2010年gct入学资格考试数学精解

1、2010 年GCT 入学资格数学基础能力试题参考与1. 【】 A【】本题主要考查了数字计算中的拆，用到了乘方的性质。由于(ab)k akbk ，所以23 43 63 83 1033 63 93 123 15故正确为 A 。2. 【】 B【】本题主要考查了直线的斜截式方程及平面中点的坐标。由题中的图可知，直线l 的斜率a 0 ，其在 y 轴上的截距b 0 ，所以坐标为(a, b) 的点在第II象限。故正确为 B 。3. 【】C【】本题主要考查了算术平均数的概念及比的简单运算。假设男员工人数是 x ，女员工人数是 y 。根据题意可知45(x y) 55x 40 y所以 y 2x ，即 x 1 。所

2、以男、女员工的人数之比是1: 2 。y2故正确为C 。4. 【】C【】本题主要考查了长方形与三角形的面积公式，考查了平面几何中求面积的相加法与相减法。解法1如下图所示，取 A(2,1) ， B(2, 5) ， C (4, 5) ， D(4,1) ，则四边形 ABCD 的面积等于长方形 ABCD 的面积减去四个直角三角形AAD ，CCB ，ABB 和DDC 的面积之和，即SABCD SABCD SAAD SCCB 1 1 2 2 6 422 27 13.52故正确为C 。解法2由题中的图可知 A(2, 2) ， B(1, 5) ， C(4, 3) ， D(2,1) ，所以21 42 242531

3、1121311112 17 ，212S 5ABC17 5 13.5 。2从而故正确为C 。解法3设 A ， B ，C ， D 在 x 轴上的垂足分别为 A ， B ，C ， D ，则四边形 ABCD的面积等于梯形 AABB 和 BBCC 的面积之和减去梯形 AADD 和 DDCC 面积之和，即为SABCD SAABB SBBCC SAADD SDDCC 3.5 20 6 4 13.5 。为C 。故正确5. 【】 D【】本题主要考查了等比数列的通项公式及数的简单运算。假设第一天的细菌密度是a （百万株/m3 ），由题意可知第n 天的细菌密度是a2n1 （百万株/m3 ）。 1由 a2201即 k

4、 16 。 4（百万株/m3 ）及a2k 1220k 16 ，所以20 k 4 ，（百万株/m3 ），得4故正确为 D 。6. 【】 D【】本题主要考查了方程根的几何意义与一元二次方程根的存在性条件。由于 y x2 ax a 的图像与 x 轴相切，所以一元二次方程 x2 ax a 0 有重根，故 a2 4a 0 。由题中的图可知a 0 ，所以a 4 。为 D 。】C】本题主要考查了两角和及两角差的三角公式。故正确7. 【因为sin( ) 0.8 ， cos( ) 0.3 ，所以(sin cos )(sin cos ) sin sin sin cos cos sin cos cos sin si

5、n cos cos sin cos cos sin cos( ) sin( ) 0.3 0.8 0.5故正确为C 。8. 【】 A【】本题主要考查了奇函数、周期函数的概念与性质，考查了函数的复合运算。因为 f (x) 是奇函数，所以 f (0) 0 ，且由 f (2) 6 知 f (2) 6 。又 g(2) 6 ，所以f (0) g( f (2) g(2) g(12)g(120)g 2 (20 f (2)由于 g(x) 的周期为4 ，所以 g(12) g(120) g(0) 。g(0) 1 ，解得 g(0) 2 。由题设知g 2 (0)2故正确为 A 。】 A9. 【】本题主要考查了虚数因为与

6、复数模的概念，考查了复数的简单运算与模的计算。z 1 i 1 i2 i3 1 i i 1 1 i 1 i ，1i2i1 i2 。z所以故正确为 A 。】 B10. 【】本题主要考查了正三角形的概念与性质，考查了选择题中的特殊值代入法及余弦定理或点的坐标与距离的关系。解法1取正三角形的边长为8 厘米，这时 D 与 A 重合，点 F 在边 AC 上（见下图）。由题设知CF 7 厘米， CG 4 厘米， C 60 ，A根据余弦定理，得GF 42 72 2 4 7 cos 60 37也是GF 37 厘米。FE为 B 。故正确BGC解法2取正三角形边长为a (a 8) 厘米，以G 为原点， BC 所在直

