均匀实验设计

1、均匀设计均匀设计(uniform design )是中国数学家方开泰和王元于1978年首先提出来的，它是一种只考虑试验点在试验范围内均匀散布的一种试验设计方法。与正交试验设计类似、均匀设计也是通过一套精 心设计的均匀表来安排试验的。由于均匀设计只考虑试验点的“均匀散布”而不考虑“整齐可比”，因而可以大大减少试验次数，这是它与正交设计的最大不同之处。例如，在因素 数为5,各因素水平数为31的试验中，若采用正交设计来安排试验，则至少要作3俨=961次试验，这将令人望而生畏，难以实施，但是若采用均匀设计，则只需作31次试验。可 见，均匀设计在试验因素变化范围较大，需要取较多水平时，可以极大地减少试验

2、次数。经过20多年的发展和推广，均匀设计法已广泛应用于化工、医药、生物、食品、军事工程、电子、社会 经济等诸多领域，并取得了显著的经济和社会效益。 1.均匀设计表1.1等水平均匀设计表均匀设计表，简称均匀表，是均匀设计的基础，与正交表类似，每一个均匀设计表都有一个代号，等水平均匀设计表可用Un( r1)或Un* (r1)表示，其中，U为均匀表代号；n为均匀表横行数(需要做的试验次数)；r为因素水平数，与n相等；I为均匀表纵列数。代号U右上角加“*”和不 加“*”代表两种不同的均匀设计表，通常加“* ”的均匀设计表有更好的均匀性，应优先选用。表1-1、表1-3分别为均匀表U7 (74)与 U7*

3、 (7 4)，可以看出，山(74)和0*(74)都有7行 4列，每个因素都有7个水平，但在选用时应首选U7*(74 )。表 1-1 U7 (74)号科号12341214L1Zifj$531ZZ74SbH吊1334I77415表1-2U7(74)的使用表科号21331S30.37214134a4 reu表 1-3 U7* (7 4)mb呈1号试斡号列号12241241I3占1-5S7J326631r75iA44i1 71每个均匀设计表都附有一个使用表，根据使用表可将因素安排在适当的列中。例如，表1-2是U7( 74)的使用表，由该表可知，两个因素时，应选用1, 3两列来安排试验；当有三个因素时，

4、应选用1,2,3三列，。最后一列D表示均匀度的偏差(discrepancy),偏差值越小，表示均匀分 散性越好。如果有两个因素，若选用5(74)的1, 3列，其偏差D=0. 2398,若选用U7* (74)的1,3列(见表1- 4 )，相应偏差D=0. 1582，后者较小，可见当Un和Un*表都能满足试验设计时，应优先选用Un*表。表 1-5 U6* (6 4)12号34号13gI134531Zn$551233e14g541表1-6 U6* (64)的使用表D3-1 r玄340.1875Il 2U5由表7-1和表7-3所示的均匀表可以看出，等水平均匀表具有以下特点。每列不同数字都只出现一次，也

5、就是说，每个因素在每个水平仅做一次试验。任意两个因素的试验点点在平面的格子点上，每行每列有且仅有一个试验点。图1-1是均匀表5*(64)(表1-5 )的第1列和第3列各水平组合在平面格子点上的分布图，可见，每行每列只有一个试 验点。特点和反映了试验安排的“均衡性”，即对各因素的每个水平是一视同仁的。图2-2 Ue* (6。1,4列试验点分布 116*(6，)的1, 3列和1,4列分般不等价。例如用图1-1 U6* (64) 1,3列试验点分布均匀设计表任两列组成的试验方案别画格子图，得图1-1和图1-2。我们看到，在图1-1中，试验点散布得比较均匀，而图1-2中的点散布并不均匀。根据U6* (

6、6 4)的使用表俵1-6 )，当因素数为2时，应将它们排在1,3列，而不是1,4列，可见图1-1和图1-2也说明了根据使用表安排的试验，均匀性更好，均匀设计表的这一性 质和正交表是不同的。等水平均匀表的试验次数与水平数是一致的，所以当因素的水平数增加时，试验数按 水平数的增加量在增加，即试验次数的增加具有“连续性”，例如，当水平数从6水平增加到7水平时，试验数n也从6增加到7。而对于正交设计，当水平数增加时，试验数按水平数的平方的比例在 增加，即试验次数的增加有“跳跃性”，例如，当水平数从6到7时，最少试验数从36增加到49。所以，在正交试验中增加水平数，将使试验工作量有较大的增加，但对应的均

