高中数学必修二 第六章 章末复习

1、 知识系统整合 规律方法收藏1本章我们学习的向量具有大小和方向两个要素用有向线段表示向量时，与有向线段的起点位置没有关系，同向且等长的有向线段都表示同一向量数学中的向量指的是自由向量，根据需要可以进行平移2共线向量条件和平面向量基本定理，揭示了共线向量和平面向量的基本结构，它们是进一步研究向量正交分解和用坐标表示向量的基础3向量的数量积是一个数，当两个向量的夹角是锐角或零角时，它们的数量积为正数；当两个向量的夹角为钝角或180角时，它们的数量积为负数；当两个向量的夹角是90时，它们的数量积等于0.零向量与任何向量的数量积等于0.通过向量的数量积，可以计算向量的长度(模)、平面内两点间的距离、两

2、个向量的夹角，判断相应的两条直线是否垂直4平面向量的应用中，用平面向量解决平面几何问题，要注意“三部曲”；用向量解决物理问题，体现了数学建模的要求，要根据题意结合物理意义作出图形，转化为数学问题，再通过向量运算使问题解决5正、余弦定理将三角形边和角的关系进行量化，为我们解三角形或求三角形的面积提供了依据，而三角形中的问题常与向量、函数、方程及平面几何相结合，通常可以利用正、余弦定理完成证明，求值问题(1)解三角形与向量的交汇问题，可以结合向量的平行、垂直、夹角、模等知识转化求解(2)解三角形与其他知识交汇问题，可以运用三角形的基础知识，正、余弦定理、三角形的面积公式与三角恒等变换，通过等价转化

3、构造方程及函数求解6学习本章要注意类比，如向量的运算法则及运算律可与实数相应的运算法则及运算律进行横向类比7向量是数形结合的载体在本章学习中，一方面通过数形结合来研究向量的概念和运算；另一方面，我们又以向量为工具，运用数形结合的思想解决数学问题和物理的相关问题同时，向量的坐标表示为我们用代数方法研究几何问题提供了可能，丰富了我们研究问题的范围和手段 学科思想培优向量的线性运算向量的线性运算包含向量及其坐标运算的加法、减法、数乘，向量的加法遵循三角形法则和平行四边形法则，减法可以转化为加法进行运算，向量的加法满足交换律、结合律，数乘向量满足分配律，向量的线性运算也叫向量的初等运算，它们的运算法则

4、在形式上很像实数加减法与乘法满足的运算法则，但在具体含义上是不同的不过由于它们在形式上相类似，因此，实数运算中的去括号、移项、合并同类项等变形手段在向量的线性运算中都可以使用如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数1，2，使a1e12e2.典例1如图，梯形ABCD中，ABCD，点M，N分别是DA，BC的中点，且eq f(DC,AB)k，设eq o(AD,sup6()e1，eq o(AB,sup6()e2，以e1，e2为基底表示向量eq o(DC,sup6()，eq o(BC,sup6()，eq o(MN,sup6().解eq o(AB,sup

5、6()e2，且eq f(DC,AB)k，eq o(DC,sup6()keq o(AB,sup6()ke2.eq o(AB,sup6()eq o(BC,sup6()eq o(CD,sup6()eq o(DA,sup6()0，eq o(BC,sup6()eq o(AB,sup6()eq o(CD,sup6()eq o(DA,sup6()eq o(AB,sup6()eq o(DC,sup6()eq o(AD,sup6()e1(k1)e2.又eq o(MN,sup6()eq o(NB,sup6()eq o(BA,sup6()eq o(AM,sup6()0，且eq o(NB,sup6()eq f(1,2

6、)eq o(BC,sup6()，eq o(AM,sup6()eq f(1,2)eq o(AD,sup6()，eq o(MN,sup6()eq o(AM,sup6()eq o(BA,sup6()eq o(NB,sup6()eq f(1,2)eq o(AD,sup6()eq o(AB,sup6()eq f(1,2)eq o(BC,sup6()eq f(k1,2)e2.典例2已知线段AB的端点为A(x,5)，B(2，y)，直线AB上的点C(1,1)，且|Aeq o(C,sup6()|2|Beq o(C,sup6()|，求x，y的值解由|Aeq o(C,sup6()|2|Beq o(C,sup6()|

7、，可得Aeq o(C,sup6()2Beq o(C,sup6()，又Aeq o(C,sup6()(1x,15)，2Beq o(C,sup6()2(12,1y)(6,22y)，当Aeq o(C,sup6()2Beq o(C,sup6()时，有eq blcrc (avs4alco1(1x6，,422y，)解得eq blcrc (avs4alco1(x5，,y3.)当Aeq o(C,sup6()2eq o(BC,sup6()时，有eq blcrc (avs4alco1(1x6，,422y，)解得eq blcrc (avs4alco1(x7，,y1.)由可知eq blcrc (avs4alco1(x5

