函数在某一个点处连续的定义

1、函数在某一个点处连续的定义1第1页，共40页，2022年，5月20日，9点27分，星期一 若 f(x), g(x)都在点x0处连续，则根据极限的四则运算法则有 即连续函数的和差仍然是连续函数 即连续函数的乘积仍然是连续函数若 g(x0)0 则 即在分母不为零的情况下，连续函数的商仍然是连续函数 由前面我们知道 y=c y=x都是连续函数，所以它们的乘积，和差都连续函数，所以反复的和差乘积得到 在定义域内的每一点都连续2第2页，共40页，2022年，5月20日，9点27分，星期一 函数 （P,Q是多项式）在其定义域内每一点都连续Sinx cosx 也是R上的连续函数所以得到 tanx cotx

2、在其定义域内连续定理 4.5 对于复合函数y=g(f(x)，若函数f在点x0连续，g在点u0=f(x0) 连续，则复合函数g.f在点x0连续。证明 要证明复合函数 gf在点x0连续，按定义，只要证明 要证明这个极限等于它，按定义任给 找 当 时 因为 g在 u0处连续 所以存在 ，当 时，有 3第3页，共40页，2022年，5月20日，9点27分，星期一 又因为 f在x0处连续， 所以对上面的 存在 当 时 有 即 从而有：当 时 有 从而 由这个定理得到 即 4第4页，共40页，2022年，5月20日，9点27分，星期一 例如 求 解：这个函数可以看做是由函数 sinu u=1-x2复合而得

3、到的。由于函数 sinu 1-x2等都是连续函数所以 其实对于公式 并非一定要求里面的函数一定要是连续函数，其实只要里面的函数在x0处有极限a，至于函数在该点处的函数值是否等于这个a，以及在该点处是否有定义我们都不用管，而外面的函数在a处又连续 5第5页，共40页，2022年，5月20日，9点27分，星期一 即 若 则 和刚才证明定理的一样：任给 找 当 时 因为 g在 a处连续 所以存在 ，当 时，有又因为 所以对上述的 存在 当 时 有 从而6第6页，共40页，2022年，5月20日，9点27分，星期一 即当 时，有 所以 例 求极限 （1） （2）解：这个函数是由这两个函数 复合得到 7

4、第7页，共40页，2022年，5月20日，9点27分，星期一 函数在某一点处连续的一些性质 :局部有界性、局部保号性、复合的连续性 函数在一个闭区间上的连续的性质： 定义1 设f为定义在数集D上的函数，若存在x0D，使得对一切xD,都有 则称f在D上有最大（最小）值，并称f(x0)为f在D上的最大（最小）值。例如 函数 y=sinx 在闭区间 上 最大值是1， 最小值是0是不是任何一个函数在其定义域上都有最大值、最小值呢 ？8第8页，共40页，2022年，5月20日，9点27分，星期一 例如 函数 y=x (0,1) 则它既没有最大值也没有最小值函数 闭区间0,1上也既没最大值也没有最小值 定

5、理4.6 （最大、最小值定理） 若函数f在闭区间a,b上连续，则f在a,b上有最大最小值推论 （有界性定理） 若函数f在闭区间a,b上连续，则f在a,b上有界9第9页，共40页，2022年，5月20日，9点27分，星期一 定理4.7 （介值定理） 设函数f在闭区间a,b上连续，且, 若u为介于f(a)与f(b)之间的任何实数（f(a)uuf(b)）, 则至少存在一点,使得 从而 同时当 异号，则必有一个正、一个负，因此 0必在这个值域区间中，从而必至少有一个自变量 ，使得 推论（根的存在定理）若函数f在闭区间a,b上连续，且f(a)与f(b)异号，则至少存在一个点x0a,b,使得f(x0)=0

6、,即方程f(x)=0在(a,b)内至少有一个根。10第10页，共40页，2022年，5月20日，9点27分，星期一 f(a) 与 f(b) 异号至少一个点的函数值为0 一般地， ，I是一个区间，但未必是一个闭区间，函数y=f(x)在I上连续，任意取 ，因为函数在I上连续，从而在闭区域c,d上连续，因此 ，由闭区间上的介值定理有 ，这说明任意的两个不同的函数值所组成这个区间都包含在这个函数的值域中，所以值域是一个区间，即I是区间，且f在I上连续，则函数的值域也是一个区间。11第11页，共40页，2022年，5月20日，9点27分，星期一 闭区间上连续的函数，有最大值M, 最小值m, 从而区间为m

7、,M必包含在f(I)中，又函数值最大就是M，最小是m，所以值域最大也就能为m,M,因此f(I)=m,M 若函数在这个区间是增函数，则最大值为f(b),最小值为f(a),因此值域为f(a),f(b)，若是减函数，则值域为 f(b),f(a) 闭区间上连续函数的几点性质，最大最小值定理， 有界性定理，根的存在定理12第12页，共40页，2022年，5月20日，9点27分，星期一例 3 证明 ：若 r0, n 为正整数，则存在唯一正数x0， 使得 （称为r的n次正根(即算术根)，记作 ）证明： 存在性: 要证明存在一个数x0， 使得 ，利用介值定理来证明，首先就必须构造一个闭区间上连续的函数，根据所