7、匀 设计的试验量却增加得较少，由于这个特点，使均匀设计有更大的灵活性。1.2混台水平均匀设计裹均匀设计表适用于因素水平数较多的试验，但在具体的试验中，往往很难保证不同因素的水平数相等， 这样直接利用等水平的均匀表来安排试验就有一定的困难，下面介绍采用拟水平法将等水平均匀表转化成混合水平均匀表的方法。如果某试验中，有A，B，C三个因素，其中因素A, B有三水平，因素C有二水平,分别记作A1,A2,A3,B1,B2,B3和C1 ,C2显然，这个试验可以用混合正交表战(2i X 37)来安排，需要做18 次试验，这等价于全面试验；若用正交试验的拟水平法，则可选用正交表L9(34)。直接运用均匀设计是

8、有困难的，这就要运用拟水平法。若选用均匀设计表U6*(64)，根据使用表，将A和B放在前两列，C放在第3列，并将前两列的水平进 行合并：1,2=1, 3,4=2, 5,6=3。同时，将第3列的水平合并为二水平:1 ,2,3=1, 4,5,6=2,于是得表1-7所示的设计表。这是一个混合水平的设计表U6(32X21)这个表有很好的均衡性，例如，A列和C列，B列和C列的二因素设计正好组成它们的全面试验方案，A列 和B列的二因素设计中没有重复试验。表1-7拟水平设计U6C32X21)AC11)1i2(2)1撞吃32CZ)141)1(5)35(5)3(1)1333)2住K申括号内14戟字事示娠沟勺彖曲

9、水甲细寸”卜同.又例如要安排一个二因素(入，B)五水平和一(C)二水平的试验，这项试验若用正交设计，可用L50表，但试验次数太多，若用均匀设计来安排，可用混合水平均匀表Uio(52X 2i),只需要进行10次试验。Ui0(52x 2i)可由U10* (108)生成，由于表Ui0*(1O8)有 8列，希望从中选择三列，要求由该三列生成的混合水平表Ui0(52x 2i)有好的均衡性，于是选用1,2,5三列，对1,2列采用水平合并:1,2t 1,.,9,10t 5;对第5列采用水平合并:1,2,3,4,5鼻1,6,7,8,9,10 t2,于是得到表1-8的方案，它有较好的均衡性。表1-8拟水平设计U

10、i0(52x 2i)Ac1112(42M2iF3*5UO)S16(1)1(8)272(炉ggH)2p1IQtlO)5!?21!.3214 242C9)5C62513)2211,雨6)37t8佃，4CD1Pmme(1AK4J1可见，对同一个等水平均匀表进行拟水平设计，可以得到不同的混合均匀表，这些表的均衡性也不相 同，而且参照使用表得到的混合均匀表不一定都有较好的均衡性。在混合水平均匀表的任一列上，不同水平出现次数是相同的，但出现次数1,所以试验次数与各因素的水平数一般不一致，这与等水平的均匀表不同。1.2均匀设计基本步骤用均匀设计表来安排试验与正交试验设计的步骤相似，但也有一些不同之处。一般步

11、骤 如下。明确试验目的，确定试验指标。如果试验要考察多个指标，还要将各指标进行综合分析。选因素。根据实际经验和专业知识，挑选出对试验指标影响较大的因素。确定因素的水平。结合试验条件和以往的实践经验，先确定各因素的取值范围，然后在这个范围内取适当的水平。由于Un奇数表的最后一行，各因素的最大水平号相遇，如果各因素的水平序号与水平实际数值的大小顺序一致，则会出现所有因素的高水平或低水平相遇的情形，如果是 化学反应，则可能出现因反应太剧烈而无法控制的现象，或者反应太慢，得不到试验结果。为了避免这些情况，可以随机排列因素的水平序号，另外使用Un*均匀表也可以避免上述情况。选择均匀设计表。这是均匀设计很

