量子力学期末复习题

1、量子力学期末复习题 /30 /30填空题1玻尔-索末菲的量子化条件为：Jpdq二nh,（n=l,2,3,）,23h您P二牙二k。h用来解释光电效应的爱因斯坦公式为：2mV2二hAj德布罗意关系为：E二hy二4波函数的统计解释：”（r，t）|2代表t时刻，粒子在空间r处单位体积中出现的概率，又称为概率密度。这是量子力学的基本原理之一。波函数在某一时刻在空间的强度，即其振幅绝对值的平方与在这一点找到粒子的几率成正比，和粒子联系的波是概率波。5.波函数的标准条件为：连续性，有限性，单值性。6，丄为单位矩阵，则算符卫的本征值为：兰1。7力学量算符应满足的两个性质是实数性和正交完备性8厄密算符的本征函数

2、具有：正交性，它们可以组成正交归一性。即di=5或。mnmn入入9.设0为归一化的动量表象下的波函数，则的物理意义为:表示在屮（r，t）所描写的态中测量粒子动量所得结果在PP+dp范围内的几率。10.认0。11.h如两力学量算符卄C方F、且占有共同本征函数完全系，贝汀&闵=丄。坐标和动量的测不准关系是：（Ax）2（4p）2-。自由粒子体系，一动量_守恒；中心力x4一场中运动的粒子_角动量_守恒13量子力学中的守恒量A是指：A不显含时间而且与H对易，守恒量在一切状态中的平均值和概率分布都不随时间改变。14隧道效应是指：量子力学中粒子在能量E小于势垒高度时仍能贯穿势垒的现象称为隧道效应。15.%=

3、也忍炉为氢原子的波函数，汽山的取值范围分别为：n=1,2,3,；l=0,1,n-1；m=-l,-l+1,0，1,l。16对氢原子，不考虑电子的自旋，能级的简并为:n2，考虑自旋但不考虑自旋与轨道角动量的耦合时，能级的简并度为2n2_，如再考虑自旋与轨道角动量的耦合，能级的简并度为2j+1_。17.设体系的状态波函数为，如在该状态下测量力学量F有确定的值几，则力学量算符戶与态矢量丨申的关系为：F|屮；二九2：；。18力学量算符在态下的平均值可写为的条件为：力学量算符的本征值组成分立谱，并且屮（厂）是归一化波函数。希尔伯特空间：量子力学中Q的本质函数有无限多个，所以态矢量所在的空间是无限维的函数空

4、间。20设粒子处于态的取值为:的可能值为：3h归为归一化波函数，丫触为球谐函数，则系数c於本征值为肌出现的几率为：2。21原子跃迁的选择定则为：&二1；Am二0,土122.自旋角动量与自旋磁矩的关系为：M=-S；式中M是自旋磁矩，S是自旋角动量，-eS卩s是电子的电荷，卩是电子的质量。23.为泡利算符,则。2=3弄=0,包厲mZ24.用为自旋算符，则金=22金恵匸0，瓦瓦=iS。4Zhh25.乌伦贝克和哥德斯密脱关于自旋的两个基本假设是：（1）每个电子具有自旋角动量S，它在空间任何方向上的投影只能是两个数值：s二土穆；（2）每个电子具有自旋磁矩M，它和它z2S的自旋角动量S的关系式是：M=-S

5、，式中-e是电子的电荷，卩是电子的质量。M在TOC o 1-5 h zS卩Se空间任意方向上的投影只能取两个数值：M=M。Sz2uB力_eT26.轨道磁矩与轨道角动量的关系是：M_=-L。一L2u证明电子具有自旋的实验有：斯特恩-革拉赫实验。费米子所组成的全同粒子体系的波函数具有_反对称性玻色子所组成的全同粒子体系的波函数具有一对称性一_。T二29.考虑自旋后，波函数在自旋空间表示为丿（已归一化），则在态甲下，自旋算二符丿对自旋的平均可表示为：G二屮+前=6*,屮*12G,G)1112G,G丿2122y；对坐标T-30.考虑自旋后，波函数在自旋空间表示为和自旋同时求平均的结果可表示为：G=J屮

