函数的单调性与曲线的凹凸性

1、函数的单调性与曲线的凹凸性第1页，共59页，2022年，5月20日，9点33分，星期一一、单调性的判别法机动 目录 上页 下页 返回 结束 第2页，共59页，2022年，5月20日，9点33分，星期一定理1机动 目录 上页 下页 返回 结束 第3页，共59页，2022年，5月20日，9点33分，星期一证应用拉格朗日中值定理，得机动 目录 上页 下页 返回 结束 第4页，共59页，2022年，5月20日，9点33分，星期一例1解注意: 函数的单调性是一个区间上的性质，要用导数在这一区间上的符号来判定，而不能用一点处的导数符号来判别一个区间上的单调性机动 目录 上页 下页 返回 结束 第5页，共5

2、9页，2022年，5月20日，9点33分，星期一说明：1.此定理只给出了函数在某个区间上单调的充分条件，而不是必要条件。2. 区间内个别点导数为零或导数不存在,不影响区间的单调性.只需用导数为零或导数不存在的点来划分定义区间，就能保证函数的各个部分区间内保持固定的符号，从而使函数在各个部分区间上单调。又例例如机动 目录 上页 下页 返回 结束 第6页，共59页，2022年，5月20日，9点33分，星期一定义: 若函数在其定义域的某个区间内是单调的，则该区间称为函数的单调区间.导数等于零的点和不可导点，可能是单调区间的分界点方法:机动 目录 上页 下页 返回 结束 第7页，共59页，2022年，

3、5月20日，9点33分，星期一例2解单调区间为机动 目录 上页 下页 返回 结束 第8页，共59页，2022年，5月20日，9点33分，星期一例3解单调区间为机动 目录 上页 下页 返回 结束 第9页，共59页，2022年，5月20日，9点33分，星期一例4证机动 目录 上页 下页 返回 结束 第10页，共59页，2022年，5月20日，9点33分，星期一例5证机动 目录 上页 下页 返回 结束 第11页，共59页，2022年，5月20日，9点33分，星期一例6证机动 目录 上页 下页 返回 结束 第12页，共59页，2022年，5月20日，9点33分，星期一机动 目录 上页 下页 返回 结束

4、 证明第13页，共59页，2022年，5月20日，9点33分，星期一机动 目录 上页 下页 返回 结束 证明1利用单调性证：第14页，共59页，2022年，5月20日，9点33分，星期一机动 目录 上页 下页 返回 结束 证明2利用单调性证第15页，共59页，2022年，5月20日，9点33分，星期一机动 目录 上页 下页 返回 结束 证明3利用中值定理证第16页，共59页，2022年，5月20日，9点33分，星期一机动 目录 上页 下页 返回 结束 证明1利用单调性证列表x0_0+0第17页，共59页，2022年，5月20日，9点33分，星期一机动 目录 上页 下页 返回 结束 证明2利用中

5、值定理证由中值定理知 ，第18页，共59页，2022年，5月20日，9点33分，星期一机动 目录 上页 下页 返回 结束 证明3利用泰勒公式证第19页，共59页，2022年，5月20日，9点33分，星期一二、曲线的凹凸性问题:如何研究曲线的弯曲方向?图形上任意弧段位于所张弦的上方图形上任意弧段位于所张弦的下方机动 目录 上页 下页 返回 结束 第20页，共59页，2022年，5月20日，9点33分，星期一定义机动 目录 上页 下页 返回 结束 第21页，共59页，2022年，5月20日，9点33分，星期一机动 目录 上页 下页 返回 结束 第22页，共59页，2022年，5月20日，9点33分

6、，星期一机动 目录 上页 下页 返回 结束 第23页，共59页，2022年，5月20日，9点33分，星期一机动 目录 上页 下页 返回 结束 第24页，共59页，2022年，5月20日，9点33分，星期一机动 目录 上页 下页 返回 结束 第25页，共59页，2022年，5月20日，9点33分，星期一定理2机动 目录 上页 下页 返回 结束 第26页，共59页，2022年，5月20日，9点33分，星期一机动 目录 上页 下页 返回 结束 第27页，共59页，2022年，5月20日，9点33分，星期一机动 目录 上页 下页 返回 结束 第28页，共59页，2022年，5月20日，9点33分，星期

