波；粒子从I区经过II区穿过势垒到III 区， 在III区只有透射波。粒子在处的几率要大 于在处出现的几率。其解为：根据边界条件：时、空异号 为右行波第5页，共29页，2022年，5月20日，14点22分，星期一求出解的形式画于图中。定义粒子穿过势垒的贯穿系数：IIIIII隧道效应当 时，势垒的宽度约50nm 以上时， 贯穿系数会小六个数量级以上。隧道效应在

3、 实际上已经没有意义了。量子概念过渡到经典了。第6页，共29页，2022年，5月20日，14点22分，星期一 隧道效应和扫描隧道显微镜STM由于电子的隧道效应，金属中的电子并不完全局限于 表面边界之内，电子密度并不在表面边界处突变为零， 而是在表面以外呈指数形式衰减，衰减长度约为1nm。只要将原子线度的极细探针 以及被研究物质的表面作为 两个电极，当样品与针尖的 距离非常接近时，它们的表 面电子云就可能重叠。若在样品与针尖 之间加一微小电 压Ub电子就会穿 过电极间的势垒 形成隧道电流。隧道电流对针尖与样品间的距离十分敏感。 若控制隧道电流不变，则探针在垂直于样品 方向上的高度变化就能反映样品

4、表面的起伏。Scanning tunneling microscopy第7页，共29页，2022年，5月20日，14点22分，星期一因为隧道电流对针尖与样品间的距离十分敏感。 若控制针尖高度不变，通过隧道电流的变化可 得到表面电子态密度的分布；使人类第一次能够实时地观 测到单个原子在物质表面上 的排列状态以及与表面电子 行为有关的性质。在表面科 学、材料科学和生命科学等 领域中有着重大的意义和广 阔的应用前景。空气隙STM工作示意图样品探针利用STM可以分辨表面上 原子的台阶、平台和原子 阵列。可以直接绘出表面 的三维图象第8页，共29页，2022年，5月20日，14点22分，星期一利用光学中

5、的受抑全反射理论，研制 成功光子扫描隧道显微镜（PSTM)。 1989年提出成象技术。 它可用于不导电样品的观察。STM样品必须具有一定程度的导电性； 在恒流工作模式下有时对表面某些沟 槽不能准确探测。任何一种技术都有 其局限性。见FPCAI、ZLCAI、CAIUPS软件。 量子围栏和分子人。第9页，共29页，2022年，5月20日，14点22分，星期一例题：线性谐振子的定态薛定谔方程及解若选取线性谐振子平衡位置为坐标原点，并选取 其为势能的零点，则线性谐振子的势能表示为：m是粒子的质量，K是 谐振子的弹性系数。对经典谐振子 它是角频率。线性谐振子的定态薛定谔方程为：它是变系数二阶常微分方程，

6、可解。第10页，共29页，2022年，5月20日，14点22分，星期一引进无量纲参量 和方程化为：* 波函数在 时的渐近行为：方程化为：其渐近解为：因为谐振子是处于束缚态应舍弃 解。 所以有当 时第11页，共29页，2022年，5月20日，14点22分，星期一根据渐近行为方程解可写为：上述厄米微分方程的解是个无穷级数。为了 保证束缚态边界条件的成立，必须使这个级 数只包含有限项，其条件是：代入原方程应满足：第12页，共29页，2022年，5月20日，14点22分，星期一* 得出满足束缚边界条件的级数解是：称为厄米多项式。它的前几个为：普遍表达式：第13页，共29页，2022年，5月20日，14

7、点22分，星期一* 能量本征值和零点能因为：所以线性谐振子的能级只能取分立值，能级间隔相等。线性谐振子基态能：第14页，共29页，2022年，5月20日，14点22分，星期一有关光被晶体散射的实验， 证明在趋于绝对零度时，散 射光的强度趋于一确定值。 说明原子有零点振动存在。常压下，温度趋于零度附近，液态氦也不会 变成固体，具有显著的零点能效应。实验事实：* 能量本征函数和宇称线性谐振子的定态波函数第15页，共29页，2022年，5月20日，14点22分，星期一线性谐振子波函数线性谐振子位置几率密度第16页，共29页，2022年，5月20日，14点22分，星期一线性谐振子 n=11 时的几率密

