高中数学必修二 第六章 6.4 6.4.1

1、6.4.1平面几何中的向量方法知识点一向量在几何中的应用(1)平面几何图形的许多性质，如全等、相似、长度、夹角等都可以由eq o(,sup4(01)向量的线性运算及数量积表示出来(2)用向量方法解决平面几何问题的“三部曲”建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将eq o(,sup4(02)平面几何问题转化为向量问题；通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题；把运算结果“翻译”成几何关系知识点二向量在平面几何中常见的应用(1)证明线段平行或点共线问题，以及相似问题，常用平行向量基本定理：eq o(,sup4(01)abab(R，b0)x1y2x2y10(a(x

2、1，y1)，b(x2，y2)(2)证明线段垂直问题，如证明四边形是矩形、正方形，判断两直线(或线段)是否垂直等，常用向量垂直的条件：eq o(,sup4(02)abab0 x1x2y1y20(a(x1，y1)，b(x2，y2)(3)求角问题，利用公式：cosa，beq o(,sup4(03)eq f(ab,|a|b|)eq f(x1x2y1y2,r(xoal(2,1)yoal(2,1) r(xoal(2,2)yoal(2,2)(a(x1，y1)，b(x2，y2)(4)求线段的长度或说明线段相等，常用公式：|a|eq o(,sup4(04)eq r(a2)eq r(x2y2)(a(x，y)或AB

3、eq o(,sup4(05)|eq o(AB,sup6()|eq r(x1x22y1y22)(A(x1，y1)，B(x2，y2)向量在几何中的应用(1)利用向量方法可以解决平面几何中的平行、垂直、夹角、距离等问题利用向量解决平面几何问题时，有两种思路：一种思路是选择一个基底(而选择的基底的长度和夹角应该是已知的，这样方便计算)，利用基向量表示涉及的向量；一种思路是建立坐标系，求出题目中涉及到的向量的坐标这两种思路都是通过向量的计算获得几何命题的证明(2)向量解决几何问题就是把点、线、面等几何要素直接归纳为向量，对这些向量借助于它们之间的运算进行讨论，然后把这些计算的结果翻译成关于点、线、面的相

4、应结果，可以简单表述为“形到向量向量的运算向量和数到形”1判一判(正确的打“”，错误的打“”)(1)若ABC是直角三角形，则有eq o(AB,sup6()eq o(BC,sup6()0.()(2)若eq o(AB,sup6()eq o(CD,sup6()，则直线AB与CD平行()(3)向量eq o(AB,sup6()，eq o(CD,sup6()的夹角就是直线AB，CD的夹角()答案(1)(2)(3)2做一做(1)在四边形ABCD中，eq o(AB,sup6()eq o(BC,sup6()0，eq o(BC,sup6()eq o(AD,sup6()，则四边形ABCD是()A直角梯形 B菱形C矩

5、形 D正方形(2)设O是ABC内部一点，且eq o(OA,sup6()eq o(OC,sup6()2eq o(OB,sup6()，则AOB与AOC的面积之比为_答案(1)C(2)12题型一 向量在平面几何证明问题中的应用例1在直角梯形ABCD中，ABCD，CDADAB90，CDDAeq f(1,2)AB，求证：ACBC证明证法一：CDADAB90，ABCD，CDDAeq f(1,2)AB，故可设eq o(AD,sup6()e1，eq o(DC,sup6()e2，|e1|e2|，则eq o(AB,sup6()2e2.eq o(AC,sup6()eq o(AD,sup6()eq o(DC,sup6

6、()e1e2，eq o(BC,sup6()eq o(AC,sup6()eq o(AB,sup6()(e1e2)2e2e1e2.而eq o(AC,sup6()eq o(BC,sup6()(e1e2)(e1e2)eeq oal(2,1)eeq oal(2,2)|e1|2|e2|20，eq o(AC,sup6()eq o(BC,sup6()，即ACBC证法二：如图，建立直角坐标系，设CD1，则A(0,0)，B(2,0)，C(1,1)，D(0,1)eq o(BC,sup6()(1,1)，eq o(AC,sup6()(1,1)eq o(BC,sup6()eq o(AC,sup6()(1,1)(1,1)1

