含参不等式恒成立问题中-求参数取值范围一般方法

1、含参不等式恒成立问题中，求参数取值范围一般方法恒成立问题是数学中常见问题，也是历年高考的一个热点。大多是在不等式中，已知一个变量的取值范围，求另一个变量的取值范围的形式出现。下面介绍几种常用的处理方法。一、分离参数在给出的不等式中，如果能通过恒等变形分离出参数，即：若a，f(x)恒成立，只须求出f(x)，则a，f(x)；若af(x)恒成立，只须求出f(x)，maxmaxmin则a0，试确定1在xe2,乜)上恒成立，x即：a-x2+3x在xe2,+)上恒成立，当x=2时，f(x)=2所以a2max在给出的不等式中，如果通过恒等变形不能直接解出参数，则可将两变量分别置于不等式的两边，即：若f(a)

2、,g(x)恒成立，只须求出g(x)，则maxf(a),g(x)，然后解不等式求出参数a的取值范围；若f(a)g(x)恒成立，max只须求出g(x)，则f(a)0恒成立，求a的取值范围。解:令2x=t，xe(p,1“te(0,2所以原不等式可化为：a2-a”t+1，12要使上式在te(0,2上恒成立，只须求出f(t)=t+1在te(0,2上的最小值即可。t212d112111-1+-=+et丿tt2丿4t2丿“f(t).=f(2)=|min4二、分类讨论在给出的不等式中，如果两变量不能通过恒等变形分别置于不等式的两边，则可利用分类讨论的思想来解决。例3、若x，-2,2时，不等式x2ax3a恒成立

3、，求a的取值范围。解：设f(x)=x2ax3-a,则问题转化为当x，-2,2时，f(x)的最小值非负。(1)当-a4时，f(x)=f(-2)=7-3a0a4所以2min3a不存在；当-222即-4a4时，f(x)=3-a-min.-6a2又-4a4.-4a2即：a-4时，f(x)=f(2)=7a0.a-7又2mina-4-7a-4综上所得：-7amC-1)对满足|m2的所有m都成立，求x的取值范围。解：设f(m)=mCx2-1)-(2x-1)，对满足网2的m，f(m)0恒成立，f(-2)0f(2)0解得：“”-2(x2-1)-(2x-1)02(x2-1)-(2x-1)0四、利用集合与集合间的关

4、系在给出的不等式中，若能解出已知取值范围的变量，就可利用集合与集合之间的包含关系来求解，即：h,nuf(a),g(a)，则f(a)m且g(a)n，不等式的解即为实数a的取值范围。例5、当x丄利时，|logx|1恒成立，求实数a的取值范围。3丿a解：-1logx1时，1xa，则问题转化为r13匚r1),aa3丿a丿a311_、a3.a31(2)当0a1时，ax1,则问题转化为a(1J11,a，3匚a,13丿(a丿a3n/10a1n33、a综上所得：0a33五、数形结合例6、若不等式3x2-log(1,x0在xG0,I3丿内恒成立，求实数a的取值范围。a当0a1时,由图可知，ylogx的图象必须过

5、点1丿33丿或在这个点的上方,27127综上得:127上面介绍了含参不等式中恒成立问题几种解法，在解题过程中，要灵活运用题设条件综合分析，选择适当方法准确而快速地解题。数形结合法是先将不等式两端的式子分别看作两个函且正确作出两个函数的图象，然后通过观察两图象(特别是交点时)的位置关系，列出关于参数的不等式。恒成立问题中含参范围的求解策略周云才数学中含参数的恒成立问题，几乎覆盖了函数，不等式、三角，数列、几何等高中数学的所有知识点，涉及到一些重要的数学思想方法，归纳总结这类问题的求解策略，不但可以让学生形成良好的数学思想，而且对提高学生分析问题和解决问题的能力是很有帮助的，下面就几种常见的求解策

6、略总结如下，供大家参考。一、分离参数一一最值化对于某些恒成立问题，可将其中的参数分离出来，将原问题转化为af（幻（或）在给定区间上恒成立（或），从而将原问题转化为求函数的最大值或最小值问题。例1当时，不等式恒成立，求实数a的取值范围。解析：因，所以对恒成立，即有，由于在上是增函数，所以当时，所以例2设且恒成立，求实数m的取值范围。解析：由于，所以，于是恒成立，因（当且仅当时取等号），故二、数形结合直观化对于某些不容易分离出参数的恒成立问题，可利用函数的图像或相应图形，采用数形结合的思想，直观地反应出参数的变化范围。解析：作出n十-却在区间上的图像，由图像知，直线只能(1)+(2)得,(4)例3

7、当0时，恒有成立，求实数a的取值范围。与恒有两个不同的交点，求实数a的取值范围。解析：令，由题意，对恒成立。当，即时，有对恒成立。当时，结合二次函数的图像，综合(1)(2)得，对于任意正整数k，直线绕原点O从x正半轴旋转到过点的范围，直线AO的斜率为于是实数a的取值范围是三、巧妙赋值特殊化在某些恒成立问题中，恰当地取特殊的数或考虑特殊的情形，探求出参数的值或范围,再加以证明，不失为一个好办法。例5是否存在常数c,使得不等式对任意的正实数x,y恒成立？并证明你的结论。解析：令得，有先证成立证成立证成立，此时显然成立。再证成立。证成立证成立，此时也显然成立。故存在常数c,使得原不等式对任意的正实数x，y恒成立。例6设。若对于任意恒成立，试确定常数a，b，c。解析：取分别代入已知等式,例3当0时，恒有成立，求实数a的取值范围。与恒有两个不同的交点，求实数a的取值范围。由(2)(3)(4)得sinc=0?匚匚=（b弋0）由得，解得，从而再由再将求解的a、b、c代入已知等式验证适合，故四、变更主元简单化对含多个变量问题，有时变换主元与次元的位置，常能达到避繁就简的目的。例7对于，不等式恒成立，求实数x的取值范围。解析：不等式不等式即对于恒成立。记，则问题转化为一次函数（或常数函数）在区间