7、线为 x 轴建立平面直aa角坐标系（见上图），则 D( 4, 423) ，E( 3, 323) ，y所以 DE 的中点为 F ( 1 , 7A3) ，从而2 22 DFGF（厘米）2E8为 B 。故正确6Ba2a2GC x34】 A11. 【】主要考查了函数的概念及函数的图形表示法，考查了平面图形的面积。根据所剩面积变化的对称性，及所剩面积的最小值为3 ，利用排除法即知应选 A 。故正确为 A 。12. 【】 A【】本题主要考查了百分比的概念及数的简单运算。解法1设10 个股东所持占总的百分比从少到多依次为a1 ， a2 ， a10 ，则a1 a2 a10除了最大股东之外，其他9 个股东中的任

8、意6 个所持要不少于50 ，故得1126a a a a 0.5 ，即a 61266所以这9 个股东所持的为a1 a2 a9 a1 a2 a6 a7 a8 a9 0.5 3a6 0.75即不少于75 ，因此最大股东所持的故正确为 A 。做多为25 。占总的百分比为 x ，则因为剩余9 人中随意6 人解法2假设持股最多的股东所持之和要不少于50 ，所以将剩余的1 x 均分成9 份，才能使得所需的1 x 达到最小，的从而使 x 达到最大。此时 6 (1 x) 50 ，即 x 25 。9故正确为 A 。13. 【】 D【】本题主要考查了正四面体（三棱锥）的体积与高的关系。设两个正四面体的高分别为h1

9、， h2 ，体积分别为V1 ，V2 ，则Vh3 1 1 h3V2217记正四面体容器的体积为V ，由题设可知水的体积是V V V 。所以要求水面的高883 77度与h 的比值是 3。82故正确为 D 。】 B】本题主要考查了等可能事件的概率公式及简单组合数的计算，考查了等比数列的14. 【 概念。从1， 2 ， 3 ， 4 ， 5 ， 6 ， 7 ， 8 ， 9 ，10 中任取3 个不同的数的所有取法共有 10 9 8 120 种，其中能等比数列的是1，2 ，4 ；1，3 ，9 ；2 ，4 ，8 ；4 ，C3103 2416 ， 9 共4 组，所以要求的概率是。12030故正确为 B 。15.

10、 【】 D【 题。】本题主要考查了双曲线的焦点坐标和离心率计算公式，考查了直线与圆相切的问如下图可知，切线的斜率为a13113k ，故。yc2 a2 c 21 a c2 a2c解得e 2 。a故正确为 D 。xO(a , 0) F (c , 0)216. 【】C【】本题主要考查重要极限lim sin x 1、 x 时有理函数的极限以及极限的四则xx0运算法则。解法122lim2xx x2 2xxx故正确解法2为C 。利用无穷小量的等价代换定理。当 x 时， sin 2xlim故正确为C 。17. 【】 B2，因此有x2 2 4【因】本题主要考查函数记号以及复合函数导数。f (x) x2 ，所以

11、h(x) f (1 g(x) 1 g(x)2 ， h(x) 21 g(x)g (x) ，h(x)2g (x)h(1)2g (1) 1 1 。2g(x) 1 ， g(1) 故正确为 B 。18. 【】 D【】本题主要考查连续的定义、可导与连续的关系、导数几何意义、法则、复合函数导数。解法1因为函数 g(x) 导数连续，其图像在原点与曲线 y ln(1 2x) 相切，所以有 2 ，即 g (0) lim g(x) g(0) lim g(x) 2 。2g(0) 0 ， g(0) y(0) 1 2x x0 x 0 xx0 x0若要函数 f (x) 在原点可导，则必须满足其在原点连续，即 a lim f

12、 (x) lim g(x) 2 。xx0 x0故正确为 D 。解法2特殊函数代入法。取 g(x) ln(1 2x) ，则a lim f (x) lim ln(1 2x) 2 。xx0 x019. 【】 D【】本题主要考查函数单调性和极值的判断方法。解法1因 a ， b ， c ， d 成等比数列，可设b aq ， c aq2 ， d aq3 ，其中q 0 ，于是y ax2 2bx c a(x2 2qx q2 ) a(x q)2 0, a 0, a 0 0即函数 y 1 ax3 bx2 cx d 单调递增或单调递减。3故正确为 D 。解法2取 a b c d 1，则 y 1 1，于是1)2 0