8、，,y3)或eq blcrc (avs4alco1(x7，,y1.)向量的数量积运算向量的数量积运算是本章的核心，由于向量数量积的运算及其性质涵盖向量的长度、角度以及不等式等，因此它的应用也最为广泛利用向量的数量积可以求长度、也可判断直线与直线之间的关系(相交的夹角以及垂直)，还可以通过向量的坐标运算将代数中的有关函数、不等式等知识融合在一起典例3在OAB中，eq o(OA,sup6()a，eq o(OB,sup6()b，OD是AB边上的高，若eq o(AD,sup6()eq o(AB,sup6()，则实数等于()Aeq f(baa,|ab|) Beq f(aba,|ab|2)Ceq f(ba

9、a,|ab|2) Deq f(aba,|ab|)解析eq o(AD,sup6()eq o(AB,sup6()，eq o(OD,sup6()eq o(OA,sup6()(eq o(OB,sup6()eq o(OA,sup6()，eq o(OD,sup6()eq o(OB,sup6()(1)eq o(OA,sup6()b(1)a，又eq o(OD,sup6()是AB边上的高，eq o(OD,sup6()eq o(AB,sup6()0，即eq o(OD,sup6()(eq o(OB,sup6()eq o(OA,sup6()0，(1)ab(ba)0.整理可得(ab)2(ab)a，即eq f(aba,|

10、ab|2).答案B典例4平面内有向量eq o(OA,sup6()(1,7)，eq o(OB,sup6()(5,1)，eq o(OP,sup6()(2,1)，点M为直线OP上的一动点(1)当eq o(MA,sup6()eq o(MB,sup6()取最小值时，求eq o(OM,sup6()的坐标；(2)在(1)的条件下，求cosAMB的值解(1)设eq o(OM,sup6()(x，y)，点M在直线OP上，向量eq o(OM,sup6()与eq o(OP,sup6()共线，又eq o(OP,sup6()(2,1)x1y20，即x2y.eq o(OM,sup6()(2y，y)又eq o(MA,sup6

11、()eq o(OA,sup6()eq o(OM,sup6()，eq o(OA,sup6()(1,7)，eq o(MA,sup6()(12y,7y)同理eq o(MB,sup6()eq o(OB,sup6()eq o(OM,sup6()(52y,1y)于是eq o(MA,sup6()eq o(MB,sup6()(12y)(52y)(7y)(1y)5y220y12.可知当yeq f(20,25)2时，eq o(MA,sup6()eq o(MB,sup6()有最小值8，此时eq o(OM,sup6()(4,2)(2)当eq o(OM,sup6()(4,2)，即y2时，有eq o(MA,sup6()(

12、3,5)，eq o(MB,sup6()(1，1)，|eq o(MA,sup6()|eq r(34)，|eq o(MB,sup6()|eq r(2)，eq o(MA,sup6()eq o(MB,sup6()(3)15(1)8.cosAMBeq f(o(MA,sup6()o(MB,sup6(),|o(MA,sup6()|o(MB,sup6()|)eq f(8,r(34)r(2)eq f(4r(17),17).向量的应用向量的应用是多方面的，但由于我们所学的知识范围较窄，因此我们目前的应用主要限于平面几何以及用来探讨函数、三角函数的性质等方面，当然还有在物理方面的应用典例5在ABC中，eq o(AB

13、,sup6()eq o(AC,sup6()0，|eq o(AB,sup6()|12，|eq o(BC,sup6()|15，l为线段BC的垂直平分线，l与BC交于点D，E为l上异于D的任意一点(1)求eq o(AD,sup6()eq o(CB,sup6()的值；(2)判断eq o(AE,sup6()eq o(CB,sup6()的值是否为一个常数，并说明理由解(1)eq o(AB,sup6()eq o(AC,sup6()0，ABAC又|eq o(AB,sup6()|12，|eq o(BC,sup6()|15，|eq o(AC,sup6()|9.由已知可得eq o(AD,sup6()eq f(1,2

14、)(eq o(AB,sup6()eq o(AC,sup6()，eq o(CB,sup6()eq o(AB,sup6()eq o(AC,sup6()，eq o(AD,sup6()eq o(CB,sup6()eq f(1,2)(eq o(AB,sup6()eq o(AC,sup6()(eq o(AB,sup6()eq o(AC,sup6()eq f(1,2)(eq o(AB,sup6()2eq o(AC,sup6()2)eq f(1,2)(14481)eq f(63,2).(2)eq o(AE,sup6()eq o(CB,sup6()的值为一个常数理由：l为线段BC的垂直平分线，l与BC交于点D，

15、E为l上异于D的任意一点，eq o(DE,sup6()eq o(CB,sup6()0.故eq o(AE,sup6()eq o(CB,sup6()(eq o(AD,sup6()eq o(DE,sup6()eq o(CB,sup6()eq o(AD,sup6()eq o(CB,sup6()eq o(DE,sup6()eq o(CB,sup6()eq o(AD,sup6()eq o(CB,sup6()eq f(63,2).典例6平面向量a(eq r(3)，1)，beq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)，f(r(3),2)，若存在不同时为0的实数k和t，使xa(t23)b，ykatb，