6、咖dTo（已归一化），贝U1的意义为:表示在t时刻，在（x,y,z）点周围单位体积内找到自旋sz=的电子的几率。h（I笛F+I巴巴必级法Jlj;l31、量子力学中的态是希尔伯特空间的_矢量_；算符是希尔伯特空间的_算符_o力学量算符在自身表象中的矩阵是对角的32、”（x,y,Z,t）卩的物理意义：发现粒子的几率密度与之成正比。33、JW（r,0,9）2r2dr表示在rr+dr单位立体角的球壳内发现粒子的几率。34、在量子力学中，微观体系的状态被一个波函数完全描述；力学量用厄密算示。二、问答题你认为Bohr的量子理论有哪些成功之处？有哪些不成功的地方？试举一例说明。（简述波尔的原子理论，为什么说

7、玻尔的原子理论是半经典半量子的？）答：Bohr理论中核心的思想有两条：一是原子具有能量不连续的定态的概念；二是两个定态之间的量子跃迁的概念及频率条件。首先，Bohr的量子理论虽然能成功的说明氢原子光谱的规律性，但对于复杂原子光谱，甚至对于氦原子光谱，Bohr理论就遇到了极大的困难（这里有些困难是人们尚未认识到电子的自旋问题），对于光谱学中的谱线的相对强度这个问题，在Bohr理论中虽然借助于对应原理得到了一些有价值的结果，但不能提供系统解决它的办法；其次，Bohr理论只能处理简单的周期运动，而不能处理非束缚态问题，例如：散射；再其次，从理论体系上来看，Bohr理论提出的原子能量不连续概念和角动量

8、量子化条件等，与经典力学不相容的，多少带有人为的性质，并未从根本上解决不连续性的本质。什么是光电效应？光电效应有什么规律？爱因斯坦是如何解释光电效应的？答：当一定频率的光照射到金属上时，有大量电子从金属表面逸出的现象称为光电效应；光电效应的规律：a.对于一定的金属材料做成的电极，有一个确定的临界频率u，当照射光频率UU0时，不管光多微弱，只要光一照，几乎立刻沁I。-9S观测到光电子。爱因斯坦认为：（1）电磁波能量被集中在光子身上，而不是象波那样散布在空间中，所以电子可以集中地、一次性地吸收光子能量，所以对应弛豫时间应很短，是瞬间完成的。（2）所有同频率光子具有相同能量，光强则对应于光子的数目，

9、光强越大，光子数目越多，所以遏止电压与光强无关，饱和电流与光强成正比。（3）光子能量与其频率成正比，频率越高，对应光子能量越大，所以光电效应也容易发生，光子能量小于逸出功时，则无法激发光电子。3简述量子力学中的态叠加原理，它反映了什么？答：对于一般情况，如果屮和屮是体系的可能状态，那么它们的线性叠加：屮=c屮+c屮121122（c，c是复数）也是这个体系的一个可能状态。这就是量子力学中的态叠加原理。态叠加原理12的含义表示当粒子处于态屮,和屮2的线性叠加态屮时，粒子是既处于态屮又处于态屮2。它反映1212了微观粒子的波粒二象性矛盾的统一。量子力学中这种态的叠加导致在叠加态下观测结果的不确定性。

10、什么是定态？定态有什么性质？答：体系处于某个波函数屮（厂，t）=屮（r）exp1-iEt,所描写的状态时，能量具有确定值。这种状态称为定态。定态的性质：（1）粒子在空间中的概率密度及概率流密度不随时间变化；（2）任何力学量（不显含时间）的平均值不随时间变化；（3）任何力学量（不显含时间）取各种可能测量值的概率分布也不随时间变化。简述力学量与力学量算符的关系？答：算符是指作用在一个波函数上得出另一个函数的运算符号。量子力学中采用算符来表示微观粒子的力学量。如果量子力学中的力学量F在经典力学中有相应的力学量，则表示这个力学量的算符F由经典表示式F（r,p）中将P换为算符p而得出的，即：F二（r,p

