小学四年级数学下重难点

1、第一单元乘法1、三位数乘两位数，所得的积不是四位数就是五位数。2、三位数乘两位数的计算法则：先用两位数的个位上的数与三位数的每一位相乘，乘得的积和个位对齐，再用两位数十位上的数与三位数的每一位相乘，所得的积和十位对齐，最后把两次乘得的积相加。3、末尾有0的乘法计算方法：现把两个乘数不是零的部分相乘，再看两个乘数末尾一共有几个零，就在积的末尾加几个零。第二单元升和毫升1、1升（L）=1000毫升（ml 、mL）2、从里面量长、宽、高都是1分米的正方体容器正好是1升。1升水重1千克。生活中一杯水大约250毫升；一个高压锅大约盛水6升；一个家用水池大约盛水30升，一个脸盆大约盛水10升；一个浴缸大约

2、盛水400升；一个热水瓶的容量大约是2升，一个金鱼缸大约有水30升，一瓶饮料大约是400毫升，一锅水有5升，一汤勺水有10毫升。3、一个健康的成年人血液总量约为4000-5000毫升。义务献血者每次献血量一般为200毫升。4、1毫升大约等于20滴水。第三单元三角形1、围成三角形的条件：较短两条边长度的和一定大于第三条边。2、从三角形的一个顶点到对边的垂直线段是三角形的高，这条对边是三角形的底。3、三角形具有稳定性（也就是当一个三角形的三条边的长度确定后，这个三角形的形状和大小都不会改变），生活中很多物体利用了这样的特性。如：人字梁、斜拉桥、自行车车架。4、三个角都是锐角的三角形是锐角三角形。（

3、两个内角的和大于第三个内角。）5、有一个角是直角的三角形是直角三角形。（两个内角的和等于第三个内角。两个锐角的和是90度。两条直角边互为底和高。）6、有一个角是钝角的三角形是钝角三角形。（两个内角的和小于第三个内角。）7、任意一个三角形至少有两个锐角，都有三条高，三角形的内角和都是180度。（锐角三角形的三条高都在三角形内；直角三角形有两条高落在两条直角边上；钝角三角形有两条高在三角形外）。8、把一个三角形分成两个直角三角形就是画它的高。9、两条边相等的三角形是等腰三角形，相等的两条边叫做腰，另外一条边叫做底，两条腰的夹角叫做顶角，底和腰的两个夹角叫做底角，它的两个底角也相等，是轴对称图形，有

4、一条对称轴（跟底边高正好重合。）三条边都相等的三角形是等边三角形，三条边都相等，三个角也都相等（每个角都是60，所有等边三角形的三个角都是60。）10、有一个角是直角的等腰三角形叫做等腰直角三角形，它的底角等于45，顶角等于90。10、求三角形的一个角=180另外两角的和11、等腰三角形的顶角=180底角2=180底角底角12、等腰三角形的底角=（180顶角）213、一个三角形最大的角是60度，这个三角形一定是等边三角形。14、多边形的内角和=180（n2）n为边数第四单元混合运算1、混合运算中：先乘除后加减，既有小括号，又有中括号，要先算小括号里面的，再算中括号里的。第五单元平行四边形和梯形

5、1、两组对边互相平行的四边形叫平行四边形，它的对边平行且相等，对角相等。从一个顶点向对边可以作两种不同的高。底和高一定要对应。一个平行四边形有无数条高。2、用两块完全一样的三角尺可以拼成一个平行四边形。3、平行四边形容易变形（不稳定性）。生活中许多物体都利用了这样的特性。如：（电动伸缩门、铁拉门、伸降机）把平行四边形拉成一个长方形，周长不变，面积变了。平行四边形不是轴对称图形。4、只有一组对边平行的四边形叫梯形。平行的一组对边较短的叫做梯形的上底，较长的叫做梯形的下底，不平行的一组对边叫做梯形的腰，两条平行线之间的距离叫做梯形的高（无数条）。5、两条腰相等的梯形叫等腰梯形，它的两个底角相等，是

