平面解析几何末大盘点

1、一、函数与方程思想1方程思想：解析几何的题目大部分都以方程形式给定直 线或圆锥曲线因此可以用方程思想讨论直线和圆锥 曲线的位置关系问题可以把直线与圆锥曲线相交的 弦长问题利用根与系数的关系进行整体处理从而减 少解题过程的运算量2函数思想：对于圆锥曲线上一动点，在变化过程中，会 引入一些相互联系、相互制约的量，从而使有些线段 长度及a、b、c、k、e之间构成函数关系，函数思想在 处理这类问题时非常有效【示例1】已知直线y 2和椭圆 (ab0)相交于A，B两点，M为线段AB的中点，若|AB|2 直线OM的斜率为 ，求椭圆的方程解由 消去y整理得(a24b2)x28a2x16a24a2b20.设A(

2、x1，y1)，B(x2，y2)，由根与系数的关系得x1x2又设M(xM，yM)，则xM=因为kOM = 即a24b2.从而x1x2又|AB|2 所以 即 解得b24.所以a24b216，故所求椭圆方程为领悟待定系数法是求直线或曲线方程的常用方法，而用待定系数法解题时，在题目中寻找等量关系，建立方程是关键二、数形结合思想 圆锥曲线的相关问题中，许多表达式都具有一定的 几何意义挖掘题目中隐含的几何意义，然后采用数形 结合的思想方法进行推理，可以直观地解决一些最值问 题另外，在解题中还要善于将数形结合的思想运用于 对圆锥曲线的性质和关系的研究中【示例2】当函数y1 与函数yk(x2)4的图象有两个相

3、异交点时，实数k的取值范围是 ()解析曲线y=1+ 是以(0,1)为圆心、2为半径的半圆(如图)，直线y=k(x-2)+4是过定点(2,4)的直线设切线PC的斜率为k0，切线PC的方程为y=k0(x-2)+4.圆心(0,1)到直线PC的距离等于半径2，即设直线PA的斜率为k1，则所以实数k的范围是答案C领悟平面解析几何本身就是“以数解形”的一门学科，是数形结合思想的直接体现本例借助于数的几何意义，利用形的直观进行解题，又体现了“以形助数”的思想三、化归与转化思想 解决有关直线与圆锥曲线相交的问题，若要证明线数相等或求弦长，或求某些与曲线上的点有关的题目时，直接求交点坐标往往理论上可行，而实际运

4、算却繁琐复杂很难得出结果，若合理转化，可使运算简化，事半功倍【示例3】从圆C：x2y24x6y120外一点P(x1，y1)向圆引切线，切点为M，O为坐标原点，且有|PM|PO|，求使|PM|最小的P点坐标解将方程x2y24x6y120配方后，得(x2)2(y3)212，圆心为C(2,3)，半径r1.切线PM与半径CM垂直(如图所示)，由|PM|=|PO|，得化简整理，得2x1+3y1=6，故满足|PM|=|PO|的P点轨迹是方程2x+3y-6=0表示的直线|OP|的最小值为O点到此直线的距离，即 从而解方程组即满足题设条件的P点为领悟解析几何是将“形”的问题转化为“数”的问题解决的学科，如在解

5、题中常将交点问题转化为方程根的问题，将最值问题转化为函数问题解决四、分类讨论思想 分类讨论思想在解析几何中应用广泛，主要表现的方面有：(1)过定点的直线的斜率是否存在问题(2)与截距有关的直线问题要分零截距与非零截距情形讨论(3)直线与圆锥曲线的交点问题(4)含参数的方程表示的曲线的讨论问题(5)圆与圆的位置关系判断问题(6)椭圆、双曲线、抛物线焦点位置与标准方程间关系的问题等等【示例4】已知向量 动点M到定直线y1的距离等于d，并且满足 d2)，其中O为坐标原点，k为参数(1)求动点M的轨迹方程，并判断曲线类型；(2)如果动点M的轨迹是一条圆锥曲线，其离心率e满足 e ，求实数k的取值范围=

6、(2,0),=(0,1),解(1)设M(x，y)，则由 且O为原点，知A(2,0)，B(2,1)，C(0,1)从而 2，y1)，d|y1|.代入 得(1k)x22(k1)xy20为所求的轨迹方程当k1时，得y0，轨迹为一条直线；当k1时，得(x1)2 若k0，则轨迹为圆；若k1，则轨迹为双曲线；若0k1或k0，则轨迹为椭圆=(2,0),=(0,1),(2)因为 所以方程表示椭圆对于方程(x1)2当0k1时，a21，b21k，c2a2b21(1k)k，此时当k0时，a21k，b21，c2k，所以所以领悟在圆锥曲线的定义中，都是有一定的限制条件的，满足不同的条件就得到不同的曲线(如本例(1)，另外

