4.2.1 指数函数的概念 高中数学人教A版必修第一册优质课

1、 第四章 指数函数与对数函数4.2 指数函数4.2.1 指数函数的概念教学设计一、教学目标1.通过实际问题提炼出指数函数的概念，达到数学抽象和直观想象核心素养学业质量水平一的层次 2.理解指数函数中底数的取值范围，达到逻辑推理核心素养学业质量水平一的要求二、教学重难点1.教学重点指数函数的概念及其应用2.教学难点将实际问题转化为数学模型三、教学过程（一）新课导入问题1：当生物死亡后，它机体内原有的碳14含量会按确定的比率衰减（称为衰减率），大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”按照上述变化规律，生物体内碳14含量与死亡 年数之间有怎样的关系?师问：（1）生物死亡后体内碳1

2、4含量每年衰减的比例是多少？（2）能否求出生物体内碳14含量随死亡年数变化的函数解析式？师生活动：教师提出问题，并让学生对提出的问题进行思考通过对问题的分析，引导学生用函数y 1 15730 2 xx0,刻画碳14衰减的规律设计意图：通过描述碳14衰减的规律，引出用函数刻画指数衰减的问题，为抽象得到指数函数作准 备问题2：随着中国经济高速增长，人民生活水平不断提高，旅游成了越来越多家庭的重要生活方式， 由于旅游人数不断增加， A，B 两地景区自2001年起采取了不同的应对措施， A 地提高了景区门票 价格，而 B 地则取消了景区门票，表4.2-1（见教材）给出了 A，B 两地景区2001年至2

3、015年的游客人次以及逐年增加量.11 1 比较两地景区游客人次的变化情况，你发现了怎样的变化规律?师问：（1）能否作出 A，B 两地景区游客人次变化的图象，根据图象并结合年增加量，说明两地景 区游客人次的变化情况？（2）我们发现，用“增加量”不能刻画B地景区游客人次的变化规律.能不能换一个量来刻画？例如用“增长率”，即从2002年起，将 看能否发现什么规律？B地景区每年的游客人次除以上一年的游客人次，看（3）能否求出两地景区游客人次随时间（经过的年数）变化的函数解析式，并根据解析式说明 两地景区游客人次的变化情况？师生活动：教师给出问题，并通过追问引导学生对问题进行分析.首先通过画出图象直观

4、感受A,B两地景区游客增长的情况；为进一步刻画和比较两地游客人次的变化规律，需要通过对相邻两 年游客人次进行运算，得到 B 地景区游客人次年增长率为常数，进而将其用函数y 1.11xx0,来描述.设计意图：通过寻求A，B两地景区游客人次增加的规律，引出用函数刻画指数增长的问题，为抽象出指数函数作准备.学生讨论思考，总结关系式y 1.11x （x 0,+），y（ ）5730）x （x 0,+）.2问题3：比较问题1,2中的两个实例：碳14衰减与 什么共同特征？B地景区游客人次增长，它们所反映的变化规律有师问：（1）从碳14衰减和游客人次增长的数据看，它们的变化有什么共同特征？ （2）从碳14衰减

5、和游客人次增长的图象看，它们的变化有什么共同特征？ 1 15730（3）碳14衰减的函数解析式 y 2 xx0,与B地景区游客人次增长的函数解析式y 1.11x x0,有什么共同特征？师生活动：教师引导学生从数据、图象、解析式等角度进行归纳概括，发现刻画问题1中的指数衰减和问题2中的指数增长的函数的共同特征.从解析式上看，如果用字母a代替两个式子中的底数，并将自变量的取值范围扩展到实数集，那么上述两个函数就都可以表示为 y a x a0且a 1的形式，从而引出指数函数的概念.（二）探索新知21 1 x 指数函数的概念：师问:y 1.11x （x 0,+），y（ ）5730）x （x 0,+）.