6、轴对称图形，有一条对称轴。直角梯形有且只有两个直角。6、两个完全一样的梯形可以拼成一个平行四边形。7、正方形、长方形属于特殊的平行四边形。第六单元找规律1、搭配型规律：两种事物的个数相乘。（如帽子和衣服的搭配）2、排列：（1）爸爸、妈妈、我排列照相，有几种排法：23。 （2）5个球队踢球，每两队踢一场，要踢多少场：4+3+2+1第七单元运算律1、乘法交换律：ab=ba2、乘法结合律：(ab)c=a(bc)3、乘法分配律：(a+b)c=ac+bc（合起来乘等于分别乘）4、衍生：(a-b)c=ac-bc5、简便运算典型例题：10235=（100+2）35 36101-3636（101-1）3598

7、=35（100-2）=35100-352第八单元对称、平移和旋转1、画图形的另一半：（1）找对称轴（2）找对应点（3）连成图形。2、正三边形（等边三角形）有3条对称轴，正四边形（正方形）有4条对称轴，正五边形有5条对称轴，正n变形有n条对称轴。3、图形的平移，先画平移方向，再把关键的点平移到指定的地方，最后连接成图。（本学期学习两次平移，如从左上平移到右下，先向右平移，再向下平移。）4、图形的旋转，先找点，再把关键的边旋转到指定的地方，（注意方向和角度）再连线。（不管是平移还是旋转，基本图形不能改变。）第九单元倍数和因数1、43=12，或123=4。那么12是3和4的倍数，3和4是12的因数。

8、（倍数和因数是相互存在的，不可以说12是倍数，或者说3是因数。只能说谁是谁的倍数，谁是谁的因数。）2、一个数最小的因数是1，最大的因数是它本身，一个数因数的个数是有限的。如18的因数有：1、2、3、6、9、18。3、一个数最小的倍数是它本身，没有最大的倍数。一个数倍数的个数是无限的。如：18的倍数有：18、36、54、72、90（省略号非常重要）4、一个数最大的因数等于这个数最小的倍数（都是它本身）。5、是2的倍数的数叫做偶数。（个位是0、2、4、6、8的数）6、不是2的倍数的数叫做奇数。（个位是1、3、5、7、9的数）7、个位上是2、4、6、8、0的数是2的倍数，个位上是0或5的数是5的倍数

9、。8、既是2的倍数又是5的倍数个位上一定是0。（如：10、20、30、40）9、一个数各位上数字的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。（如：453各位上数字的和是4+3+5=12，因为12是3的倍数，所以453也是3的倍数。）10、一个数只有1和它本身两个因数的数叫素数。（或质数）如：2、3、5、7、11、13、17、19 2是素数中唯一的偶数。（所以“所有的素数都是奇数”这一说法是错误的。）11、一个数除了1和它本身两个因数外，还有其它因数的数叫合数。如：4、6、8、9、1012、1既不是素数也不是合数，因为1的因数只有1个：113、哥德巴赫猜想：任何大于2的偶数都是两个素数之和。20=3+1

10、7、40=11+2、8=35、10=37、12=57、14=311=77、30=237=131714、100以内的素数表：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97。15、三个连续自然数（3、4、5），三个连续奇数（3、5、7），三个连续偶数（4、6、8）的和都是3的倍数。第十单元用计算器探索规律1、积的变化规律：一个因数缩小几倍，另一个因数扩大相同的倍数，积不变。一个因数缩小(或扩大几倍)，另一个因数不变，积也随着缩小(或扩大)几倍。2、商的变化规律：被除数和除数同时扩大(或缩小)相同的倍数，（

11、0除外），商不变。（余数会变）被除数扩大（或缩小）几倍，除数不变，商也随之扩大（或缩小）几倍。被除数不变，除数缩小几倍（0除外），商反而扩大几倍。第十二单元统计1、折线统计图不仅能够看出数量的多少，而且能够更清楚地看出数量的增减变化情况。折线统计图的制作步骤：定点 写数据 连线 写日期 第十三单元用字母表示数1、用字母表示数的基本规律：如果正方形的边长用a表示，周长用C表示，面积用S表示。那么：正方形的周长：C=a4 正方形的面积：S=aa。a4或4a通常可以写成4a或4a；aa可以写成aa，也可以写成a2，读作“a的平方”。如果是a与1相乘，就可以直接写成a。附：常用数量关系 正方形的面积=

