向量的概念及表示优秀教案

1、向 量 的 概 念 及 表 示执 教 :张 亮 点 评 :孔 凡 海【 教 学 目 标 】一 、 通 过 对 实 例 的 引 入 , 了 解 向 量 概 念 产 生 的 实 际 背 景 ；二 、 理 解 平 面 向 量 和 向 量 相 等 的 概 念 ；三 、 掌 握 向 量 的 几 何 表 示 ；四 、 了 解 向 量 的 长 度 、 零 向 量 、 单 位 向 量 、 平 行 向 量 等 概 念 ；【 重 点 难 点 】重 点 ： 向 量 的 概 念 和 向 量 的 几 何 表 示 ；难 点 ： 向 量 概 念 的 理 解【 点 评 】知 识 技 能 , 数 学 思 考 , 问 题 解 决

2、 , 情 感 态 度 ； 目 标 明 确 有 效 , 重 点 突 出 ； 为 组 织 、 引 导 学 生 开 展 有 效 学 习 活 动 奠 定 了 方 向 ；向 量 是 近 代 数 学 中 重 要 和 基 本 的 数 学 概 念 之 一 , 是 沟 通 代 数 、 几 何 的 工 具 ； 向 量 由 大 小 和 方 向 两 个 因 素 确 定 , 大 小 反 映 了 向 量 数 的 特 征 ,方 向 反 映 了 向 量 形 的 特 征 , 向 量 是 集 数 形 于 一 身 的 数 学 概 念 , 是 数 学中 数 形 结 合 思 想 的 典 型 体 现 ； 向 量 之 所 以 有 用 ,

3、关 键 是 它 具 有 一 套 良 好 的 运 算 性 质 ； 由 于 向 量 的 几 何 性 质 , 以 及 向 量 、 点 、 序 偶 之 间 的 对应 关 系 , 于 是 , 可 以 把 图 形 的 基 本 结 构 转 化 为 向 量 运 算 , 把 图 形 的 基 本 性 质 转 化 为 向 量 的 运 算 律 , 这 就 是 几 何 问 题 代 数 化 处 理 ； 这 样 , 几 何 中 添 线 、 补 图 等 技 巧 让 位 于 代 数 中 的 通 法 , 也 就 是 作 为 思 辩 数 学 的几 何 问 题 让 位 于 作 为 算 法 数 学 的 代 数 问 题 ；【 教 学 过

4、 程 】一 、 设 置 情 境情 景 在 如 图 所 示 的 情 景 中 , 猫 能 否 追 上 老 鼠 合 作 探 究 看 下 面 哪 些 量 是 与 众 不 同 的 ：（ 1） 线 段 的 长 度 （ 2） 物 体 的 质 量（ 3） 物 体 的 体 积 （ 4） 物 体 所 受 重 力（ 前 三 个 都 是 数 量 , 即 只 有 大 小 , 而 物 体 所 受 重 力 是 矢 量 , 既 有 大 小又 有 方 向 ）【 点 评 】根 据 学 生 的 生 活 经 验 , 通 过 问 题 、 设 疑 来 创 设 思 维 的 情 境 , 引 起 认 识 的 需 要 ；通 过 揭 露 矛 盾

5、来 引 发 思 考 ,激 发 学 习 的 兴 趣 ；通 过 学 生 活 动 ,感 知 数 学 , 进 行 意 义 建 构 ；物 理 中 的 力 、 速 度 、 加 速 度 以 及 几 何 中 的 有 向 线 段 等 概 念 是 向 量 概 念 的 原 型 ； 由 物 理 上 的 位 移 、 速 度 等 引 入 向 量 概 念 , 贴 近 学 生 已 有 的 经 验 , 比 较 自 然 , 也 体 现 了 “ 最 近 发 展 区 ” 原 理 的 运 用 ；二 、 探 索 研 究 问 题 一 情 景 中 向 我 们 呈 现 了 一 个 新 的 量 ,那 么 我 们 怎 样 用 数 学 的 形 式

