利用角平分线构造全等三角形

1、利用角平分线构造全等三角形第1页，共12页，2022年，5月20日，13点57分，星期一如何利用三角形的中线来构造全等三角形？复习： 可以利用倍长中线法，即把中线延长一倍，来构造全等三角形。 如图，若AD为ABC的中线， 必有结论：ABCDE12 延长AD到E，使DE=AD，连结BE（也可连结CE）。ABDECD，1=E，B=2，EC=AB，CEAB。第2页，共12页，2022年，5月20日，13点57分，星期一 可以利用角平分线所在直线作对称轴，翻折三角形来构造全等三角形。 如何利用三角形的角平分线来构造全等三角形？问题： 如图，在ABC中，AD平分BAC。方法一：ABCDE必有结论：在AB

2、上截取AE=AC，连结DE。ADEADC。ED=CD，3*21AED=C，ADE=ADC。第3页，共12页，2022年，5月20日，13点57分，星期一方法二：ABCDF延长AC到F，使AF=AB，连结DF。必有结论：ABDAFD。BD=FD， 如何利用三角形的角平分线来构造全等三角形？问题：3*21 如图，在ABC中，AD平分BAC。 可以利用角平分线所在直线作对称轴，翻折三角形来构造全等三角形。B=F，ADB=ADF。第4页，共12页，2022年，5月20日，13点57分，星期一 如何利用三角形的角平分线来构造全等三角形？问题：ABCDMN方法三：作DMAB于M，DNAC于N。必有结论：A

3、MDAND。DM=DN，3*21 如图，在ABC中，AD平分BAC。 可以利用角平分线所在直线作对称轴，翻折三角形来构造全等三角形。AM=AN，ADM=AND。 （还可以用“角平分线上的点到角的两边距离相等”来证DM=DN）第5页，共12页，2022年，5月20日，13点57分，星期一证明：例题已知：如图，在四边形ABCD中，BD是ABC的角平分线，AD=CD，求证：A+C=180DABCE在BC上截取BE，使BE=AB，连结DE。 BD是ABC的角平分线（已知）1=2（角平分线定义）在ABD和EBD中 AB=EB（已知） 1=2（已证） BD=BD（公共边）ABDEBD（）1243 3+ 4

4、180（平角定义），A3（已证）A+ C180 （等量代换）321* A3（全等三角形的对应角相等） AD=CD（已知），AD=DE（已证）DE=DC（等量代换）4=C（等边对等角）AD=DE（全等三角形的对应边相等）第6页，共12页，2022年，5月20日，13点57分，星期一证明:例题已知：如图，在四边形ABCD中，BD是ABC的角平分线，AD=CD，求证：A+C=180DABCF延长BA到F，使BF=BC，连结DF。 BD是ABC的角平分线（已知）1=2（角平分线定义）在BFD和BCD中 BF=BC（已知） 1=2（已证） BD=BD（公共边）BFDBCD（）1243 FC（已证）4=C

5、（等量代换）321* FC（全等三角形的对应角相等） AD=CD（已知），DF=DC（已证）DF=AD（等量代换）4=F（等边对等角） 3+ 4180 （平角定义）A+ C180 （等量代换）DF=DC（全等三角形的对应边相等）第7页，共12页，2022年，5月20日，13点57分，星期一证明:例题已知：如图，在四边形ABCD中，BD是ABC的角平分线，AD=CD，求证：A+C=180DABCM作DMBC于M，DNBA交BA的延长线于N。 BD是ABC的角平分线（已知）1=2（角平分线定义） DNBA，DMBC（已知）N=DMB=90（垂直的定义）在NBD和MBD中 N=DMB （已证） 1=

6、2（已证） BD=BD（公共边）NBDMBD（）12 4=C（全等三角形的对应角相等） N43321* ND=MD（全等三角形的对应边相等） DNBA，DMBC（已知）NAD和MCD是Rt在RtNAD和RtMCD中 ND=MD （已证） AD=CD（已知）RtNADRtMCD（H.L） 3+ 4180（平角定义）， A3（已证）A+ C180（等量代换）第8页，共12页，2022年，5月20日，13点57分，星期一证明:例1已知：如图，在四边形ABCD中，BD是ABC的角平分线，AD=CD，求证：A+C=180DABCM作DMBC于M，DNBA交BA的延长线于N。12N43321* BD是AB

7、C的角平分线（已知） DNBA，DMBC（已知） ND=MD（角平分线上的点到这 个角的两边距离相等） 4=C （全等三角形的对应角相等） DNBA，DMBC（已知）NAD和MCD是Rt在RtNAD和RtMCD中 ND=MD （已证） AD=CD（已知）RtNADRtMCD（H.L） 3+ 4180（平角定义） A3（已证）A+ C180（等量代换）第9页，共12页，2022年，5月20日，13点57分，星期一练习如图，已知ABC中，AD是BAC的角平分线，AB=AC+CD，求证：C=2BABCDE1221证明:在AB上截取AE，使AE=AC，连结DE。 AD是BAC的角平分线（已知）1=2（

8、角平分线定义）在AED和ACD中 AE=AC（已知） 1=2（已证） AD=AD（公共边）AEDACD（）3B=4（等边对等角）4* C3（全等三角形的对应角相等)又 AB=AC+CD=AE+EB（已知）EB=DC=ED（等量代换） 3= B+4= 2B（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和）C=2B（等量代换）ED=CD（全等三角形的对应边相等）第10页，共12页，2022年，5月20日，13点57分，星期一练习如图，已知ABC中，AD是BAC的角平分线，AB=AC+CD，求证：C=2BABCDF12证明:延长AC到F，使CF=CD，连结DF。 AD是BAC的角平分线（已知）1=2（角平分线定义） AB=AC+CD，CF=CD（已知） AB=AC+CF=AF（等量代换） ACB= 2F（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和）ACB=2B（等量代换）321*在ABD和AFD中 AB=AF（已证） 1=2（已证） AD=AD（公共边）ABDAFD（） FB（全等三角形的对应角相等） CF=CD（已知）B=3（等边对等角）第11页，共12页，2022年，5月20日，13点57分，星期一如何利用三角形的角平分线来构造全等三角形？小结：（3）作DMAB于M，DNAC于N。（1）在AB上截取AE=AC，连结DE。（2）延长AC到F，使AF=A