课件概率论概率统计

1、4随机变量的数字特征4.1数学期望与方差4.2协方差及相关系数4.3大数定律与中心极限定理内容学习目标1.数学期望，方差（一维、二维）2.协方差，相关系数，不相关与相互独立3.Chebyshev不等式，大数定律，中心极限定理数学期望与方差4.1如,甲、乙两门炮同时向一目标射击10发炮弹，其落点距目标的位置如图： 中心中心甲炮射击结果乙炮射击结果你认为哪门炮射击效果好一些呢?乙炮因为乙炮的弹着点较集中在中心附近 .定义 设离散型随机变量X的分布律为为随机变量X的数学期望，简称期望或均值，例 若X的分布律为：X -1 0 1 1.5P 0.1 0.2 0.3 0.4 解 已求出分布律为：XY例 若

2、（X，Y)的分布律为：1/3121201/31/3求 X，Y，X+Y的数学期望。解 定义 设连续型随机变量X的分布密度为p(x),为X的数学期望，记作E(X),即例 假定国际市场每年对我国某产品的需求量X是一个随机变量（单位：t），它在区间2000，4000上服从均匀分布。已知每售出一吨该产品，可赚外汇3万美元；若售不出去，则每吨需仓储费一万美元。外贸部门每年应组织多少吨货源，才能使收益最大？解 收益多少是由销售量和组织的货源量共同确定的以y表示组织的货源量，X表示需求量（随机变量），收益量是X的函数，记作Y.则例 若X的分布律为：X -1 0 1 1.5P 0.1 0.2 0.3 0.4 解

3、例 若（X，Y)的分布律为：XY1/3121201/31/3试求X，Y，X+Y的方差。解例 设X的分布密度为：求随机变量X、2X-1、X2的数学期望及X的方差.（1）若k为常数，则E(k)=k;（2）若k为常数且E(X)存在，则E(kX)=kE(X);（3）若E(X)与E(Y)都存在，则E(XY)=E(X)E(Y);证明 以连续为例由(3)可知，若k为常数，则E(Xk)=E(X)k,这还可推广到多个随机变量的情形（4）若E(X)与E(Y)都存在，且X与Y相互独立时，则E(XY)=E(X)E(Y)。请注意:由E(XY)=E(X)E(Y)不一定能推出X,Y 独立D(X)方差的性质：（1）若k为常数

4、，则D(k)=0;（2）若k为常数，则D(kX)=k2D(X);（3）当X与Y相互独立时，D(XY)=D(X)+D(Y).证明DYX与Y独立例 掷一颗六面体骰子，直到出现5点为止，问平均需掷多少次？解 设X表示首次掷得5点的次数，则X的所有可能值为1，2，例 设某厂有能力生产A,B,C三种产品，在不同的市场情况下盈亏表如下 (单位：元)，问生产哪种产品为最佳决策? 销售状况ABC畅销0.259000120006000一般0.40600063003700较差0.25150022001300滞销0.1025003000750概率盈亏值产品B产品风险最大，期望最高；C产品风险最小，期望也最小；A产品

5、居中。协方差convariance及相关系数correlation coefficient4.2定义特别地例 设二维随机变量(X,Y)的分布密度解同理 E(Y)=0特别地例 设XU-1,1,即X的分布密度4.3central limit theorem与中心极限定理大数定律law of large number1. Chebyshev不等式Chebyshev 2. Chebyshev大数定律此推论表明，重复独立试验的观测数据的算术平均值依概率收敛于它的数学期望。3. Bernoulli大数定律4. 中心极限定理独立同分布中心极限定理例 从次品为0.05的一批产品中随机地取200件产品，计算取出的产品中至少有3个次品的概率。解 设X表示取出的200件产品中的次品数，则XB(200,0.05)(1) 用二项分布计算(2) 用泊松分布计算(3) 用中心极限定理计算例 一大批产品的次品率为0.1，如在随机抽查的n件中次品数超过50件的概率大于0.8，试求n.解 若n件中有X件次品，则XB(n,0.1),三、四章小结离散型 几个重要结论（1）若X与Y相互独立且都服从B(1,p),则X+YB(2,p).（2）若X1, X2, Xn相互独立且都服从B(1,p),则（3）若X与Y相互独立且XB(