7、10.ACBC用向量证明平面几何问题的两种基本思路(1)向量的线性运算法的四个步骤选取基底；用基底表示相关向量；利用向量的线性运算或数量积找相应关系；把几何问题向量化(2)向量的坐标运算法的四个步骤建立适当的平面直角坐标系；把相关向量坐标化；用向量的坐标运算找相应关系；把几何问题向量化已知在平行四边形ABCD中，E，F是对角线AC上的两点，且AEFCeq f(1,4)AC，试用向量方法证明四边形DEBF也是平行四边形证明设eq o(AD,sup6()a，eq o(AB,sup6()b，则eq o(DE,sup6()eq o(AE,sup6()eq o(AD,sup6()eq f(1,4)eq

8、o(AC,sup6()aeq f(1,4)(ab)aeq f(1,4)beq f(3,4)a，eq o(FB,sup6()eq o(AB,sup6()eq o(AF,sup6()beq f(3,4)eq o(AC,sup6()eq f(1,4)beq f(3,4)a，所以eq o(DE,sup6()eq o(FB,sup6()，且D，E，F，B四点不共线，所以四边形DEBF是平行四边形 题型二 向量在平面几何计算问题中的应用例2已知在RtABC中，C90，设ACm，BCn.(1)若D为斜边AB的中点，求证：CDeq f(1,2)AB；(2)若E为CD的中点，连接AE并延长交BC于点F，求AF的

9、长度(用m，n表示) 解(1)证明：以C为坐标原点，以边CB，CA所在的直线分别为x轴，y轴建立平面直角坐标系，如图所示，A(0，m)，B(n,0)D为AB的中点，Deq blc(rc)(avs4alco1(f(n,2)，f(m,2).|eq o(CD,sup6()|eq f(1,2) eq r(n2m2)，|eq o(AB,sup6()|eq r(m2n2)，|eq o(CD,sup6()|eq f(1,2)|eq o(AB,sup6()|，即CDeq f(1,2)AB(2)E为CD的中点，Eeq blc(rc)(avs4alco1(f(n,4)，f(m,4)，设F(x,0)，则eq o(A

10、E,sup6()eq blc(rc)(avs4alco1(f(n,4)，f(3,4)m)，eq o(AF,sup6()(x，m)A，E，F三点共线，eq o(AF,sup6()eq o(AE,sup6()，即(x，m)eq blc(rc)(avs4alco1(f(n,4)，f(3,4)m).则eq blcrc (avs4alco1(xf(n,4)，,mf(3,4)m，)故eq f(4,3)，xeq f(n,3)，Feq blc(rc)(avs4alco1(f(n,3)，0)，|eq o(AF,sup6()|eq f(1,3) eq r(n29m2)，即AFeq f(1,3) eq r(n29m

11、2).用向量法求平面几何中的长度问题，即向量的模的求解，一是利用图形特点选择基底，向向量的数量积转化，利用公式|a|2a2求解；二是建立平面直角坐标系，确定相应向量的坐标，代入公式求解，即若a(x，y)，则|a|eq r(x2y2).如图，平行四边形ABCD中，已知AD1，AB2，对角线BD2，求对角线AC的长解设eq o(AD,sup6()a，eq o(AB,sup6()b，则eq o(BD,sup6()ab，eq o(AC,sup6()ab，而|eq o(BD,sup6()|ab|eq r(a22abb2)eq r(142ab)eq r(52ab)2，52ab4，abeq f(1,2).又

12、|eq o(AC,sup6()|2|ab|2a22abb2142ab6，|eq o(AC,sup6()|eq r(6)，即ACeq r(6).1已知|a|2eq r(3)，|b|2，向量a，b的夹角为30，则以向量a，b为邻边的平行四边形的一条对角线的长度为()A10 Beq r(10) C2 D22答案C解析以向量a，b为邻边的平行四边形的对角线为ab与ab.|ab| eq r(ab2) eq r(a22abb2) eq r(1222r(3)2f(r(3),2)4)eq r(28)2eq r(7)，|ab|eq r(ab2)eq r(a22abb2) eq r(1222r(3)2f(r(3)

