抽象函数性质解析

1、抽象函数性质解析专题定义域：解决抽象函数的定义域问题明确定义、等价转换。材料一：若函数的定义域为，求函数的定义域。总结：函数的定义域是指自变量的取值范围，求抽象函数的定义域的关键是括号内式子的地位等同（即同一对应法则后括号内的式子具有相同的取值范围），如本题中的与的范围等同。值域：解决抽象函数的值域问题定义域、对应法则决定。材料二：(1)若函数的值域为，求函数的值域。(2)函数f(x)的定义域为，对 任意正实数x,y都有f(xy)= f(x)+f(y)且f(4)=2 ，则 总结：当函数的定义域与对应法则不变时，函数的值域也不会改变。解析式（可解性）：由抽象式求解析式问题视为未知数，构造方程（组

2、）。材料三：设函数满足 = 1 * GB3 ，求。总结：在所给的抽象式中紧紧围绕，将其余的式子替换成，构造一个或几个方程，然后设法求解。对称性：解决抽象函数的对称问题定义证明是根本、图象变换是捷径、特值代入是妙法。结论1：设函数f(x)的定义域为R，且f(a+x)=f(b-x)，则函数f(x)的图象关于直线 对称；特别地，当f(a+x)=f(a-x)时，f(x)的图象关于x=a对称（自身对称）。 结论2：对于定义在R上的函数y=f(x)，函数y=f(a+x)与y=f(b-x)的图象关于直线对称（相互对称）。材料四：设函数定义在实数集上，则函数与的图象关于 对称A、直线对称 B直线对称 C直线对

3、称 D直线对称解法一（定义证明）： 解法二（图象变换法）： 解法三（特值代入法）：已知函数y=f(x)满足f(x+2)=f(2-x)；若方程f(x)=0有三个不同的实根，则这三个根的和为_。 周期性：解决抽象函数的周期性问题充分理解与运用相关的抽象式是关键。材料五：设是定义在R上的奇函数，其图象关于直线对称。证明是周期函数。总结： 1、 的周期为 2、 的周期为 3、 的周期为 4、 的周期为 5、 的周期为 6、 的周期为 7、 的周期为 8、 的周期为 奇偶性：解决抽象函数的奇偶性问题紧扣定义、合理赋值。材料六：已知是定义在R上的不恒为零的函数，且对于任意的，都满足：。判断的奇偶性，并证明

4、你的结论。总结：赋值是解决多变量抽象函数的重要手段。单调性：解决抽象函数的单调性问题紧密结合定义、适当加以配凑。材料七：（1）、设是定义在-1，1上的奇函数，且对于任意的，当时，都有：。若，试比较与的大小。（2）、已知函数对任意实数x，y，均有，且当时，求在区间2，1上的值域。（3）、已知函数f（x）对任意实数x、y均有f（xy）2f（x）f（y），且当x0时，f(x)2，f(3) 5，求不等式的解.。 课外练习：1：如果f(x+y)=f(x)f(y),且f(1)=2，则的值为_。 2：已知f(x)是定义在R上的函数，f(1)=1，且对任意都有f(x+5)f(x)+5，f(x+1)f(x)+1

5、，若g(x)=f(x)+1-x，则g(2005)=_.3、设函数f(x)的定义域是(-,+),满足条件：存在x1x2，使得f(x1) f(x2)；对任何x和y，f(x+y)=f(x)f(y)成立；求： （1）f(0)； （2）对任意值x，判断f(x)值的正负。 4、已知函数f(x)对任意实数x,y均有f(xy)=f(x)f(y)，且f(-1)=1, 当0 x1时，f(x)，(1)判断f(x)的奇偶性； （2）判断f(x)在上的单调性，并给出证明. 5、设函数f(x)的定义域为R，对于任意实数m、n，总有，且时。（1）证明：f(0)=1，且x1； （2）证明：f(x)在R 上单调递减；（3）设，

6、若，确定a 的范围；（4）试举出一个满足条件的函数类一次函数型例1：已知函数f(x)定义域R，对任意的x1、x2R，有f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)，当x0时，f(x)0时，f(x)1,求证：f(x存在反函数. .若不等式f(a2+a-5)2的解为 -3x0, y0都有，且x1时，0. . = .是否存在反函数，说明理由. .若9的解集为（m,n）求m+n.类指数函数型例1.已知函数f(x)定义域R，满足.x1 . f(0)0 .任意的x、yR有f(x+y)=f(x)f(y).x0时,0 f(x)0时，0.f(x)存在反函数 .f-1(x1x2)=f-1(x1)+f-1(x2) .若f(m)=3,求m的值.类对数函数型例3已知函数f(x)定义域R+，对任意的R有f()=f(x),且x1时f(x)0,y0时，f(xy)=f(x)+f(y).求证f(x)有反函数.解不等式f(x)+f(5-x)-2.类三角数函数型例：已知函数f(x)定义域R，满足对任意的x、yR有f(x+y)+f(x-y)=2 f(x)f(y), f(0) 0, f()=0求证：f(