讲义-数学七年级上册-第13讲-角

1、17/18讲义学科教师: 辅导科目:学员姓名: 年级：授课日期时间主题第13讲角的认识、余角和补角、角度的换算学习目标通过丰富的实例，进一步认识角，理解角的两种描述方法，掌握角的表示方 法；会比较角的大小，能佔计一个角的大小，会计算角度的和与差，认识 度、分、秒，并会进行简单的换算；了解角的平分线的概念，了解余角和补 角的概念，知道“等角的补角相等呗等角的余角相等W的性质质，会画一个角 等于已知角(尺规作图)教学内容【知识梳理】1角的定义:立义1：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点叫做角的顶点，这两条射线叫做角的 边.定义2：角也可以看作是一条射线绕着其端点，从起始位置旋转到终

2、止位苣所组成的图形.【注意】角的迫义1是直接根据角的构成作出的静态泄义，而泄义2是以动态观点泄义的，它强调角的形成 过程.角的表示方法：角可用大写英文字母.阿拉伯数字或小写的希腊字母表示，具体的有四种表示方法.用三个大写英文字母表示任一个角，如图二所示，记作ZAOB.其中O为角的顶点，分别为角 的两边上的点，“Z”是角的符号.在一个顶点处只有一个角的角，我们也可以用一个表示顶点的大写字母表示ZO,如图二所示. 用小写希腊字母表示，记作乙a、如图匚所示.用数学表示单独的一个角，记作Zl,如图匚所示.【注意】表示角时应注意以下问题：(1)用三个大写字母表示角时，一泄要把顶点字母写在中间，边上的字母

3、 写在两侧：在一个顶点处有两个及两个以上的角时，其中的任何一个角都不能用一个大写英文字母表示:用小写希腊字母或数字不能表示超过一个以上的角-方位角定义及其应用：立义：轮船、飞机等物体运动的方向与正北方向之间的夹角称为方位角，如图所示.【注意】方位角的正方向与地图中一样，为上北下南，左西右东.处于四个直角平分线上的方向，也分别被称为东南、东北、西南、四北.对于其他方向要用到“偏”这个字，例如：北偏东20。，这里的“偏”字相当于旋转的意思，北偏东20。， 就是以正北方向的射线为始边，绕中心顺时针旋转20。所成的角的终边所在的方向.一般在表示方向时，始边 是正北或正南方向的射线.角的大小比较方法：角

4、的大小比较一般有两种方法：度量法：用量角器量出角的度数(量法与小学学习方法相同).通过比较度数的大小来确定角的大小.若用量角器测得Zl = 30o, Z2 = 45o, .30o45o, .Z1ZAOD 【例题精讲】例L如图，图中共有多少个角？【考点】角的概念与表示.【解析】以04为始边的角有ZAoB、ZAOC. ZAoD、ZAOE.共4个，以OB为始边的角有ZBOC.ZBOD. ABOE,共3个，以Oe为始边的角有ZCOD、ZCOE共2个，以OD为始边的免有ZDOE, 共1个，所以共有4+3+2+1 = 10 （个）.【答案】10个.【教学建议】找角的个数与找线段方法一样，都按一左的方法分类

5、，找角的个数可按顺时针方向数.也可按逆 547? （/? 1）时针方向数.本题也可看作过点0引出5条射线共 一=Io个角，若过点0引出/1条射，则共有 L2 2 个角，这和线段的计数方法一样（注意，此处角指小于平角的角）例2.画出表示下列方向的射线：南偏东25方向；（2）北偏西60。方向；（3）东南方向；（4）南偏四80。方向.【考点】角的概念与表示，方位角.【解析】（1）以正南方向的射线为始边，逆时针逆转25。，所成角的终边即为所求的射线，如图二所示.（2）以正北方向的射线为始边，逆时针旋转60。，所成角的终边I!卩为所求的射线，如图二所示.（3）以正南方向的射线为始边，逆时针旋转45。，所