13、,2)4)2.2已知A，B，C，D四点的坐标分别是(1,0)，(4,3)，(2,4)，(0,2)，则此四边形为()A梯形 B菱形C矩形 D正方形答案A解析由题意得eq o(AB,sup6()(3,3)，eq o(DC,sup6()(2,2)，eq o(AB,sup6()eq o(DC,sup6()，|eq o(AB,sup6()|eq o(DC,sup6()|.故选A3平面上有三个点A(2，y)，Beq blc(rc)(avs4alco1(0，f(y,2)，C(x，y)(x0)，若eq o(AB,sup6()eq o(BC,sup6()，则满足条件的x，y的关系式是_答案y28x(x0)解析e

14、q o(AB,sup6()eq blc(rc)(avs4alco1(2，f(y,2)y)eq blc(rc)(avs4alco1(2，f(y,2)，eq o(BC,sup6()eq blc(rc)(avs4alco1(x，yf(y,2)eq blc(rc)(avs4alco1(x，f(y,2)，eq o(AB,sup6()eq o(BC,sup6()2xeq f(y2,4)0，y28x(x0)4在矩形ABCD中，边AB，AD的长分别为2,1.若M，N分别是边BC，CD上的点，且满足eq f(|o(BM,sup6()|,|o(BC,sup6()|)eq f(|o(CN,sup6()|,|o(CD

15、,sup6()|)，则eq o(AM,sup6()eq o(AN,sup6()的取值范围是_答案1,4解析解法一：设eq f(|o(BM,sup6()|,|o(BC,sup6()|)eq f(|o(CN,sup6()|,|o(CD,sup6()|)(01)，则eq o(BM,sup6()eq o(BC,sup6()eq o(AD,sup6()，eq o(DN,sup6()(1)eq o(DC,sup6()(1)eq o(AB,sup6()，则eq o(AM,sup6()eq o(AN,sup6()(eq o(AB,sup6()eq o(BM,sup6()(eq o(AD,sup6()eq o(

16、DN,sup6()(eq o(AB,sup6()eq o(AD,sup6()eq o(AD,sup6()(1)eq o(AB,sup6()eq o(AB,sup6()eq o(AD,sup6()(1)eq o(AB,sup6()2eq o(AD,sup6()2(1)eq o(AB,sup6()eq o(AD,sup6().eq o(AB,sup6()eq o(AD,sup6()0，eq o(AM,sup6()eq o(AN,sup6()43.01，1eq o(AM,sup6()eq o(AN,sup6()4，即eq o(AM,sup6()eq o(AN,sup6()的取值范围是1,4解法二：如

17、图所示，以点A为坐标原点，以边AB所在直线为x轴，边AD所在直线为y轴，建立平面直角坐标系因为AB2，AD1，所以A(0,0)，B(2，0)，D(0,1)，C(2，1)设eq f(|o(BM,sup6()|,|o(BC,sup6()|)eq f(|o(CN,sup6()|,|o(CD,sup6()|)t0,1，则|eq o(BM,sup6()|t，|eq o(CN,sup6()|2t.则M(2，t)，N(22t,1)，故eq o(AM,sup6()eq o(AN,sup6()44tt43t，又t0,1，所以(eq o(AM,sup6()eq o(AN,sup6()max4304，(eq o(A

18、M,sup6()eq o(AN,sup6()min4311.故eq o(AM,sup6()eq o(AN,sup6()的取值范围是1,45如图，在OACB中，BDeq f(1,3)BC，OD与BA相交于点E.求证：BEeq f(1,4)BA证明O，E，D三点共线，向量eq o(OE,sup6()与向量eq o(OD,sup6()共线则存在实数1，使得eq o(OE,sup6()1eq o(OD,sup6().而eq o(OD,sup6()eq o(OB,sup6()eq o(BD,sup6()eq o(OB,sup6()eq f(1,3)eq o(OA,sup6()，则eq o(OE,sup6()1eq o(OB,sup6()eq f(1,3)eq o(OA,sup6().又A，E，B三点共线，eq o(BE,sup6()与eq o(BA,sup6()共线，则存在实数2，使eq o(BE,sup6()2eq o(BA,sup6()2(eq o(OA,sup6()eq o(OB,sup6()eq o(BE,sup6()2eq o(OA,sup6()2eq o(OB,sup6().而eq o(OB,sup6()eq o(BE,sup6()eq o(