6、对 这 一 量 进 行 描 述 呢 1 向 量 的 定 义 既 有 大 小 又 有 方 向 的 量 叫 向 量 ；师 ： 你 仍 能 举 出 一 些 向 量 的 例 子 吗 师 ： 在 这 一 概 念 中 你 认 为 关 键 词 有 哪 些板 书向 量 的 二 要 素大 小 和 方 向师 ： 我 们 怎 样 用 符 号 来 表 示 向 量 呢 重 力 加 速 度 是 一 个 向 量 , 那 么 在 物 理 中 我 们 是 用 什 么 表 示 它 的 呢2 向 量 的 表 示 方 法 几 何 表 示 法 向 量 常 用 有 向 线 段 表 示 师 ： 那 么 有 向 线 段 是 怎 样 表 示

7、向 量 的 大 小 和 方 向 呢 有 向 线 段 的 长 度 表 示 向 量 的 大 小 , 箭 头 所 指 的 方 向 表 示 向 量 的 方 向 ；以 A 为 起 点 、 B 为 终 点 的 向 量 记 为 ： ； 大 小 记 为 ： 板 书有 向 线 段 的 三 要 素起 点 、 终 点 、 长 度 ； 字 母 表 示 法 ： 可 表 示 为 练 习 1 温 度 有 零 上 和 零 下 之 分 , 温 度 是 向 量 吗 为 什 么 2 向 量 和 同 一 个 向 量 吗 为 什 么 师 ： 我 们 只 是 用 有 向 线 段 来 表 示 向 量 , 那 么 有 向 线 段 是 向 量

8、 吗 向 量 是 有 向 线 段 吗【 点 评 】注 意 到 学 生 由 于 受 物 理 背 景 的 影 响 而 导 致 认 知 的 偏 差 ,明 确 数 学 上 的 向 量 是 “自 由 “ 向 量 , 只 有 大 小 和 方 向 两 个 要 素 , 与 起 点 无 关 ； 消 除 由 于 物 理 中 力 的 引 入 而 导 致 的 误 解 ；问 题 二 数 量 中 有 “ 0”, “ 1” ,比 如 0 度 ；向 量 中 有 没 有 与 之 类 似 的 量 , 如 果 有 又 怎 样 定 义 这 些 特 殊 的 量 呢【 点 评 】通 过 类 比 联 想 , 认 识 向 量 这 个 “ 二

9、 元 ”数 ； 从 已 知 的 有 理 数 的 相 似 性 ,推 断 未 知 的 向 量 的 相 似 性 , 进 行 猜 想 ； 并 不 满 足 于 对 相 似 性 的 模 糊 认 识 , 坚 持 把 它 们 的 相 似 性 用 准 确 的 数 学 形 式 表 达 出 来 ； 经 历 数 学 发 现 过 程 , 体 会 合 情 推 理 在 数 学 发 现 中 的 作 用 , 发 展 学 生 的 创 新 意 识 和 创 新 能 力 ； 逐 步 让 学 生 学 会 建 构 数 学 知 识 ；3 特 殊 的 向 量 ；1 零 向 量 长 度 为 零 的 向 量 , 记 为 2 单 位 向 量 长 度

10、 等 于 一 个 单 位 的 向 量 师 ： 这 些 向 量 都 是 从 向 量 二 要 素 中 的 大 小 这 一 特 性 去 定 义 的 , 那 么 有 没 有 方 向 的 特 殊 的 向 量 呢 数 量 中 有 两 数 相 等 和 两 数 互 为 相 反 数 等 特 殊 情 况 ,你 怎 么 考 问 题 三 虑 向 量 中 的 类 似 问 题【 点 评 】设 法 造 成 学 生 “ 愤 ” 、“ 悱 ” 的 状 态 ,使 他 们 想 求 明 而 不 得 ,想 说 却 不 能 ；然 后 引 导 他 们 去 探 索 、去 发 现 ,提 出 解 决 问 题 的 门 径 ,引 导 学 生 “ 自

11、 得 ” ；4 向 量 间 的 关 系（ 1） 平 行 向 量 方 向 相 同 或 者 相 反 的 向 量 ； 如 与 平 行 , 记 作 / 规 定 与 任 一 向 量 平 行 , 即 / 师 ： 你 能 画 出 一 组 平 行 向 量 吗 师 ： 如 果 我 们 把 一 组 平 行 向 量 的 起 点 全 部 移 到 同 一 点 , 这 时 它 们 是 不 是 平 行 向 量 这 时 各 向 量 的 终 点 之 间 有 什 么 关 系 生 ： 是 平 行 向 量 , a/b , 各 向 量 的 终 点 都 在 同 一 条 直 线 上 ；师 ： 对 ！ 由 此 , 我 们 把 平 行 向 量