13、，3y13即函数 y 1单调递增。为 D 。故正确20. 【】C【解法1】本题主要考查周期函数的定义及变限函数的导数。x64由1f (t) dt f (t) dt 14 求导得x3f (x 6) f (x 3) 0 ，即 f (x 6) f (x 3)令 x 3 t ，则 x t 3 ，代入 f (x 6) 周期。故正确为C 。f (x 3) 中得 f (t 9) f (t) ，所以， f (x) 以9 为x6x644变换式子1f (t) dt x3f (t) dt 14f (t) dt 14 f (t) dt 即为解法 2x31x6常数。因为 f (x) 不恒为常数，所以若要满足x3 f (

14、t) dt 恒为常数，则函数 f (x) 的最小正周 (x 6) (x 3) 9 ，其中n 为正整数。显然9 必然是函数 f (x) 的周期。n期T 必须满足Tn故正确为C 。21. 【】C【】本题主要考查曲线的切线方程以及利用定积分计算平面图形面积。y 1 2x ， y 1 ， y 1。因此，曲线 L 过点(0, 0) 的切线方程为 y x ，曲x0 x1线 L 过点(1, 0) 的切线为 y (x 1) 。由此可知曲线 L 过点(0, 0) 和点(1, 0) 的切线与 x 轴所围1成的OAB 为等腰三角形，如下图所示，其高 BC x1 ，其面积x22S 1 OA BC 1 1 1 12曲线

15、 y x(1 x) 与 x 轴所围成的面积2241 x x23 1 1 1 ，2361S y2 23 0B01111S1 S S2 ， S1 S2LS4612为C 。21故正确S2OCxA22. 【】 A【】本题主要考查矩阵的运算、两个矩阵相乘秩的性质以及矩阵秩的求法。AB B ( A E)B ，因1 021 12 1 10 202001A 0 10 00 ，故1A E 2 0 2 20 所以 A E 可逆，从而r( AB B) r(B) 2 。而1a31 12 12 21(2) 1 31 0a 23B2 10 02 2a 23要使r(B) 2 ，需要第二、三行成比例，即，从而得a 5 。22

16、为 A 。】 B故正确23. 【】本题主要考查了向量组等价的性质。利用结论“设向量组 S1 与向量组 S2 等价，则它们的秩相等，即 r(S1 ) r(S2 ) ”。由此结论：若r(S1 ) r(S2 ) ，则向量组S1 与向量组S2 不等价。，中的向量都可由向量组 S 表示。又1 ，2 ，3 线性无关，所以向量组S的秩等于3 。向量组含有两个向量，它的秩最大是2 ，向量组中的1 3 ，1 3 可由向量组中的21 及33 表示，所以它的秩是2 ，因此向量组和向量组都不可能与向量组S 等价。对于向量组，设1 1 ， 2 1 2 ， 3 1 2 3 ，于是有 11101( , ) ( , ) 01

17、123123 01因10011011 1 01所以 11110 01 01可逆，于是有11 1110, ) 01( , ) ( 123123 01从而1 2 ,3 与 1 2 , 3 可以相互线性表示，因此向量组与向量组 S 等价。对于向量组，设1 1 3 ， 2 1 3 ， 3 22 ， 4 33 ，易得 1 1 ， 1 ， 1 ，这表明 , 可由 , , 线性表示，112233412312342223从而1 2 ,3 与 1 2, 3, 4可以互相线性表示。因此向量组与向量组 S 等价。故正确为 B 。24. 【】 D【】本题主要考查了非线性方程组有解的充分必要条件和非线性方程组解的结构。041151 0 A 11 501 10003 44 (5) 当t 0 时， r( A) r( A) 2 3（ 3 是未知量的个数），线性方程组有无穷多解。当t 0 时， r( A) r( A) 3 （ 3 是未知量的个数），线性方程组有唯一的解。故正确为 D 。25. 【】 B【】本