6、2这类函数的解析式有何共同特征?学生回答：函数解析式都是指数形式，底数为定值，且自变量在指数位置思考：若用a代替两个式子中的底数，并将自变量的取值范围扩展到实数集则得到什么? 学生讨论总结教师讲解：指数函数的定义：一般地，函数y axa0且a 1叫做指数函数，其中指数 x 是自变量，定义域为R设计意图：通过分析、比较两个实例，概括它们的共同本质特征，从而得到指数函数概念的本质属 性，得出指数函数的概念思考：指数函数的定义域是什么?其定义中指明了底数a 0且a 1，为什么会有这样的限制条件?根据指数函数的定义来判断说明：因为a 0，x是任意一个实数时， a x 是一个确定的实数，所以函数的定义域

7、为实数集 R 教师提问1：当 a 0 时，指数函数还有没有意义?教师提问2：当a 0时，有哪些自变量取值对应的函数值不存在?教师提问3：当a 1时，指数函数还有没有研究价值?学生举例说明教师总结 ：若a 0,当x 0 时， a = 0，当x 0时， ax无意 义.若a 0，如y 2x，当x 1 1, x 6 8等时，在实数范围内的函数值不存在若a 1，y 1x 1，是一个常量，没有研究的意义故只有满足y axa0且a 1的形式才能称为指数函数， a 为常数如：1y 2 3 x , y 2 x , y x x , y 3 x 1都不符合y a x a0且a 1的形式，所以都不是指数函数判断：（1

8、）y x2是指数函数（ ）3（ 4） y （2）y 2x 1是指数函数（ ）（3）指数函数的图象一定在轴的上方（ ）举一反三：判断下列函数是否为指数x函数（1）y 2x 2（2）y 2x（3）y 2x x（三）典例解析例1 已知指数函数f xaxa0且a1,且f3,求f 0，f1，f3的值.分析:要求f 0，f1，f3的值，首先求出f xax的解析式，再把0，1，-3分别代入，即可求得设计意图：通过求函数解析式，并根据解析式求不同的函数值，从指数函数的对应关系和变化规律 的角度理解指数函数的概念跟踪训练：已知函数f x为指数函数，且f 24，则fx_【答案】2 x设f xaxa0且a1，则f2

9、a24， a 2 ( a 2舍去)，f x2x规律方法1在指数函数定义的表达式中，要牢牢抓住三点： (1)底数是大于 0 且不等于 1 的常数；(2)指数函数的自变量必须位于指数的位置上；(3)ax的系数必须为 12求指数函数的解析式常用待定系数法例2 （1）在问题1中，生物死亡10 000年后，它体内碳14的含量衰减为原来的百分之几?（2）在问题 2中，如果平均每位游客出游一次可给当地带来 1000元门票之外的收入， A地景区 的门票价格为150元，比较这15年间A，B两地旅游收人变化情况分析：可将A，B两地这15年间的旅游收人变化情况在图形上表示出来，根据图象进行比较，然后把 相关数据代人

10、指数函数解析式中进行计算即可，注意要使用计算器辅助解题教师通过对教材中两个问题的详细解答，指出像这样呈指数衰减或指数增长的情况在实际生活中是十分常见的，例如，在自然条件下，细胞的分裂、人口的增长、放射性物质的衰减等问题都需要我 们掌握这种指数函数模型的建构方法设计意图：在引入概念的两个实例基础上，利用指数函数概念进一步解决与两个实例有关的问题，4 从而巩固对概念的理解 （四）当堂达标1下列函数一定是指数函数的是( )Ay 2x 1By x3Cy 3 2xD y 1x【答案】D 由指数函数的定义可知 D 正确2下列图象中，有可能表示指数函数的是（ ）A B C D 【答案】C 由指数函数的增长速度及定义，可知 C 正确3已知函数y a 2 3a 3 ax是指数函数，求a的值设计意图：通过练习巩固本节所学知