8、要证明的式子，我们构造函数 由于 0n=0, 所以存在正数a， 使得 考虑函数 则这个函数在这个闭区间上连续 且 f(0)rf(a)由介值定理，存在 ，使得 再证唯一性 设还有另一个整数x1，使得xn1=r ，则有 从而 x0=x113第13页，共40页，2022年，5月20日，9点27分，星期一 例 4 设f在a,b上连续，满足 证明：存在 ，使得 分析，要找一个 使得 ， 即考虑用根的存在定理， 作函数 F (x)=f (x) -x，则F(x)在a,b上连续，并且由所以 F (a)=f(a)-a0 F (b)=f(b)-b0上面的两个不等式，若其中至少有一个成立，则命题成立。若两个不等式的

9、等号都不成立，则这时两端的函数值异号，由根的存在定理得到，存在 ，使得 14第14页，共40页，2022年，5月20日，9点27分，星期一 连续函数的复合是连续函数，连续函数若存在反函数时，反函数是否连续？定理4.8 若函数f在a,b上严格单调并连续，则反函数f-1在其定义域f(a), f(b)或f(b), f(a) 上连续 证明： 不妨设f在a,b上严格增，由于f是单调函数，所以f有反函数f-1，并且由闭区间上连续函数性质得到，f的值域为f (a), f (b)， 从而 f-1的定义域为f (a), f (b) 任取 对端点一样证明 往下证明在该点处连续，即： 即任给的 找 当 时有15第1

10、5页，共40页，2022年，5月20日，9点27分，星期一 设 即 在x0的左右两侧分别取 x1 , x2 ,且使得设 根据函数是单调递增，所以 取 则当 时 ，有 所以 所以反函数f-1 连续16第16页，共40页，2022年，5月20日，9点27分，星期一 例5 由于y=sinx在区间 上严格单调且连续，故其反函数y=arcsinx在区间-1,1上连续 同样 y=arccosx在-1,1上连续 y=arctanx 在上连续例6 y=xn (n为整数)在0,+)上严格单调且连续，故其反函数 在0,+ )连续， 而 可以看做 的复合，而这两个函数都是连续函数，所以这个函数也连续 所以得到 （q

11、为非零整数）是其定义域区间上的连续函数17第17页，共40页，2022年，5月20日，9点27分，星期一 例 证明： 有理幂函数 在其定义区间上连续证明： 是有理数，所以 可以表示为 ，这里 p,q都是整数， 所以 可以看做由 与 ，而这两个函数都是连续函数，所以这个函数是连续函数。18第18页，共40页，2022年，5月20日，9点27分，星期一 练习 6 -10 作业 9 19第19页，共40页，2022年，5月20日，9点27分，星期一 练习 P9 1-8 作业 P9 720第20页，共40页，2022年，5月20日，9点27分，星期一 练习 P9 1-8 作业 P9 721第21页，共

12、40页，2022年，5月20日，9点27分，星期一 练习 P9 1-8 作业 P9 722第22页，共40页，2022年，5月20日，9点27分，星期一 练习 P9 1-8 作业 P9 723第23页，共40页，2022年，5月20日，9点27分，星期一 练习 P9 1-8 作业 P9 724第24页，共40页，2022年，5月20日，9点27分，星期一 练习 P9 1-8 作业 P9 725第25页，共40页，2022年，5月20日，9点27分，星期一 练习 P9 1-8 作业 P9 726第26页，共40页，2022年，5月20日，9点27分，星期一 练习 P9 1-8 作业 P9 727

13、第27页，共40页，2022年，5月20日，9点27分，星期一 练习 P9 1-8 作业 P9 728第28页，共40页，2022年，5月20日，9点27分，星期一 练习 P9 1-8 作业 P9 729第29页，共40页，2022年，5月20日，9点27分，星期一 练习 P9 1-8 作业 P9 730第30页，共40页，2022年，5月20日，9点27分，星期一 练习 P9 1-8 作业 P9 731第31页，共40页，2022年，5月20日，9点27分，星期一 练习 P9 1-8 作业 P9 732第32页，共40页，2022年，5月20日，9点27分，星期一 练习 P9 1-8 作业 P9 733第33页，共40页，2022年，5月20日，9点27分，星期一 练习 P9 1-8 作业 P9 734第34页，共40页，2022年，5月20日，9点27分，星期一 练习 P9 1-8 作业 P9 735第35页，共40页，2022年，5月20日，9点27分，星期一 练习 P9 1-8 作业 P9 736第36页，共40页，2022年，5月2