电分第九章相量模型的等效

1、911 相量模型的等效一、阻抗和导纳 两个单口网络相量模型的端口电压电流关系相同时，称此两个单口网络等效。 我们已经知道阻抗和导纳是正弦稳态分析中的两个重要概念，它们可以用来表示RLC元件以及由这些元件组成的单口网络的特性。现在将这两个概念推广到一般单口网络的相量模型，正式给出它们的定义。 假设端口电压与电流相量采用关联的参考方向，其电压相量与电流相量之比为一个常量，这个常量称为阻抗，即 阻抗是一个复数，其实部R称为电阻分量，虚部X称为电抗分量，阻抗的幅角=u-i称为阻抗角，它表示端口正弦电压u(t)与正弦电流i(t)的相位差。上式可以改写以下形式 与阻抗相似，在端口电压与电流相量采用关联参考

2、方向的条件下，其电流相量与电压相量之比为一个常量，这个常量称为导纳，即 导纳是一个复数，其实部G称为电导分量，虚部B称为电纳分量，导纳的幅角-=i-u表示端口正弦电流i(t)与正弦电压u(t)的相位差。上式可以改写以下形式 从以上几个公式中可以得到以下关系 此式表明：就单口网络的相量模型的端口特性而言，可以用一个电阻和电抗元件的串联电路或用一个电导和电纳元件的并联电路来等效。 已知单口网络可以用外加电源计算端口电压电流关系的方法求出等效阻抗和等效导纳。 同一个单口网络相量模型的阻抗与导纳之间存在倒数关系，即例1 单口网络如图(a)所示，试计算该单口网络在 =1rad/s和=2rad/s时的等效

3、阻抗和相应的等效 电路。 解：画出图(a)电路在 =1rad/s时的相量模型如图(b)所示， 用阻抗串并联阻抗的公式求得单口等效阻抗为 计算表明，等效阻抗为一个2的电阻，如图(c)所示。 画出=2rad/s时的相量模型如图(d)所示，用阻抗串并联阻抗的公式求得等效阻抗为 计算结果表明，等效阻抗为一个0.5的电阻与-j1.5的容抗串联，其等效电路如图(e)所示。 例2 试求图(a)所示单口网络在=1rad/s和 =2rad/s时的等效导纳。 解： 当=1rad/s时，由图(b)所示相量模型求出相应的等效导纳 由等效导纳得到的等效电路如图(c)所示。 解： 当=2rad/s时，由图d)所示相量模型

4、求出相应的等效导纳 由等效导纳得到的等效电路如图(e)所示。 例3 单口网络如图所示，已知=100rad/s。 试计算该单口网络相量模型等效阻抗和相应的等 效电路。 解：相量模型如图(b)所示。在端口外加电流源，用 相量形式KVL方程计算端口电压相量 求得等效阻抗为 其等效电路为一个电阻和电感的串联，如图(c)所示。 二、阻抗和导纳的等效变换 无源单口网络相量模型有两种等效电路，如图(c)和图(e)所示，这两种等效电路之间也可以进行等效变换。 已知单口网络的阻抗和串联等效电路，求其导纳和并联等效电路。根据阻抗和导纳的倒数关系可以得到 由此得到由阻抗变换为导纳的公式 已知单口网络的导纳和并联等效

5、电路，求其阻抗和串联等效电路。根据阻抗和导纳的倒数关系可以得到 由此得到由导纳变换为阻抗的公式 应该注意，电阻R与电导G之间并不是简单的倒数关系；电抗jX与电纳jB之间也不是简单的倒数关系。 例4 将图(a)所示电阻R=100和电感L串联单口网 络，等效变换为图(b)所示电阻R=1000和电感L 并联单口网络，试求电感L之值。 解：用阻抗等效变换为导纳的公式 令实部相等，可以求得 最后求得电感值为 此时的等效导纳为 假如在端口并联一个适当数值的电容(C=3F)来抵销电感的作用，可以使单口网络等效为一个1000的纯电阻。 含独立电源的线性单口网络相量模型，就其端口特性而言，可以用一个独立电压源

6、与阻抗 的串联来代替。 三、含源单口网络相量模型的等效电路 含独立电源的线性单口网络相量模型，就其端口特性而言，可用一个独立电流源 与阻抗Zo的并联来代替。 例5 求图(a)单口的戴维南和诺顿等效电路。 解：计算单口网络相量模型端口的开路电压 用外加电流源求端口电压的方法求得输出阻抗 用开路电压和输出阻抗求得短路电流 作出戴维南和诺顿等效电路，如图(b)和(c)所示。 作业：习题934时域分析法总结 1线性时不变电容元件的特性曲线是通过u-q平面坐标原点的一条直线，该直线方程为 电容的电压电流关系由以下微分或积分方程描述 由上式可见，电容电压随时间变化时才有电容电流。若电容电压不随时间变化，则

7、电容电流等于零，电容相当于开路。 电容的储能取决于电容的电压，与电容电流值无关。 电容是一种动态元件，是一种有记忆的元件，又是一种储能元件。电容的储能为 2线性时不变电感元件的特性曲线是通过i-平面坐标原点的一条直线，该直线方程为 电感的电压电流关系由以下微分或积分方程描述 由上式可见，电感电流随时间变化时才有电感电压。若电感电流不随时间变化，则电感电压等于零，电感相当于短路。电感是一种动态元件，是一种有记忆的元件，又是一种储能元件。电感的储能为 电感的储能取决于电感的电流，与电感电压值无关。 3电容和电感的一个重要性质是连续性，其内容是若电容电流iC(t)在闭区间t1,t2内有界，则电容电压