7、一机动 目录 上页 下页 返回 结束 由定义2，(1)成立。同理可以证明(2)。第29页，共59页，2022年，5月20日，9点33分，星期一例10解注意到,机动 目录 上页 下页 返回 结束 第30页，共59页，2022年，5月20日，9点33分，星期一推论：机动 目录 上页 下页 返回 结束 第31页，共59页，2022年，5月20日，9点33分，星期一例11解：机动 目录 上页 下页 返回 结束 (1)(2)第32页，共59页，2022年，5月20日，9点33分，星期一三、曲线的拐点及其求法1、定义注意: 拐点处的切线必在拐点处穿过曲线。2、拐点的求法机动 目录 上页 下页 返回 结束

8、第33页，共59页，2022年，5月20日，9点33分，星期一证机动 目录 上页 下页 返回 结束 第34页，共59页，2022年，5月20日，9点33分，星期一例12解凹的凸的凹的拐点拐点机动 目录 上页 下页 返回 结束 第35页，共59页，2022年，5月20日，9点33分，星期一注意:例13解机动 目录 上页 下页 返回 结束 第36页，共59页，2022年，5月20日，9点33分，星期一机动 目录 上页 下页 返回 结束 求函数 f (x) 的拐点的步骤：注意：例第37页，共59页，2022年，5月20日，9点33分，星期一定理5证明：机动 目录 上页 下页 返回 结束 第38页，共

9、59页，2022年，5月20日，9点33分，星期一例14解机动 目录 上页 下页 返回 结束 第39页，共59页，2022年，5月20日，9点33分，星期一四、渐近线定义:1.铅直渐近线机动 目录 上页 下页 返回 结束 第40页，共59页，2022年，5月20日，9点33分，星期一例如有铅直渐近线两条:机动 目录 上页 下页 返回 结束 第41页，共59页，2022年，5月20日，9点33分，星期一2.水平渐近线例如有水平渐近线两条:机动 目录 上页 下页 返回 结束 第42页，共59页，2022年，5月20日，9点33分，星期一3.斜渐近线斜渐近线求法:显然，水平渐近线是斜渐近线的特例。机

10、动 目录 上页 下页 返回 结束 第43页，共59页，2022年，5月20日，9点33分，星期一证明：由渐近线的定义，有要使此时成立，必须机动 目录 上页 下页 返回 结束 第44页，共59页，2022年，5月20日，9点33分，星期一注意:例15解机动 目录 上页 下页 返回 结束 第45页，共59页，2022年，5月20日，9点33分，星期一机动 目录 上页 下页 返回 结束 第46页，共59页，2022年，5月20日，9点33分，星期一机动 目录 上页 下页 返回 结束 第47页，共59页，2022年，5月20日，9点33分，星期一五、小结1. 单调性的判别（它是拉格朗日中值定理的重要应

11、用）.3. 应用：利用函数的单调性可以确定某些方程实根的个数和证明不等式.单调性2. 单调区间的求法机动 目录 上页 下页 返回 结束 第48页，共59页，2022年，5月20日，9点33分，星期一曲线的弯曲方向凹凸性;改变弯曲方向的点拐点;1 凹凸性的判定.2 拐点的求法.凹凸性及拐点渐近线的求法机动 目录 上页 下页 返回 结束 第49页，共59页，2022年，5月20日，9点33分，星期一习题(3-4)P151 3 (2)(5) ; 4 (2)(3)(4) ; 8 (2)(4)(6) ; 9 (3) ; 11；12 ; 13 ; 作业机动 目录 上页 下页 返回 结束 第50页，共59页

12、，2022年，5月20日，9点33分，星期一思考题1解答不能断定.例但机动 目录 上页 下页 返回 结束 思考题1第51页，共59页，2022年，5月20日，9点33分，星期一当 时，当 时，注意 可以任意大，故在 点的任何邻域内， 都不单调递增机动 目录 上页 下页 返回 结束 第52页，共59页，2022年，5月20日，9点33分，星期一思考题2解答例机动 目录 上页 下页 返回 结束 思考题2第53页，共59页，2022年，5月20日，9点33分，星期一思考题 3 解答机动 目录 上页 下页 返回 结束 思考题3第54页，共59页，2022年，5月20日，9点33分，星期一思考与练习上则或的大小顺序是 ( )提示: 利用单调增加 ,及B1. 设在机动 目录 上页 下页 返回 结束 第55页，共59页，2022年，5月20日，9点33分，星期一 ; .2. 曲线的凹区间是凸区间是拐点为提示:及 ;第五节 目录 上页 下页 返回 结束 第56页，共59页，2022年，5月20日，9点33分，星期一1.求证曲线 有位于一直线的三个拐点.证明：备