7、在进行有关量的运算时，参数的符号往往决定着运算结果，在符号不明确时也要进行分类讨论1(2009全国卷)设双曲线 (a0，b0)的渐 近线与拋物线yx21相切，则该双曲线的离心率等于 ()B.2解析：双曲线的渐近线方程为y 与拋物线方程联立得x2 10，( )240b24a2，c2a24a2，c25a2，e答案：C2(2008山东高考)若圆C的半径为1，圆心在第一象限，且 与直线4x3y0和x轴都相切，则该圆的标准方程是 () A(x3)2 1 B(x2)2(y1)21 C(x1)2(y3)21 D. (y1)21解析：法一：由题意知圆心坐标为(x0,1)，排除A、C.选项B中圆心(2,1)到直

8、线4x3y0的距离即dr成立法二：由题意设圆心为(x0,1)，dr， 1x02或x0 (舍去)答案：B3(2007山东高考)设O是坐标原点，F是抛物线y22px(p0) 的焦点，A是抛物线上的一点， 与x轴正向的夹角为60， 则 为 ()解析：设则A又A在y22px上， p2pt，解得t2p，t (舍)，A答案：B4(2010汕头模拟)中心在原点，焦点在x轴上的双曲线的实 轴与虚轴相等，一个焦点到一条渐近线的距离为 ，则 双曲线方程为 () Ax2y22 Bx2y2 Cx2y21 Dx2y2解析：设双曲线方程为x2y2(0)，渐近线方程为yx，焦点到直线的距离 c2，2c24，2.答案：A5(

9、2010日照模拟)过点A(1，1)，B(1,1)且圆心在直线 xy20上的圆的方程是 () A(x3)2(y1)24 B(x3)2(y1)24 C(x1)2(y1)24 D(x1)2(y1)24解析：设圆心C(a,2a)，则|AC|BC|.(a1)2(3a)2(a1)2(1a)2，a1，r2，C(1,1)圆的方程为(x1)2(y1)24.答案：C6(2009广东高考)已知椭圆G的中心在坐标原点，长轴在x 轴上，离心率为 ，且G上一点到G的两个焦点的距离 之和为12，则椭圆G的方程为_解析：由题意得2a12， 所以a6，c3 ，b3，故椭圆G的方程为 =1.答案：7(2010珠海模拟)已知双曲线

10、 =1的离心率 为 则n_.解析：若焦点在x轴上：a2n，b212n，c2a2b212，e n4.若焦点在y轴上，a2n12，b2n，c2a2b212不合题意故n4.答案：48(2009安徽高考)已知椭圆 =1 (ab0)的离心 率为 ，以原点为圆心、椭圆短半轴长为半径的圆与直线 yx2相切 (1)求a与b； (2)设该椭圆的左、右焦点分别为F1和F2，直线l1过F2且 与x轴垂直，动直线l2与y轴垂直，l2交l1于点P.求线段PF1 的垂直平分线与l2的交点M的轨迹方程，并指明曲线 类型解：(1)由得又由原点到直线yx2的距离等于圆的半径，得(2)法一：由c 得F1(1,0)，F2(1,0)

11、设M(x，y)，则P(1，y)由|MF1|MP|，得(x1)2y2(x1)2，y24x.此轨迹是抛物线法二：因为点M在线段PF1的垂直平分线上，所以|MF1|MP|，即M到F1的距离等于M到l1的距离此轨迹是以F1(1,0)为焦点，l1：x1为准线的抛物线，轨迹方程为y24x.9(2008北京高考)已知ABC的顶点A，B在椭圆x23y2 4上，C在直线l：yx2上，且ABl. (1)当AB边通过坐标原点O时，求AB的长及ABC的面积； (2)当ABC90，且斜边AC的长最大时，求AB所在直 线的方程解：(1)因为ABl，且AB边通过点(0,0)，所以AB所在直线的方程为yx.设A，B两点坐标分

12、别为(x1，y1)，(x2，y2)由 得x1，所以|AB|又因为AB边上的高h等于原点到直线l的距离，所以(2)设AB所在直线的方程为yxm.由 得4x26mx3m240.因为A，B在椭圆上，所以12m2640.设A，B两点坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)则x1x2所以|AB| |x1x2|又因为BC的长等于点(0，m)到直线l的距离，即|BC|所以|AC|2|AB|2|BC|2m22m10(m1)211.所以当m1时，AC边最长(这时12640)，此时AB所在直线的方程为yx1.10(2010南通模拟)已知椭圆x2 1(0b1)的左焦 点为F，左、右顶点分别为A、C，上顶点为B，过B、F、 C作圆P，其中圆心P的坐标为(m，n) (1)当mn0时，求椭圆离心率的取值