12、边长边长 （S=aa=a2）正方形的周长=边长4 (C=a4=4a)长方形的面积=长宽 (S=ab=ab)长方形的周长=（长+宽）2 C=(ab)2总价=单价数量 单价=总价数量 数量=总价单价路程=速度时间 速度=路程时间 时间=路程速度工总=工效时间 工效=工总时间 时间=工总时间房间面积=每块地面砖面积块数 块数=房间面积每块面积相遇的路程=（甲速度+乙速度）相遇的时间=甲速度时间+乙速度时间相距的路程=（甲速度乙速度）时间=甲速度时间乙 四 年 级 下 学 期 数 学 复 习 提 纲 领域主要内容重 点难 点相 关 概 念 数与代数 乘法三位数乘两位数的笔算三步计算解决实际问题三位数中

13、间有0的笔算。三位数乘两位数，所得的积不是四位数就是五位数。末尾有0的乘法计算方法：先把两个乘数不是零的部分相乘，再看两个乘数末尾一共有几个零，就在积的末尾加几个零。 混合运算三步计算混合运算的运算顺序，中括号。明确运算顺序，提高计算正确率。先乘除后加减；既有小括号，又有中括号，要先算小括号里面的，再算中括号里的。 运算律应用乘法分配律进行简便运算乘法交换律、结合律、分配律的简便运算。1、乘法交换律：ab=ba2、乘法结合律：(ab)c=a(bc)3、乘法分配律：(a+b)c=ac+bc（合起来乘等于分别乘）4、拓展：(ab)c=acbc5、简便运算典型例题：10235=（100+2）3536

14、101-3636（101-1） 3598=35（100-2）=35100-352 用计算器探索规律积的变化规律商的不变规律，用简便方法计算被除数和除数末尾都有0的除法在计算和解决实际问题中的应用。1、积的变化规律：一个因数缩小(或扩大几倍)，另一个因数不变，积也同时缩小(或扩大)相同的倍数。2、商的变化规律：被除数和除数同时扩大(或缩小)相同的倍数，（0除外），商不变。（余数会变） 倍数因数找10以内某个自然数的所有倍数（100以内）、找100以内某个自然数的所有因数偶数和奇数，素数和合数的特征，2、5和3的倍数的特征在掌握意义的基础上综合进行各类判断，明白每类自然数的特征。 1、43=12，

15、或123=4。那么12是3和4的倍数，3和4是12的因数。（倍数和因数是相互存在的，不可以说12是倍数，或者说3是因数。只能说谁是谁的倍数，谁是谁的因数。）2、一个数最小的因数是1，最大的因数是它本身，一个数因数的个数是有限的。3、一个数最小的倍数是它本身，没有最大的倍数。一个数倍数的个数是无限的。4、一个数最大的因数等于这个数最小的倍数（都是它本身）。5、是2的倍数的数叫做偶数。（个位是0、2、4、6、8的数）6、不是2的倍数的数叫做奇数。（个位是1、3、5、7、9的数）7、个位上是2、4、6、8、0的数是2的倍数，个位上是0或5的数是5的倍数。8、既是2的倍数又是5的倍数个位上一定是0。9

16、、一个数各位上数字的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。（如：453各位上数字的和是4+3+5=12，因为12是3的倍数，所以453也是3的倍数。）10、一个数只有1和它本身两个因数的数叫素数（或质数）。如：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、47 2是素数中唯一的偶数。（所以“所有的素数都是奇数”这句话是错误的。）11、一个数除了1和它本身两个因数外，还有其它因数的数叫合数。12、1既不是素数也不是合数，因为1的因数只有1个：113、100以内的素数表：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、7

17、1、73、79、83、89、97。14、三个连续自然数（3、4、5），三个连续奇数（3、5、7），三个连续偶数（4、6、8）的和都是3的倍数。 找规律进一步认识生活中的简单搭配、简单排列现象的规律。对几种事物进行有序的搭配或排列。运用规律解决一些简单的实际问题。1、搭配型规律：两种事物的个数相乘。（如帽子和衣服的搭配）2、排列：（1）爸爸、妈妈、我排列照相，有几种排法：23。 （2）5个球队踢球，每两队踢一场，要踢多少场：4+3+2+1 用字母表示数用含有字母的式子表示简单的数量、数量关系和公式，求含有字母的式子的值，化简“ax+bx”的式子。在具体的情境中用字母表示数量关系。1、用字母表示数