11、）=（r,-iV）。量子力学中的一个基本假定：如果算符F表示力学量F,那么当体系处于F的本征态0时,力学量F有确定值，这个值就是F在中的本征值。经典波和量子力学中的几率波有什么本质区别？答：1）经典波描述某物理量在空间分布的周期性变化，而几率波描述微观粒子某力学量的几率分布；（2）经典波的波幅增大一倍，相应波动能量为原来的四倍，变成另一状态，而微观粒子在空间出现的几率只决定于波函数在空间各点的相对强度，几率波的波幅增大一倍不影响粒子在空间出现的几率，即将波函数乘上一个常数，所描述的粒子状态并不改变；能量的本征态的叠加一定还是能量本征态。答：不一定，如卿，屮对应的能量本征值相等，贝c屮+c屮还是

12、能量的本征121122态，否则，如果屮,屮对应的能量本征值不相等，贝1屮=c屮+c屮不是能量的本征态121122什么是表象？不同表象之间的变换是一种什么变换？在不同表象中不变的量有哪些？答：量子力学中态和力学量的具体表示方式称为表象。不同表象之间的变换是一种幺正变换。在不同表象中不变的量有：算符的本征值，矩阵的迹即矩阵对角元素的和。简述量子力学的五个基本假设。答：（1）微观体系的状态被一个波函数完全描述，从这个波函数可以得出体系的所有性质。波函数一般应满足连续性、有限性和单值性三个条件；（2）力学量用厄密算符表示。如果在经典力学中有相应的力学量，则在量子力学中表示这个力学量的算符，由经典表示中

13、的将动量p换为算符-iV得出。表示力学量的算符具有组成完全系的本征函数。（3）将体系的状态波函数屮用算符F的本征函数展开（方9=九9，F9=九9）:屮=工c9+Ld九，则在屮态中测量力学量Fmm九九，得到结果在九九+d九范围内的几率是|cjd九；（4）体系的状m得到结果为九的几率为cmm。屮八八态波函数满足薛定谔方程：i=H屮，H是体系的哈密顿算符。（5）在全同粒子组成的体系Cth量子力学期末复习题量子力学期末复习题量子力学期末复习题 /30 /30 /3中，两全同粒子相互调换不改变体系的状态（全同性原理）。波函数归一化的含义是什么？归一化随时间变化吗？答：粒子既不产生也不湮灭。根据波函数的统

14、计解释，在任何时刻，粒子一定在空间出现，所以在整个空间中发现粒子是必然事件，概率论中认为必然事件的概率等于1。因而粒子在整个空间中出现的概率即”卩对整个空间的积分应该等于1.即JM（兀y，z，t）|2於=1式中积分表示对整个空间积分。这个条件我们称为归一化条件。满足归一化条件的波函数称为归一化波函数。波函数一旦归一化，归一化常数将不随时间变化。量子化是不是量子力学特有的效应？经典物理中是否有量子化现象？答：所谓量子化，就是指某个力学量可取数值具有离散谱。一般来说，这不是量子力学的特有效应。经典物理中，例如声音中的泛音，无线电中的谐波都是频率具有离散谱。经典波在束缚态形成驻波时，频率也是量子化的

15、，但经典波的频率量子化并不对应能量量子化。有时量子化用了专指能量量子化，在这种意义上它就是量子力学特有的效应。什么是算符的本征值和本征函数？它们有什么物理意义？答：含有算符F的方程Fp=FP称为F的本质方程，F为F的一个本质值。而申则为Fmmmmm的属于本征值F的本征函数。如果算符多代表一个力学量，上述概念的物理意义如下：当体系m处于F的本征态P时，测量F的数值时确定的，恒等于F。当体系处于任意态时，单次测量Fmm的值必等于它的本征值之一。算符运算与一般代数运算有什么异同之处？答：（1）相同点:都满足加法运算中的加法交换律和加法结合律。（2）、不同点：a.算符乘积一般八八八/II不满足代数乘法