16、且xy，试求函数关系式kf(t)解由a(eq r(3)，1)，beq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)，f(r(3),2)得ab0，|a|2，|b|1，由xy，得xya(t23)b(katb)0，即ka2tabk(t23)abt(t23)b20，4kt33t0，keq f(1,4)(t33t)，即kf(t)eq f(1,4)(t33t)典例7已知ABC中，A(2,4)，B(1，2)，C(4,3)，BC边上的高为AD(1)求证：ABAC；(2)求点D和向量eq o(AD,sup6()的坐标；(3)设ABC，求cos；(4)求证：AD2BDCD解(1)证明：eq o(AB,sup6

17、()(1，2)(2,4)(3，6)，eq o(AC,sup6()(4,3)(2,4)(2，1)eq o(AB,sup6()eq o(AC,sup6()32(6)(1)0，ABAC(2)设D点坐标为(x，y)，则eq o(AD,sup6()(x2，y4)，eq o(BC,sup6()(5,5)ADBC，eq o(AD,sup6()eq o(BC,sup6()5(x2)5(y4)0.又eq o(BD,sup6()(x1，y2)，而eq o(BD,sup6()与eq o(BC,sup6()共线，5(x1)5(y2)0，联立解得xeq f(7,2)，yeq f(5,2).故D点坐标为eq blc(rc

18、)(avs4alco1(f(7,2)，f(5,2).eq o(AD,sup6()eq blc(rc)(avs4alco1(f(7,2)2，f(5,2)4)eq blc(rc)(avs4alco1(f(3,2)，f(3,2).(3)coseq f(o(BA,sup6()o(BC,sup6(),|o(BA,sup6()|o(BC,sup6()|)eq f(3565,r(3262)r(5252)eq f(3r(10),10).(4)证明：eq o(AD,sup6()eq blc(rc)(avs4alco1(f(3,2)，f(3,2)，eq o(BD,sup6()eq blc(rc)(avs4alco

19、1(f(9,2)，f(9,2)，eq o(DC,sup6()eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)，f(1,2)，|eq o(AD,sup6()|2eq f(9,2)，|eq o(BD,sup6()|eq r(blc(rc)(avs4alco1(f(9,2)2blc(rc)(avs4alco1(f(9,2)2)eq f(9r(2),2)，|eq o(DC,sup6()|eq r(blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)2blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)2)eq f(r(2),2).|eq o(AD,sup6()|2|eq o(BD,sup6()|eq o

20、(DC,sup6()|，即AD2BDCD典例8在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知向量m(ac，b)与向量n(ac，ba)互相垂直(1)求角C；(2)求sinAsinB的取值范围解(1)由已知可得，(ac)(ac)b(ba)0a2b2c2ab，cosCeq f(a2b2c2,2ab)eq f(1,2)，所以Ceq f(,3).(2)由Ceq f(,3)，得ABeq f(2,3)，sinAsinBsinAsineq blc(rc)(avs4alco1(f(2,3)A)sinAsineq f(2,3)cosAcoseq f(2,3)sinAeq f(3,2)sinAeq f(r(3

21、),2)cosAeq r(3)eq blc(rc)(avs4alco1(f(r(3),2)sinAf(1,2)cosA)eq r(3)sineq blc(rc)(avs4alco1(Af(,6)，由0Aeq f(2,3)，eq f(,6)Aeq f(,6)eq f(5,6)eq f(1,2)sineq blc(rc)(avs4alco1(Af(,6)1.所以sinAsinB的取值范围是eq blc(rc(avs4alco1(f(r(3),2)，r(3).数形结合思想向量本身既有大小，又有方向，可以用几何法表示，而向量又有良好的运算性质坐标运算，可把向量与数联系起来，这样向量具备了“数”与“形”

22、的两方面特征两条直线平行、垂直，三点共线等几何问题，可通过向量的坐标运算这种代数手段实现证明，还可利用向量的数量积处理线段的长度、角度等问题典例9已知向量a与b不共线，且|a|b|0，则下列结论正确的是()A向量ab与ab垂直B向量ab与a垂直C向量ab与a垂直D向量ab与ab共线解析如图所示，作eq o(OA,sup6()a，eq o(OC,sup6()b，以OA和OC为邻边作OABC由于|a|b|0，则四边形OABC是菱形所以必有ACOB又因为abeq o(OB,sup6()，abeq o(CA,sup6()，所以(ab)(ab)答案A典例10已知向量eq o(OB,sup6()(2,0)

23、，向量eq o(OC,sup6()(2,2)，向量eq o(CA,sup6()(eq r(2)cos，eq r(2)sin)，则向量eq o(OA,sup6()与向量eq o(OB,sup6()的夹角的取值范围为()Aeq blcrc(avs4alco1(0，f(,4) Beq blcrc(avs4alco1(f(,4)，f(5,12)Ceq blcrc(avs4alco1(f(5,12)，f(,2) Deq blcrc(avs4alco1(f(,12)，f(5,12)解析如图，向量eq o(CA,sup6()的终点A在以点C(2,2)为圆心、半径为eq r(2)的圆上，OA1，OA2是圆的两条切线，切点分别为A1，A2.在RtOCA1