18、的基本规律：如果正方形的边长用a表示，周长用C表示，面积用S表示。那么：正方形的周长：C=a4 正方形的面积：S=aa。a4或4a通常可以写成4a或4a；aa可以写成aa，也可以写成a2，读作“a的平方”。如果是a与1相乘，就可以直接写成a。2、用字母表示数量关系：小玲到商店买1枝钢笔和4本笔记本，每枝钢笔7元，每本笔记本a元。她一共付出（74a）元。3、用数代替字母求出含有字母的式子的值。4、化简含有字母的式子。 解决问题的策略用画图和列表的策略解决有关面积和行程的实际问题运用画图解决面积的增减问题。正确画示意图合理列表常用的数量关系：正方形的面积=边长边长 （S=aa=a2）正方形的周长=

19、边长4 (C=a4=4a)长方形的面积=长宽 (S=ab=ab)长方形的周长=（长+宽）2 （C=(ab)2）总价=单价数量 单价=总价数量 数量=总价单价路程=速度时间 速度=路程时间 时间=路程速度工总=工效时间 工效=工总时间 时间=工总时间房间面积=每块地面砖面积地砖的块数 地砖的块数=房间面积每块地砖的面积相遇的路程=（甲速度+乙速度）相遇的时间=甲速度时间+乙速度时间相距的路程=（甲速度乙速度）时间=甲速度时间乙速度时间 空间与图形 三角形三角形的分类、内角和、求第三个角的度数，正确测量和画出三角形的高三角形两边之和大于第三边的应用。1、围成三角形的条件：较短两条边长度的和一定大于

20、第三条边。2、从三角形的一个顶点到对边的垂直线段是三角形的高，这条对边是三角形的底。3、三角形的分类：（按边分类三个角都是锐角的三角形是锐角三角形。（两个内角的和大于第三个内角。）有一个角是直角的三角形是直角三角形。（两个内角的和等于第三个内角。两个锐角的和是90度。两条直角边互为底和高。）有一个角是钝角的三角形是钝角三角形。（两个内角的和小于第三个内角。）两条边相等的三角形是等腰三角形，相等的两条边叫做腰，另外一条边叫做底，两条腰的夹角叫做顶角，底和腰的两个夹角叫做底角，它的两个底角也相等，是轴对称图形，有一条对称轴（跟底边高正好重合。）三条边都相等的三角形是等边三角形，三条边都相等，三个角

21、也都相等（每个角都是60，所有等边三角形的三个角都是60。）4、任意一个三角形至少有两个锐角，都有三条高，三角形的内角和都是180度。5、把一个三角形分成两个直角三角形就是画它的高。6、有一个角是直角的等腰三角形叫做等腰直角三角形，它的底角等于45，顶角等于90。7、求三角形的一个角=180另外两角的和8、等腰三角形的顶角=180底角2=180底角底角9、等腰三角形的底角=（180顶角）210、一个三角形最大的角是60度，这个三角形一定是等边三角形。11、多边形的内角和=180（n2）n为边的条数 平行四边形、梯形平行四边形、梯形的特征，正确测量和画出平行四边形、梯形的高。根据平行四边形、梯形

22、的底画高。图形之间的变换。1、两组对边互相平行的四边形叫平行四边形，它的对边平行且相等，对角相等。从一个顶点向对边可以作两种不同的高。底和高一定要对应。一个平行四边形有无数条高。2、用两块完全一样的三角尺可以拼成一个平行四边形。3、平行四边形容易变形（不稳定性）。生活中许多物体都利用了这样的特性。如：（电动伸缩门、铁拉门、伸降机）把平行四边形拉成一个长方形，周长不变，面积变了。平行四边形不是轴对称图形。4、只有一组对边平行的四边形叫梯形。平行的一组对边较短的叫做梯形的上底，较长的叫做梯形的下底，不平行的一组对边叫做梯形的腰，两条平行线之间的距离叫做梯形的高（无数条）。5、两条腰相等的梯形叫等腰梯形，它的两个底角相等，是轴对称图形，有一条对称轴。直角梯形有且只有两个直角。6、两个完全一样的梯形可以拼成一个平行四边形。7