12、 又 叫 做 共 线 向 量 ；2 相 等 向 量 大 小 相 等 方 向 相 同 的 向 量 , 记 = （ 3） 相 反 向 量 与 大 小 相 等 方 向 相 反 的 向 量 , 记 - 【 例 1】 判 断 下 列 命 题 真 假 或 给 出 问 题 的 答 案（ 1） 任 一 向 量 与 它 的 相 反 向 量 不 相 等（ 2） 平 行 向 量 的 方 向 一 定 相 同（ 3） 不 相 等 的 向 量 一 定 不 平 行（ 4） 模 相 等 的 两 个 平 行 向 量 是 相 等 的 向 量【 例 2】 如 图 , 设 O 是 正 六 边 形 ABCDEF 的 中 心 , 在 如

13、 图 所 标 出 的 向 量 FE、 OA、 OD、 OC、 CB 中 ：（ 1） 试 找 出 与 OA 共 线 的 向 量（ 2） 找 出 与 OA 相 等 的 向 量（ 3） OA 与 FE 相 等 吗【 点 评 】新 课 的 巩 固 工 作 主 要 通 过 课 堂 练 习 来 完 成 , 学 生 通 过 当 堂 的 练 习 （ 包 括 变 式 练 习 ） , 领 悟 新 知 识 , 记 忆 新 知 识 ； 对 有 关 概 念 的 内 涵 进 一 步 挖 掘 、 外 延 进 一 步 界 定 ； 不 同 概 念 进 一 步 比 较 区 分 ； 同 时 为 后 继 的 学习 打 好 基 础 （

14、 知 识 技 能 、 思 想 方 法 ） ；【 见 仁 见 智 】本 教 案 的 设 计 思 路 大 致 可 以 概 括 为 ：问 题 情 境 （ 提 出 问 题 ） 学 生 活 动 （ 体 验 向 量 ） 意 义 建 构 （ 探 索 研究 向 量 ） 数 学 理 论 （ 建 立 向 量 概 念 ） 数 学 运 用 （ 辨 别 、 解 释 、 解 决 简 单 问 题 ） 回 顾 反 思 （ 理 解 、 联 系 、 整 合 、 拓 广 ） ；在 问 题 情 境 设 置 中 , 设 计 的 问 题 贴 近 学 生 , 通 过 问 题 来 激 发 学 生 的 认 知 兴 趣 , 在 问 题 中 培

15、养 学 生 的 比 较 、 鉴 别 、 归 纳 的 思 维 能 力 ； 在 探 索 研 究 概 念 中 ,精 心 设 计 问 题 串 ,脉 络 清 楚 ,类 比 联 想 ,建 构 数 学 知 识 ,使 得 看 起 来 一 大 堆 零 散 的 有 关 概 念 得 以 系 统 有 序 地 认 识 ；在 巩 固 认 识 概 念 中 , 通 过 例 题 的 讲 解 和 变 式 练 习 达 到 对 重 点 概 念 的 重 点 掌 握 , 注 重 概 念 的 辨 析 , 突 出 概 念 的 本 质 特 征 ；在 新 课 程 的 实 验 阶 段 ,学 生 在 课 堂 上 “ 自 主 探 索 、合 作 交 流

16、 ”,师 生 对 “教 与 学 的 方 式 的 改 变 ” 必 然 会 有 一 个 适 应 的 过 程 ,要 注 意 以 下 问 题 ：一 是组 织 学 生 开 展 的 探 索 活 动 是 必 要 的 ,但 不 必 事 事 都 探 索 ；二 是 “教 学 方 式 的 改 变 ” 并 不 意 味 着 教 师 不 能 进 行 必 要 的 讲 授 ；三 是 起 始 课 ,给 学 生 以 数 学 的 全 貌 , 给 学 生 以 正 确 的 数 学 观 , 如 何 让 学 生 学 会 建 构 数 学 ,数 学 如 何 建 构 , 虽 然 这 是 高 考 不 考 的 , 但 这 是 对 学 生 受 益 终 身 的 ； 学 生 探 索 空 间 的 大 小 , 取 决 于 教 师