12、关键的一步，一般根据试验的因素数和水平数来选择，并首选Un 表。由于均匀设计试验结果多采用多元回归分析法，在选表时还应注意均匀表的试验次数与回归分析的关系。进行表头设计。根据试验的因素数和该均匀表对应的使用表，将各因素安排在均匀表相应的列中，如 果是混合水平的均匀表，则可省去表头设计这一步。需要指出的是，均匀表中的空列，既不能安排交互作 用，也不能用来估计试验误差，所以在分析试验结果时不用列出。明确试验方案，进行试验。试验方案的确定与正交试验设计类似。试验结果统计分析。由于均匀表没有整齐可比性，试验结果不能用方差分析法，可采用直观分析法和回 归分析方法。a直观分析法：如果试验目的只是为了寻找一

13、个可行的试验方案或确定适宜的试验范围，就可以采用此 法，直接对所得到的几个试验结果进行比较，从中挑出试验指标最好的试验点。由于均匀设计的试验点分布 均匀，用上述方法找到的试验点一般距离最佳试验点也不会很远，所以该法是一种非常有效的方法。0回归分析法：均匀设计的回归分析一般为多元回归分析，计算量很大，一般需借助相关的计算机软件进 行分析计算。(A)、毗啶量(B)和反应1.3均匀设计的应用例1在阿魏酸的合成工艺考察中，为了提高产量，选取了原料配比时间(C)三个因素，它们各取了7个水平如下：原料配比(A)：1.0， 1.4，I.8，2.2，2.6， 3.0， 3.419， 22， 25， 282.0

14、， 2.5， 3.0， 3.5毗啶量(B)(mL)： 10， 13， 16, 反应时间(C)(h)： 0.5， 1.0， 1.5,解：对于三个因素，S/2+1=3，求出s=4或5,考虑试验的承受程度，选用山(76)均匀表安排试验，其试验方案列于表&该方案是将A，B, C分别放在山*(76)表的后3列而获得的。表8制备阿魏酸的试验方案5* （7 6）和结果NO.配比（A）毗啶量（B）反应时间（C）收率（丫11.013（ 2）1.5（ 3）0.3302（1）1.419（ 4）3.0（ 6）0.3363（2）1.825（ 6）1.0（ 2）0.2944（6）2.210（ 1）2.5（ 5）0.476

15、5（1）2.616（ 3）0.5（ 1）0.2096（5）3.022（ 5）2.0（ 4）0.4517（6）3.428（ 7）3.5（ 7）0.482直观上看，试验收率最高为0. 482,如果对试验数据不进行统计分析处理，可以认为最优试验方案就是第七号试验，即：配比为3. 4 ,毗啶量28mL，反应时间3. 5h。由于均匀设计保证所设计的试验点均匀分布，水平数取得又多，间隔不大，因此，真正的最优条件肯定与此相差下大。 例2:用石墨炉原子吸收测定钯，选取灰化温度，灰化时间，原子化温度，原子化时间四个因素进行考察，试验的考察指标是测定物质的吸光度。因素的变化范围如下：灰化温度 A:100-2300

16、 （oC）灰化时间B:10 60 （s）原子化温度C: 2500 一 3000 （oC）原子化时间D:4 一 9 （s）试用均匀设计安排试验。解：根据s/2+1=4求得s=6或7,为使试验点多些，结果更可靠，选用4因素12水平，根据试验条件，除灰化温度外，其它各因素采用拟水平法，将各因素模拟为12个水平，得下表：123456789101112A1003005007009001100130015001700190021002300B101020203030404050506060C250250260260270270280280290290300300D445566778899用均匀表U12 （1213）安排试验，根据使用表选择1, 6, 8,10 组成 Ui2 （124），试验安排表如下1234116810221237335114441161554111661098773458891229927121010829111111061212753将各因素所对应的水平值填入表中，按试验表中每个试验的条件安排试验，将所得结果填入表最右列。直观上看，试验吸光度最周为0. 048,如果对试验