概率论与数理统计第12讲抽样

1、 概率论与数理统计第十二讲 前面五章我们讲述了概率论的基本内容 ，随后的内容将讲述数理统计。数理统计是具有广泛应用的一个数学分支，它以概率论为理论基础，根据试验或观察得到的数据，来研究随机现象，对研究对象的客观规律性作出种种合理的估计和判断。 数理统计的内容包括：如何收集、整理数据资料；如何对所得的数据资料进行分析、研究，从而对所研究的对象的性质、特点作出推断。 本章我们介绍总体、随机样本及统计量等基本概念，并着重介绍几个常用统计量及抽样分布。6.1 总体与样本 在数理统计中，称研究问题所涉及对象的全体为总体，总体中的每个成员为个体。 例如: 研究肇庆学院学生的身高，则肇庆学院的全体学生就是总

2、体，而每一个学生都是一个个体。6.1.1 总体、个体与样本第六章 样本与统计量 实际上，我们真正关心的并不一定是总体或个体本身，而真正关心的是总体或个体的某项数量指标。 如：肇庆学院学生的身高，某电子产品的使用寿命，某天的最高气温，加工出来的某零件的长度等数量指标。因此，有时也将总体理解为那些研究对象的某项数量指标的全体。 为了解肇庆学院学生的身高水平，通常的做法是：从全体肇庆学院的学生中中随机(任意)地抽取一些学生（样品）进行观测(测量)，统计学上称这些样品为一个样本。 同样，我们也将样本的数量指标称为样本。因此，今后当我们说到总体及样本时，既指研究对象又指它们的某项数量指标。例1：研究工程

3、学院16级学生的年零用钱。 在这里，总体既指工程学院16级学生，又指我们所关心的工程学院16级学生的数量指标他们的年零用钱。 如果从工程学院16级学生中随机地抽出 n 个学生作为调查对象，那么，这 n 个学生以及他们的数量指标年零用钱( n个数字)就是样本。例2：用一把尺子测量一件物体的长度。 假定 n 次测量值分别为X1,X2 ,Xn。显然，在该问题中，我们把测量值X1,X2 ,Xn看成样本。但总体是什么呢? 事实上，这里没有一个现实存在的个体的集合可以作为上述问题的总体。可是，我们可以这样考虑，既然 n 个测量值 X1,X2,Xn 是样本，那么，总体就应该理解为一切所有可能的测量值的全体。

4、 对一个总体，如果用X表示其数量指标，那么，X的值对不同的个体就取不同的值。因此，如果我们随机地抽取个体，则X的值也就随着抽取个体的不同而不同。 所以，X是一个随机变量! 既然总体是随机变量X，自然就有其概率分布。我们把X的分布称为总体分布。.6.1.2 总体分布例 3 (例 l 续)：在例 l中，若工程学院16级学生的年零用钱以万元计，假定n个同学的收入X只取以下各值: 0.5, 0.8, l.0, 1.2和1.5。取上述值的户数分别n1, n2, n3, n4和n5 (n1+n2+n3+n4+n5=n)。则X为离散型分布，分布律为:例 6 (例2续)：在前面测量物体长度的例子中，如果我们在

5、完全相同的条件下，独立地测量了n 次，把这 n 次测量结果，即样本记为 X1,X2,Xn . 随机样本那么，我们就认为：这些样本相互独立，且有相同的分布；其分布与总体分布 N(, 2)相同。 将上述结论推广到一般的分布:如果在相同条件下对总体 X 进行 n 次重复、独立观测，就可以认为所获得的样本X1,X2,Xn是 n 个独立且与总体 X 有同样分布的随机变量。 在统计文献中，通常称相互独立且有相同分布的样本为随机样本或简单样本, n 为样本大小或样本容量。 既然样本 X1,X2,Xn 被看作随机向量,自然需要研究其联合分布。6.1.3 样本分布 假设总体 X 具有概率密度函数 f (x)，因

