概率论与数理统计第16讲

1、1概率论与数理统计第16讲本文件可从网址 上下载(单击ppt讲义后选择概率论子目录)2超几何分布3例1 某班有学生23名, 其中有5名女同学, 今从班上任选4名学生去参观展览, 被选到的女同学数x是一个随机变量, 求x的分布.解 x可取0,1,2,3,4,这5个值, 相应概率为4概率分布表为x01234P0.28170.46960.21670.03100.0310概率分布图为:5定义 设N个元素分为两类, 有N1个元素属于第一类, N2个元素属于第二类(N1+N2=N). 从中按不重复抽样取n个, 令x表示这n个中第一(或二)类元素的个数, 则x的分布称为超几何分布. 其概率函数为:6根据概率

2、分布的性质, 必有7和二项分布相比, 二项分布是放回抽样, 而超几何分布是不放回抽样.当在不放回抽样时, 超几何分布中的N1/N相当于二项分布中的参数p, N2/N相当于二项分布中的q=1-p.超几何分布也可以和二项分布一样看作是n个0-1分布的随机变量xi的和, i=1,2,.,n, xi表示第i次抽样抽到第一类元素的事件的次数, 根据抽签原理P(xi=1)=N1/N, 但如果ij, xi与xj相互之间是不独立的.8计算超几何分布的数学期望因为x可看作n个相互并不独立但仍然服从同样的0-1分布的随机变量x1,x2,.,xn的和,x=x1+x2+.+xn, 其中可以认为超几何分布的数学期望与二

3、项分布的一样9计算x的方差因xi服从0-1分布, 则xi2也服从同样的0-1分布, 则Exi2=N1/N=Exi, 当ij时, xixj也服从0-1分布, 10因此11也可以直接用定义来计算Ex和Dx12计算Dx必须要先计算Ex(x-1)13因此14在实际应用中元素的个数N是相当大的, 例如, 从中国人民中任抽几千个人观察, 从一个工厂的几十万件产品中任抽几千件观察, 等等.而在N非常大的情况下, 放回抽样和不放回抽样的结果几乎是相同的.因此有, 当N很大的时候, 超几何分布可用二项分布来近似.或者换句话说, 当N趋于无穷时, 超几何分布的极限是二项分布.15为证明这一点, 首先给出一个近似公

4、式16因此, 如果x服从超几何分布, 则当抽样数n保持不变且远小于样本数N即也小于N1和N2时这正是二项分布的概率函数表达式当N趋于无穷时, 上面的约等于就成为等于17例3 一大批种子的发芽率为90%, 今从中任取10粒, 求播种后, (1) 恰有8粒发芽的概率; (2) 不少于8粒发芽的概率.解 设10粒种子中发芽的数目为x. 因10粒种子是由一大批种子中抽取的, 这是一个N很大, n相对于N很小的情况下的超几何分布问题, 可用二项分布近似计算.其中n=10, p=90%, q=10%, k=818普哇松(Poisson)分布在编写电子游戏程序时, 有时需要某个目标随机出现, 比如说, 在驾

5、驶游戏中希望平均十秒钟对面出现一辆迎面开来的车.因此而每秒种做一次发生概率为p=1/10的贝努利试验概型的试验, 则十秒钟就做了n=10次, 平均发生次数为np=1.而更精确的做法是每十分之一秒做一次p=1/100的试验, 则十秒钟n=100, 平均发生次数也是np=1.还可以将n增加p再减少来保持均值np不变.19图示时间t110110时间t每秒做一次发生概率为1/10的试验每1/10秒做一次发生概率为1/100的试验20因此就想到, 固定二项分布的均值np不变, 即令l=np的条件下, 让n很大, p很小, 甚至让n趋于穷大, p趋于无穷小, 会变成什么分布21定义 4.3 如果随机变量x

6、的概率函数是22普哇松分布常见于所谓稠密性的问题中, 如一段时间内, 电话用户对电话台的呼唤次数, 候车的旅客数, 原子放射粒子数, 织机上断头的次数, 以及零件铸造表面上一定大小的面积内砂眼的个数等等.23普哇松分布的数学期望24普哇松分布的方差25通常在n比较大, p很小时, 用普哇松分布近似代替二项分布的公式, 其中l=np. 普哇松分布的方便之处在于有现成的分布表可查(见附表1)26例1 x服从普哇松分布, Ex=5, 查表求P(x=2), P(x=5), P(x=20)解 因普哇松分布的参数l就是它的期望值, 故l=5, 查书后附表一, 有P5(2)=0.084224, P5(5)=

7、0.175467,P5(20)=027例2 一大批产品的废品率为p=0.015, 求任取一箱(有100个产品), 箱中恰有一个废品的概率.解 所取一箱中的废品个数x服从超几何分布, 由于产品数量N很大, 可按二项分布公式计算, 其中n=100, p=0.015.但由于n较大而p很小, 可用普哇松分布公式近似代替二项分布公式计算. 其中l=np=1.5, 查表得:P1.5(1)=0.334695误差不超过1%.28例3 检查了100个零件上的疵点数, 结果如下表:疵点数0123456频用普哇松分布公式计算疵点数的分布, 并与实际检查结果比较.解29计算出来的图表如下所示:疵点数0123456频率0.140.270.260.200.070.030.03概率0.1350.2710.2710.180.090.0360.0130指数分布定义 如随机变量x的概率密度为xj(x)31指数分布的分布函数32对任何实数a,b(0a0)时间失效的分布函数为F(t)=1-e-lt而产品的可靠度为R(t)=1-F(t)=e-lt34例1 某元件寿命x服从参数为l(l-1=1000小时)的指数分布, 3个这样的元件使用1000小时后, 都没有损坏的概率是多少?解 参数为l的指数分布的分布