16、运算的交换律，即FG丰GF；b算符乘积定义GE如二FG罰丿，运算次序由后至前，不能随意变换。什么是束缚态和定态？束缚态是否必为定态？定态是否必为束缚态？dUn答：定态是概率密度和概率流密度不随时间变化的状态。若势场恒定=,则体系可以处于定ot态。当粒子被外力（势场）束缚于特定的空间区域内，及在无穷处波函数等于零的态叫做束缚态。束缚态是离散的。例如一维谐振子就属于束缚定态，具有量子化能级。但束缚态不一定是定态。例如限制在一维箱子中的粒子，最一般的可能态是以一系列分立的定态叠加而成的波包。这种叠加是没有确定值的非定态。虽然一般情况下定态多属束缚态，当定态也可能有非束缚态。（1）在量子力学中，能不能

17、同时用粒子坐标和动量的确定值来描写粒子的量子状态？（2）将描写的体系量子状态波函数乘上一个常数后，所描写的体系量子状态是否改变？（3）归一化波函数是否可以含有任意相因子e（5是实常数）？（4）已知F为一个算符，当F满足如下的两式时，a.F+=F,b.F-1=F+，问何为厄米算符，何为幺正算符？（5）证明厄米算符的本征值为实数。量子力学中表示力学量的算符是不是都是厄米算符？答：（1）不能；因为在量子力学中，粒子具有波粒二象性，粒子的坐标和动量不可能同时具有确定值。（2）不改变；根据Born对波函数的统计解释，描写体系量子状态的波函数是概率波，由于粒子必定要在空间中的某一点出现，所以粒子在空间各点

18、出现的概率总和等于1，因而粒子在空间各点出现概率只决定于波函数在空间各点的相对强度。（3）可以；因为|eiS|2=1，如果”|2对整个空间积分等于1,则”如|2对整个空间积分也等于1即用任意相因子ei8（8是实常数）去乘以波函数，既不影响体系的量子状态，也不影响波函数的归一化。（4）满足关系式a的为厄密算符，满足关系式b的为幺正算符；（5）证明：以九表示F的本征值，屮表示所属的本征函数，则和二九屮因为F是厄密算符，于是有九Jv叩dx二九屮叩dx,由此可得X=X*，即九为实数。薛定谔方程应该满足哪些条件？答：（1）它必须是波函数应满足的含有对时间微商的微分方程；（2）方程是线性的，即如果屮和屮1

19、2都是方程的姐，那么屮和屮的线性叠加屮=cV+c屮也是方程的解，这是因为根据态叠加原121122理，如果屮和屮是体系的可能状态，那么它们的线性叠加：屮=c屮+c屮（c，c是复数）12112212也是这个体系的一个可能状态；（3）这个方程的系数不应该包含状态的参量，如动量、能量等，因为方程的系数如含有状态的参量，则方程只能被粒子的部分状态所满足，而不能被各种的状态所满足。量子力学中的力学量用什么算符表示？为什么？力学量算符在自身表象中的矩阵是什么形式？答：量子力学中表示力学量的算符都是厄密算符。因为所有力学量的数值都是实数，既然表示力学量的算符的本征值是这个力学量的可能值，因而表示力学量的算符，

20、它的本征值必须是实数。力学量算符在自身表象中的矩阵是一个对角矩阵。简述力学量算符的性质？答：（1）实数性：厄密算符的本征值和平均值皆为实数；（2）正交性：属于不同本征值的本征态彼此正交。即dP=8；（3）完备性：力学量算符的本征态的全体构成一完备集，即mnmn屮（x）=丫c*（x）。nnn在什么情况下两个算符相互对易？答：如果两个算符F和G有一组共同本征函数*，而且*组成完全系，则算符F和G对易。mm请写出测不准关系?则测不准关系式为：答：设算符F和G的对易关系为：F，G=ik如果k不为零，则F和G的均方偏差不会同时为零，它们的乘积要大于一正数。量子力学中的守恒量是如何定义的？守恒量有什么性质