6、样本X1,X2,Xn独立同分布于 X，于是，样本的联合概率密度函数为 由样本推断总体的某些情况时，需要对样本进行“加工”，构造出若干个样本的已知 (确定)的函数，其作用是把样本中所含的某一方面的信息集中起来。6.2.1 统计量 这种不含任何未知参数的样本的函数称为统计量。它是完全由样本所决定的量。6.2 统计量几个常见统计量样本均值样本方差 反映总体均值的信息 反映总体方差的信息样本标准差样本 k 阶原点矩样本 k 阶中心矩 k=1,2, 反映总体k 阶矩的信息反映总体k 阶中心矩的信息习题1.从某工人生产的铆钉中随机抽取5只，测得其直径分别为（单位：毫米）： 13.7 13.08 13.11

7、 13.11 13.13 （1）写出总体、样本、样本值、样本容量（2）求样本观测值的均值、方差。 2设抽样得到样本观测值为 38.2 40.2 42.4 37.6 39.2 41.0 44.0 43.2 38.8 40.6 计算样本均值、样本方差、样本标准差与样本二阶中心矩。 6.2.2 抽样分布 统计量既然依赖于样本，而后者又是随机变量，故统计量也是随机变量，有一定的分布，这个分布称为统计量的抽样分布。 定理1：设 X1,X2,Xn是来自均值为 ,方差为 2 的总体的样本，则当 n 充分大时, 近似地有抽样分布定理证明：因X1,X2,Xn是来自均值为 ，方差为2 的总体的样本。故 X1,X2

8、,Xn 独立同分布, 且 E(X)=，Var(X)=2, i=1,2,n。据中心极限定理，有 对充分大的 n，近似地有例16.3 正态总体的抽样分布6.3.1 2 分布它是由正态分布派生出来的一种分布。 定义1: 设 X1, X2, , Xn 相互独立，且均服从正态分布 N(0, 1), 则称随机变量服从自由度为 n 的卡方分布，记成 。 分布的密度函数为分布密度函数图形n2 分布上 分位点有表可查，见附表4。对于给定的 (0,1), 称满足条件的点 n2()为 n2分布的上(右) 分位点。分布分位点t 分布的概率密度为为服从自由度 n 的 t 分布，记为 T tn。6.3.2 t 分布 定义

9、2: 设 X N(0, 1) , Y n2 , 且 X与Y 相互独立，则称随机变量t 分布的概率密度图形当 n 充分大时，f (x; n) 趋近于标准正态分布的概率密度。 若 T tn , 对给定的 (0,1)，称满足条件t 分布的分位点的点 tn()为 tn 分布上 分位点。t 分布的上 分位点有表可查，见附表3。 tn 分布上 分位点示意图6.3.3 F 分布 则称 F =(X/m)/(Y/n)服从第一自由度为m，第二自由度为n 的 F 分布。记成 F Fm ,n 。定义3：F 分布的概率密度为 若 FFm, n，对给定的 (0,1), 称满足条件F 分布的分位点的点 Fm,n()为F分布

10、的上 分位点。.F 分布上 分位点有表可查，见附表5。 F 分布上 分位点示意图 一个需要注意的问题:这个关系式的证明如下：证明：若 X Fm,n，则 Y = X -1 Fn,m。依分位点定义，上式等价于再根据 Y ( Fn,m ) 的上 分位点定义，有这就证明了(1)式。 在通常 F 分布表中，只对 比较小的值,如 = 0.01, 0.05, 0.025及0.1等列出了分位点。但有时我们也需要知道 比较大的分位点，它们在 F 分布表中查不到。这时我们就可利用分位点的关系式(1)把它们计算出来。 例如：对m=12, n=9, =0.95, 我们在 F 分布表中查不到 F12,9(0.95)，但由(1)式，知可从F 分布 表中查到 还有一个重要结果: 若X tn , 则X2 F1,n。 请同学们自己证明。定理 1：6.3.4 正态总体样本均值与样本方差的分布 定理的证明超出了教学范围，我们把它放在了教材6.4 末尾的附录 ( p143145)中。 定理的内容在后面的讨论中将多次用到，希望大家牢记。小结1.