经济数学基础（第六版）（上册）课件 第11讲3.1中值定理,3.2洛必达法则

经济数学教材辅导第11讲顾静相3.1

中值定理3.2洛必达法则教学要求

了解罗尔定理和拉格朗日中值定理；

会用洛必达法则求未定式的极限．中值定理右图中是一个在区间

(a,b)内可导的函数

y=f(x)的图象,它是一条光滑曲线，这条曲线的两个端点A、B的纵坐标相等，即

f(a)=f(b)．可以看到，在这样一条曲线上存在着点(

1,f(

1))，(

2,f(

2))，使其在这些点处具有水平切线，即函数在这样的点处导数等于零．罗尔Rolle定理

定理3.1

如果函数

y=f(x)满足条件：

（1）在[a,b]上连续；

（2）在(a,b)内可导；

（3）

f(a)=f(b)，那么在区间(a,b)内至少存在一点

，使

f

(

)=0．中值定理例1设函数

．显然

f(x)在区间

[0,3]

上满足罗尔定理的前两个条件，且

f(0)=0，f(3)=0，即第三个条件也成立．因为

，令

f

(x)=0，解得

x=2，2(0,3)．所以取

=2，则有

f

(

)=f

(2)=0．拉格朗日(Lagrange)中值定理

定理3.2

如果函数

y=f(x)满足条件：

（1）在[a,b]上连续；

（2）在(a,b)内可导，那么在区间(a,b)内至少存在一点

，使得

．拉格朗日中值定理的几何说明右图中平移经过曲线

y=f(x)两个端点A、B的直线，移至与曲线只有一个交点处，如图中的

1的对应点处．在(

1,f(

1))处的切线的斜率即为

f

(

1)，因为两条直线平行，所以f

(

1)与直线AB的斜率

kAB相等，即

f

(

1)=kAB．而

，拉格朗日中值定理的几何说明而，于是有

，其中

1就是满足定理结论的点．拉格朗日中值定理的推论

推论1如果函数

y=f(x)在区间(a,b)内任一点的导数

f

(x)都等于零，则在(a,b)内f(x)是一个常数.

推论2如果函数

f(x)与函数

g(x)在区间(a,b)内的导数处处相等，即f

(x)=g

(x)，则

f(x)与

g(x)在区间

内只相差一个常数．即

f

(x)=g(x)=C．

．柯西(Cauchy)中值定理

定理3.3

如果

f(x)与

g(x)都在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，而且在

(a,b)内

g

(x)0,那么在区间(a,b)内至少存在一点

，使得

．柯西(Cauchy)中值定理

定理3.3

如果

f(x)与

g(x)都在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，而且在

(a,b)内

g

(x)0,那么在区间(a,b)内至少存在一点

，使得

．

上式中，如果

g(x)=x，就是拉格朗日定理，所以拉格朗日定理是柯西定理的特例．两种未定式

在求极限过程中，常常遇到这样的情形：

如

，当

x

0时分子、分母同时趋于0，称为

型未定式．

又如

，当

x

+

时分子、分母同时趋于+

，称为

型未定式．洛必达法则（一）设函数

f(x)与

g(x)满足条件:（1）

；（2）f(x)与

g(x)在点

x0的某个邻域内(点

x0可除外)可导，且

；（3）

（或

）.则(或

).(11.1)洛必达法则（一）例2

求

．洛必达法则（一）例2

求

．解

当

x

0时，有

x-xcosx

0和

x-sinx

0，这是

型未定式．用洛必达法则（一）由于仍是

型未定式，再用洛必达法则（一）洛必达法则（一）解

当

x

0时，有

x-xcosx

0和

x-sinx

0，这是

型未定式．用洛必达法则（一）由于仍是

型未定式，再用洛必达法则（一）洛必达法则（二）设函数

f(x)与

g(x)满足条件:（1）

；（2）f(x)与

g(x)在点

x0的某个邻域内(点

x0可除外)可导，且

；（3）

（或

）.则(或

).

(11.2)洛必达法则（二）例3

求

．洛必达法则（二）例3

求

．解

当

x

0+时，有lncotx∞和lnx∞，这是

型未定式．用洛必达法则（二）洛必达法则

若把

x

x0改为

x

，法则(I)和法则(II)仍然成立.洛必达法则

若把

x

x0改为

x

，法则(一)和法则(二)仍然成立.例4

求

．洛必达法则例4

求

．解

当

x

+∞时，有

0和

0，这是

型未定式．用洛必达法则(一)洛必达法则例5

求

（

n为自然数）．洛必达法则例5

求

（

n为自然数）．解

当

n>0时，由

x

+∞，得ex∞和

xn∞，这是

型未定式．用洛必达法则(二)洛必达法则用洛必达法则求极限时应注意以下几点:（1）洛必达法则只适用于求

和

型未定式的极限，因此每次用法则(一)和法则(二)时必须检查所求极限是否为

和

型未定式；（2）如果

仍是

和

型，则可继续使用洛必达法则；洛必达法则（3）如果

不存在且不是

∞，并不表明

不存在，只表明洛必达法则失效，这时应该用其它方法来求极限．洛必达法则（3）如果

不存在且不是

∞，并不表明

不存在，只表明洛必达法则失效，这时应该用其它方法来求极限．

例如

，由于

不存在，故洛必达法则失效．但可以通过简单的恒等变换来求极限：

．其它类型的未定式

除

型和

型未定式外，还有另外五种未定式极限：

．这几种未定式极限的计算，可把它们化为

型或

型，再用洛必达法则进行计算．其它类型的未定式例6

求

．其它类型的未定式例6

求

．解

这是

型未定式，它可以先化为

型未定式，再用洛必达法则(二)求解．已化为

型其它类型的未定式例6

求

．解

这是

型未定式，它可以先化为

型未定式，再用洛必达法则(二)求解．已化为

型一般地，有

，α>0．其它类型的未定式例7

求

．其它类型的未定式例7

求

．解

这是

型未定式，它可以先化为

型未定式，再用洛必达法则(一)求解．已化为

型其它类型的未定式例8

求

．其它类型的未定式例8

求

．解

这是

型未定式．由于被求极限的函数是幂指形式，故先设：

，然后取对数

，并取极限

，

化为

型未定式，