高中数学人教A版高中必修3第一章算法初步-辗转相除法与更相减损术教学设计

1、1.3算法案例 第一课时辗转相除法与更相减损术讲授老师：李海峰 讲授时间：2023年10月29日教学目标：1、理解辗转相除法与更相减损术中蕴含的数学原理，并能根据这些原理进行算法分析2、基本能根据算法语句与程序框图的知识设计完整的程序框图并写出算法程序3、在学习古代数学家解决数学问题的方法的过程中培养严谨的逻辑思维能力，在利用算法解决数学问题的过程中培养理性的精神和动手实践的能力，领会数学计算与计算机计算的区别，充分认识信息技术对数学的促进教学重点：理解辗转相除法与更相减损术求最大公约数的方法以及特点教学难点：把辗转相除法与更相减损术的方法转换成程序框图与程序语言教学用具：教学用多媒体系统使用

2、教材：人教版数学必修3课本第34-38页教学过程：一、知识回顾回顾算法的三种表达方式：自然语言、程序框图、程序语言学生回答：程序框图中的逻辑结构分别有哪些？基本的算法语句是哪些？PPT展示：“判断正整数n（）是否是质数？”的程序框图以及程序语言学生回答：上述框图和语句中体现了何种逻辑结构和基本算法语句。设计意图：巩固前期知识，为本节课的学习做好知识储备。探究新知1、问题情景问题：在小学，我们已经学过求最大公约数的知识，你能求出45与30的最大公约数吗？学生到手作答：（1）答案是多少？（2）该问题中采用了何种计算方法？PPT展示： 45和30的最大公约数是53=15. 采用了短除法的方法。学生思

3、考：“小学学过的求两个数最大公约数的方法？”的具体步骤PPT展示归纳：先用两个数公有的质因数连续去除,一直除到所得的商是互质数为止,然后把所有的除数连乘起来.2、新知产生并应用学生活动：尝试用短除法算出8251和6105的最大公约数.学生在计算过程中感受到因为数字过大以及公因数难找导致运算困难，进而引出本节课的内容辗转相除法。设计意图：学生在尝试的过程中感受到短除法的缺陷，进而有意识地加强了本节课学习的主动性，提升了学习兴趣。教师讲解：第一步：用两数中较大的数除以较小的数，求得商和余数8251=61051+2146学生观察并得出结论： 8251和6105的公约数就是6105和2146的公约数，

4、求8251和6105的最大公约数，只需求出6105和2146的公约数.第二步：对6105和2146重复第一步的做法6105=21462+1813 同理6105和2146的最大公约数也是2146和1813的最大公约数.学生思考：从上述过程中你体会到了什么？并请完成后续步骤。PPT展示：例1 求两个正数8251和6105的最大公约数。解：8251610512146;6105214621813;214618131333333148237;1483740.则37为8251与6105的最大公约数。老师点题：以上我们求最大公约数的方法就是辗转相除法。也叫欧几里德算法，它是由欧几里

5、德在公元前300年左右首先提出的。学生练习：例2 用辗转相除法求225和135的最大公约数学生回答：答案是45，共进行了3次除法运算。学生思考1：从上面的两个例子可以看出计算的规律是什么？学生回答：辗转相除法的算法步骤第一步，给定两个正整数m、n.第二步，计算m除以n所得的余数r.第三步，mn，nr.第四步，若r0，则m、n的最大公约数等于m，否则返回第二步.学生思考2：辗转相除法中的关键步骤是哪种逻辑结构？PPT展示： 采用了循环结构PPT展示：辗转相除法所体现的算法的程序框图：学生活动：写一写相应的程序答案展示：INPUT “ 请输入m,n(mn) ”;m,nDO r=m MOD n m=

6、n n=rLOOP UNTIL r=0PRINT mEND设计意图：通过师生活动的方式将辗转相除法展现给学生，通过活动使得学生可以良好地掌握此法。同时，通过学生自己总结的方式让学生感受算法的产生过程，进一步深化对于程序框图和算法语句的掌握。老师引导：辗转相除法，又叫欧几里得算法，在我国古代也有一种方法可以解决两个正整数较大时求公约数的问题，即九章算术中的更相减损术。算理：可半者半之，不可半者，副置分母、子之数，以少减多，更相减损，求其等也，以等数约之。第一步：任意给定两个正整数；判断他们是否都是偶数。若是，则用2约简；若不是则执行第二步。第二步：以较大的数减较小的数，接着把所得的差与较小的数比

7、较，并以大数减小数。继续这个操作，直到所得的减数和差相等为止，则这个等数就是所求的最大公约数。学生阅读课本，理解算法，配合如下例题进行应用。例3 用更相减损术求98与63的最大公约数解：由于63不是偶数，把98和63以大数减小数，并辗转相减 9863356335283528728721217141477所以，98和63的最大公约数等于7学生活动：用更相减损术求两个正数84与72的最大公约数学生展示：（1）答案；（2）更相减损术的算法步骤。练习答案：（1）练习答案是12；（2）更相减损术的算法步骤第一步:给定两个正整数m，n，不妨设mn.第二步:若m，n都是偶数，则不断用2约简，使它们不同时是偶

8、数，约简后的两个数仍记为m，n.第三步:dmn.第四步:判断“dn”是否成立，若是，则将n，d中的较大者记为m，较小者记为n，返回第三步；否则，2kd(k是约简整数2的个数)为所求的最大公约数.学生感悟：两种算法步骤的区别和联系学生活动：（同桌分工配合）分别用辗转相除法和更相减损术求261和319的最大公约数。学生展示：（1）答案是29；若用辗转相除法，共进行了3次除法，若用更相减损术，共进行了6次减法。设计意图：通过分工合作的趣味对比活动，提升学生的课堂积极性，同时加强对两种算法的区别和分析能力，提升学生对知识的掌握能力。3、课堂小结（学生总结、老师引导）（1）、辗转相除法与更相减损术的算法分别是什么？（2）、两种算法终止运算的条件是什么？（3）、两种算法均采用了哪种逻辑结构？三、课后反思本节内容是对前期内容