6、成角的终边即为所求的射线，如隔二所示.Gl）以正南方向的射线为始边，顺时针旋转80。所成角的终边即为所求的射线，如图二所示.i 一 O南【答案】略.【教学建议】教师需引导学生回顾角的表示和方位角的概念，在进行本题的解答，并且通过本题进一步正确理 解方位角的概念，正确表示方位角.【巩固测试】1.观察图所示各角，哪个角最大？有没有相等的角？用度虽法比较角的大小，看看与观察的结果是否相同？【考点】角的大比较.【解析】估计Zl最大,Z2与Z3相等,测量：Zl = 150o, Z2 = Z3 = 30o, Z4 = 60o.由以上测量得到的数据可知，测量的结果与观察结果相同.【答案】ZI最大，Z2与Z3

7、相等.【教学建议】用度呈法测虽:角的大小是常用的一种方法，但只为比较两个角的大小，靠观察也能判左.角的大 小与边的长短无关，“开口”大的角就大，因此估计角的大小要从角的“开口”大小比较.2.已知ZAOB 40。，用疑角器画岀ZAOC,使ZAoC = 40。，然后比较ZAoB和ZBoC的大小.【考点】角的大比较.【解析】如图所示，当ZAOCl在ZAOB的内部时，ZBOCI ZAOB.【答案】略.【教学建议】因为ZAOB40。，要IIniI*11 ZAOC = 40,所以ZAoBOOC乂因为OA是两个角的-条公共边，所以可能在ZAoB的内部也可能在ZAoB的外部.二、尺规作图【知识梳理】画相等的角

8、：（1）度量法.二对中：将量角器的中心点与角的顶点重合；二对线：将量角器的零度刻度线与角的一边重合：匚读数：看角的另一边落在量角器的什么刻度线上，从而读数.（2）尺规法.角的和、差、倍的画法：（1）度量法：用量角器分別疑出两个角的度数，根据角的和、差、倍的意义可以画岀角度等于两个角和（或 差）的角.（2）尺规作图法.利用尺规可以作一个角等于已知角，作两角的和的要领是“二合异侧“作两个角的差的要领是“二合同侧”.角平分线的概念及画法（作法）（1）概念：以一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线,如图所示.OC是的平分线，这时，=或ZAowoC = ZOC.（

9、2）画法二利用量角器画图：虽T算T画.二利用直尺和圆规作图.8余角、补角的定义（1）余角的立义：如果两个角的和是一个直角，这两个角叫做互为余角，简称互余，其中的一个角叫做另一个角的余角（2）补角的疋义：如果两个角的和是一个平角，这两个角叫做互为补角.简称互补，其中的一个角叫做另 一个角的补角9余角、补角性质（1）余角的性质：同角（或等角）的余角相等.补角的性质：同角(或等角)的补角相等.【注意】(1)余角、补角是指两个角关系的概念，是相互的，我们不能单独说哪一个角是补角，哪一个角是余 角，并且只和角的度数有关，和角的位巻无关.(2)余角、补角的性质是证明两角相等的常用方法.10.角的度量单位、

10、角的换算及角的分类角的度量单位是：度、分、秒.1度的丄为1分，记作化 即lo = 6Or1分的丄为1秒，记作r,即l = 6060 60【注意】角度的度、分、秒是60进制，与时间的时、分、秒进制相同，角的度数换算有两种：一种是把度 化成度、分、秒的形式；一种是把度、分、秒化成度的形式；1。的角是指将一个周角分成360等份，每一份就是1。的角.1周角=360o, 1平角=180。角的分类：小于90。的角叫做锐角.等于90。的角叫做宜角、大于90。小于180。的角叫做钝角.【例题精讲】例1如图，已知Z0,用直尺、圆规作岀ZCOD,使ZCOD = 【考点】画相等的角.【解析】(1)作射线OC；(2)

11、以Z0的顶点为圆心、取左的长a半径作弧，分别交Z0的两边于点E. F (如图)$以点O为圆心、的长为半径作弧.交OC于点M ；以点M为圆心、EF的长为半径作弧，交前弧于点N ：（5）经过点N作射线OD （如图二）ZCOD就是所求作的角.【教学建议】教师需先引导学生回顾画相等的角的基本方法和过程，并通过本题进一步熟悉画相等的角的过 程.例2.已知乙a、 （如图所示），作一个角乙AOB = 2乙a乙卩【考点】画角的和、差、倍.【解析】ZAOD = Za+Za = 2Za （二合异侧），乙AoB = 2乙a 乙卩（二合同侧）【教学建议】两个角的和、比、倍类同于有理数的和、4 倍.如2Z-彳的度数，等

