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文档简介

1、空间向量的正交分解及其坐标表示空间向量正交分解及其坐标表示一、空间向量基本定理：如果三个向量a,b,c不共面，那么对空间任一向量p,存在有序实数组x,y,z,使得p=xa+yb+zc.空间所有向量的集合p|p=xa+yb+zc,x,y,zRa,b,c叫做空间的一个基底，a,b,c都叫做基向量。二、空间直角坐标系 单位正交基底：如果空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长都为1，则这个基底叫做单位正交基底，常用 i , j , k 表示 空间直角坐标系：在空间选定一点O和一个单位正交基底 i、j、k 。以点O为原点，分别以i、j、k的正方向建立三条数轴：x轴、y轴、z轴，它们都叫做坐标轴.这样就

2、建立了一个空间直角坐标系O-xyz 点O叫做原点，向量I、j、k都叫做坐标向量.通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面。 在空间直角坐标系O-xyz中，对空间任一点，A,对应一个向量OA，于是存在唯一的有序实数组x,y,z，使 OA=xi+yj+zk 在单位正交基底i, j, k中与向量OA对应的有序实数组(x,y,z)，叫做点A在此空间直角坐标系中的坐标，记作A(x,y,z)，其中x叫做点A的横坐标，y叫做点A的纵坐标，z叫做点A的竖坐标.三、向量的直角坐标运算.设则设A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2),则AB=OB-OA=(x2,y2,z2)-(x1,y1,z1) =(x2-x1,

3、y2-y1,z2-z1). 一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标. 空间向量坐标运算法则，关键是注意空间几何关系与向量坐标关系的转化，为此在利用向量的坐标运算判断空间几何关系时，首先要选定单位正交基，进而确定各向量的坐标。四、距离与夹角1.距离公式（1）向量的长度（模）公式设则（2）空间两点间的距离公式 两个向量的夹角的定义OAB两个向量的数量积注意：两个向量的数量积是数量，而不是向量.零向量与任意向量的数量积等于零。两个向量夹角公式注意：（1）当 时，同向；（2）当 时，反向；（3）当 时，。3）射影BAA1B1注意：是轴l上的正射影,A1B1是一个可正可负的实数，它的符号代表向量与l的方向的相对关系，大小代表在l上射影的长度。4)空间向量的数量积

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