8、度分布在原点速度最大，停留时间短，粒子出现的 几率小；在两端速度为零，出现的几率最大。 虚线是经典结果。第17页，共29页，2022年，5月20日，14点22分，星期一可见当n为偶数时，称线性谐振子处于偶宇称。可见当n为奇数时，称线性谐振子处于奇宇称。随量子数n增大，量子谐振子的几率密度迅速 震荡，其平均值与经典结果趋于符合。相似性 逐渐增大。在原点速度最大，停留时间短，粒 子出现的几率小；在两端速度为零，出现的几 率最大。第18页，共29页，2022年，5月20日，14点22分，星期一波函数的模方 代表粒子在 t 时刻 r 处的 几率密度。波函数是几率波，满足波的叠加。18-11 量子力学的

9、基本假设量子体系的状态由波函数完全描述。可观测的力学量对应一个线性厄米算符。力学量算符的本征值方程 中的本征值 对应该力学量的一切可 测量值。 第19页，共29页，2022年，5月20日，14点22分，星期一其展开系数的模方 就是在该态 中测量 到与算符 相应的本征态 其本征值的几率。力学量算符的本征函数 构成完备正交系力学量的平均值：任何态函数 均可以用力学量算符的本征 函数系，或一组力学量完全集的共同本征 函数系来展开。例如：第20页，共29页，2022年，5月20日，14点22分，星期一函数随时间的演化服从薛定谔波动方程对于全同粒子系的状态，粒子的交换不改变 系统的状态全同性原理。其中

10、是系统的哈密顿算符第21页，共29页，2022年，5月20日，14点22分，星期一除了位置和动量以外，其中一类以坐标为函数 的力学量，其量子力学所对应的算符形式不变。 如势能 和作用力 。 力学量用算符表达经验告诉我们，与经典力学量对应的量子力学 中的算符形式：另一类经典力学量是与动量有关，其量子力学 所对应的算符可用动量的对应关系得出，例如 动能算符的表达式：第22页，共29页，2022年，5月20日，14点22分，星期一角动量算符的表达式：第23页，共29页，2022年，5月20日，14点22分，星期一角动量算符的模方定义为：球坐标第24页，共29页，2022年，5月20日，14点22分，

11、星期一 本征值和本征函数是力学量A 取确定值 时的本征态称上式为算符 的本征值方程。 是力学量A的一个本征值。由本征值方程解出的全部本征值 就是相应力学量的可能取值。当力学量算符 作用在波函数 上，其结果是 同一个函数乘以一个常量时： 第25页，共29页，2022年，5月20日，14点22分，星期一则称本征值 是 重简并的。称 为简并度简并态的选择不是唯一的。如果属于本征值 的本征态不是一个，而是 个，即力学量A的本征方程为：矩阵代数中的厄米矩阵 矩阵代数中的本征矢 矩阵代数中的本征值 物理量算符微观粒子的定态与定态对应的 物理量的确定值第26页，共29页，2022年，5月20日，14点22分

12、，星期一举例：动量算符的本征值方程是式中 是动量算符的本征值，在直角坐标系下 为 均为实数。动量本征值方程的解：它就是 的单色平面波，在量子力 学中，平面波代表粒子有确定的动量、在 空间各处出现的几率相同的状态。第27页，共29页，2022年，5月20日，14点22分，星期一力学量算符必须是线性厄米算符。* 厄米算符的本征值必为实数。* 厄米算符的平均值必为实数。* 当出现简并时，可以证明：总可以适当 地线性组合简并态，使之彼此正交。线性厄米算符的性质：* 厄米算符的属于不同本征值的本征函数 彼此正交。厄米算符第28页，共29页，2022年，5月20日，14点22分，星期一力学量的完全集、本征函数的完全性通常一个力学量 的本征值是简并的,这时必