8、uC(t)在开区间(t1,t2) 内是连续的。例如电容电流iC(t)在闭区间0+,0-内有界，则有 若电感电压uL(t)在闭区间t1,t2 内有界，则电感电流iL(t)在开区间(t1,t2) 内是连续的。 例如电感电压uL(t)在闭区间0+,0-内有界，则有 利用电容电压和电感电流的连续性，可以确定电路中开关转换 (又称为换路) 引起电路结构和元件参数等改变时，电容电压和电感电流的初始值，初始值是求解微分方程时必须知道的数据。 4二端电阻、二端电容和二端电感是三种最基本的电路元件。它们是用两个电路变量之间的关系来定义的。这些关系从下图可以清楚看到。在四个基本变量间定义的另外两个关系是: 四个基

9、本电路变量之间的关系 5含动态元件的电路称为动态电路。 根据KCL、KVL和元件VCR方程可以列出动态电路的微分方程。由一阶微分方程描述的电路，称为一阶电路。由二阶微分方程描述的电路，称为二阶电路。 一般来说：由n阶微分方程描述的电路，称为n阶电路。 这两个公式要求先算出电容电流及电感电压的初始值。 6求解n阶微分方程需要知道n个初始条件。除了利用电容电压和电感电流不能跃变的性质，求得t=0+时刻的初始值外，还可以利用以下两个公式计算出电容电压对时间一阶导数的初始值以及电感电流对时间一阶导数的初始值。 7. 动态电路的完全响应由独立电源和储能元件的初始状态共同产生。仅由初始状态引起的响应称为零

10、输入响应；仅由独立电源引起的响应称为零状态响应。线性动态电路的全响应等于零输入响应与零状态响应之和。 8. 动态电路的电路方程是微分方程。其时域分析的基本方法是建立电路的微分方程，并利用初始条件求解。对于线性n阶非齐次微分方程来说，其通解为 fh(t)是对应齐次微分方程的通解，称为电路的固有响应，它与外加电源无关。fp(t)是非齐次微分方程的特解，其变化规律与激励信号的规律相同，称为电路的强制响应。 由一阶微分方程描述的电路称为一阶电路。对于直流激励下的一阶电路来说，其固有响应为fh(t)=Kest。若s0时,当t 时， fh(t)=Kest0，此时fp(t)= f(t)|t= f()。 此时

11、固有响应fh(t)称为暂态响应，强制响应fp(t)称为稳态响应。 只要能够计算出某个响应的初始值f(0+)，稳态值f()和电路的时间常数 这三个要素，利用以上通用公式，就能得到该响应的表达式，并画出波形曲线。对于仅含有一个电容或一个电感的一阶电路来说，只需要求解几个直流电阻电路，即可得到这三个要素的数值。这种计算一阶电路响应的方法，称为三要素法。 10. 三要素法还可以用来求解分段恒定信号激励的一阶电路以及含有几个开关的一阶电路。 9. 直流激励下一阶电路中任一响应的通用表达式为 11. 阶跃响应是电路在单位阶跃电压或电流激励下的零状态响应，一阶电路的阶跃响应可以用三要素法求得。 12. 时间

12、常数大于零的一阶电路，在正弦激励下的响应由暂态响应和正弦稳态响应两部分组成，当暂态响应衰减到零时，电路中的全响应就是正弦稳态响应，此时称电路处于正弦稳态。例1 习题728解体思路：（1）先求时间常数：（2）再求零输入响应：（3）后求零状态响应：列写方程通解为：设特解为：代入原方程，求得Q-9.9则由初始条件iL(0)=0，得K9.9故零状态响应为（4）全响应为：例2 电路如图所示，以uC(t)为变量列出电路(RLC Circuits)的微分方程。 解：以iL(t)和iC(t)为网孔电流，列出网孔方程 代入电容的VCR方程 得到以iL(t)和uC(t)为变量的方程 从式(2)得到 将iL(t)代

13、入式(1)中 经过整理得到以下微分方程 这是常系数非齐次二阶微分方程，图示电路是二阶电路。 例3 图(a)所示电路在t=0时闭合开关，求电容电压uC(t)和电流i2(t)的零状态响应。 解：在开关闭合以后，与电容连接的含有独立电压源和受 控源的电阻单口网络用图(c)所示的戴维南等效电 路代替，其中 用外加电源法求图(b)所示电阻单口网络的输出电阻Ro 时间常数为 用三要素公式得到电容电压的表达式 从图(a)电路中开关闭合后的电路求得电流 i2(t) 相量法分析正弦稳态的主要步骤：(一) 画出电路的相量模型。 (二) 根据KCL、KVL和元件VCR相量形式，建立复系数电路方程或写出相应公式，并求解得到电压电流的相量表达式。 (三) 根据所计算得到的电压相量和电流相量，写出相应的瞬时值表达式。 例4 电路如图(a)所示，已知 试用网孔分析、节点分析和戴维南定理计算电流i2(t)。 解：画出图(a)的相量模型，如图(b)所示，其中 1.网孔分析代入