12、于两个ZG的度和再减2; 的例3.如图已知Z,上0,用直尺和圆规求作一个Z/,使得Z = Z-Z7 （只需作出正确图形，保留作图痕迹，不必写出作法）【考点】画角的和、差、倍.【解析】如图所示.ZBCD即为所求作的Zy.【教学建议】本题先画出*Z0,再画ZtZ-IZ例4. 一个角的补角比它的余角的2倍多5。，求这个角.【考点】余角与补角.【解析】设这个角为,贝9它的补角为180o-,余角为90o-, 依题意得 180o-=2(90o-)+5o,180o- = 180o-2 + 5o, = 5o.所以这个角的度数为5。.【答案】5.【教学建议】这是一个角的补角与它余角的关系问题，可先从设泄这个角入

13、手，再把它的补角、余角用这个角表示出来，根据题意列出方程解决即可.例5.如图所示，已知：OC是ZAOB的角平分线，OD是ZAOC内的一条射线，已知ZqoZ)比ZBOD小30。，求ZCOD的大小.OA【考点】余角与补角.【解析】因为OC是ZAOB的平分线(已知).所以ZAOC = ABOC (角平分线的意义)设ZAoC = ZBOC = a, ZCOD = 0、根据题意，得ABOD = a + . ZA0D = a-3,所以(a + 0)(&-0) = 30。.解方程，得 0 = 15。，即 ZCoD = I5.【答案】ZCOZ) = 15.【教学建议】根据已知可设OC = ZBOC = a,

14、ZCOD = 0则有BOD = a+,ZAOD = a-,利用等虽关系，ZBOD-ZAOD = 30列出式子，即可解出0的度数.例6.如图所示，射线OB和射线OE分别是ZAOC和Zz)OF的角平分线，已知ABOE = nf, ZCOD = no, 试用含有加，H的式子表示ZAoF的度数.【考点】余角与补角.【解析】因为射线OB和対线OE分别是ZAOC和ZDOF的角平分线(己知).所以ZAoB = ZBOC，ZDOE = ZEOF (角平分线的意义).又因为 ZAOF = ZAOB + ZBOC+ZCOD+ADOE+ZEOF.所以 ZAoF = 2ZB0C + 2ZD0E+ZCOD = 2(ZB

15、OC + ZDOE) + ZCOD.又因为ZBOE = mJ ZCoD = n。(已知).所以 ZBOC+ZDOE = ABOE - ZCOD = m-n.所以 ZAOF = 2(ZBoC+ZDOE) + ZCOD = 2(m-n)+H = 2n-n .【答案】ZAOF = Im-n.【教学建议】ZAOF = ZAOB+ZBOC+ZCOD+ZDOE+AEOF ,而射线OB和射线OE分别是 ZAOC和 ZDoF 的角平分线，因此ZAOB + ZBOC = IABOC, ADOE+AEOF = 2ADOE ,那么 ZAOF = 2ABOC = IZDOE+ZCOD.由于 ZBOC+ZDOE = A

16、BOE-ZCOD = m-n.然后把相关 角的式子分别代入，问题就解决了.【巩固测试】1.如图所示，已知ZAoC = ZBOD = 90。.ZAOD与ZBOC有什么关系？为什么？若ZDOC = 35,则ZAoB等于多少度？若ZAoB = I50。，则ZDOC等于多少度？【考点】余角与补角.【解析】 ZAOD = ZBoC 理由如卜：由己知ZAOC = ZBOD = 90 ,ZAOD+ZDOC = 90。 BOC+DOC = 9OQ所以ZAOD = ZBOC (同角的余角相等).由已知 ZDoC = 35。，所以 ZAOD = ZBOC = 90-35 = 55 ,所以 ZAOB = ZAOD+ZDOC+ABOC = 55+35+55 = 145.由已知 ZAoC = ZBoD = 90。，ZAOB = I50.所以 ZAOD = ZAOB-ZBOD = 150。一90 = 60.所以 ZDOC = ZAoC - ZAOD =