21、？量子力学中的守恒量和经典力学的守恒量定义有什么不同，并举例说明？xyz答：量子力学中不显含时间，且其算符与体系的哈密顿算符对易的力学量称为守恒量；量子体系的守恒量，无论在什么态下，平均值和概率分布都不随时间改变；量子力学中的守恒量与经典力学中的守恒量概念不相同，实质上是不确定度关系的反映。a.量子体系的守恒量并不一定取确定值，及体系的状态并不一定就是某个守恒量的本征态。如对于自由粒子，动量是守恒量，但自由粒子的状态并不一定是动量的本征态（平面波），在一般情况下是一个波包；b.量子体系的各守恒量并不一定都可以同时取确定值。例如中心力场中的粒子，l的三个分量都守恒，但由于1、1、l不对易,一般说

22、来它们并不能同时取确定值（角动量1=0的态除外）。式中8(0)(0)。mn定态微扰理论的适用范围和适用条件是什么？答：适用范围：求分立能级及所属波函数的修正；适用条件是：1，8（0）-8（0）mn什么是自发跃迁？什么是受激跃迁？答：在不受外界影响的情况下，体系由高能级跃迁到低能级，这种跃迁称为自发跃迁；体系在外界（如辐射场）作用下，由低能级跃迁到高能级，这种跃迁称为受激跃迁。什么是严格禁戒跃迁？角量子数和磁量子数的选择定则是什么？答：如果在任何级近似中跃迁几率均为零，这这种跃迁称为严格禁戒跃迁。角量子数和磁量子数的选择定则是：A1=1；Am=0,土1。谁提出了电子自旋的假设？表明电子有自旋的实

23、验事实有哪些？自旋有什么特征？答：乌伦贝克和高斯密特提出了电子自旋的假设。他们主要根据的两个实验事实是：碱金属光谱的双线结构和反常的Zeeman效应。他们假设的主要内容为：a.每个电子具有自旋角动量S，它在空间任何方向上的投影只能是两个数值：S=1；b.每个电子具有自旋磁矩M己它和它的自旋z2Se岛角动量S的关系式是：M=-S，式中-e是电子的电荷，卩是电子的质量。S卩表明电子有自旋的实验事实：斯特恩-盖拉赫实验。其现象：K射出的处于S态的氢原子束通过狭缝BB和不均匀磁场，最后射到照相片PP上，实验结果是照片上出现两条分立线。解释：氢原子具有磁矩，设倉沿Z方向：=竝直=-恥亦B；忑s如簸在空间

24、可取任何方向，日应连续变化，照片上应是一连续带，但实验结果只有两条，说明麻是空间量子化的，只有两个取向皿&=1，对S态，没轨道角动量，所以原子所具有的磁矩是电子固有磁矩，即自旋磁矩。自旋的特点：（1）电子具有自旋角动量这一特点纯粹是量子特性，它不可能用经典力学来解释。它是电子的本身的内禀属性，标志了电子还有一个新自由度。（2）电子自旋与其它力学量的根本区别为，一般力学量可表示为坐标和动量的函数，自旋角动量与电子坐标和动量无关，不能表示为krXp，它是电子内部状态的表征，是一个新的自由度。（3）电子自旋值是，而不是矗的整数倍。（4），而丁-匸两者在差一倍。自旋角动量也具有其它角动量的共性，即满足

25、同样的对易关系：汇二1沾。它是个内禀的物理量，不能用坐标、动量、时间等变量表示；它完全是一种量子效应，没有经典对应量。也就是说，当T0时，自旋效应消失。它是角动量，满足角动量最一般的对应关系。而且电子自旋在空间任何方向上的投影只取土2两个值。h什么是斯塔克效应？答：当原子置于外电场中，它发射的光谱线将发生分裂，这称为Stark效应。什么是光谱的精细结构？产生精细结构的原因是什么？考虑精细结构后能级的简并度是多少？答：由于电子自旋与轨道角动量耦合，是原来简并的能级分裂成几条差别很小的能级，称为光谱的1精细结构；当n和l给定后，j可以取j=1+2，（1=除夕卜），即具有相同的量子数nl的能级有两个

26、，它们的差别很小，这就是产生精细结构的原因。考虑精细结构后能级的简并度为（2j+l）什么是塞曼效应？什么是反常的塞曼效应？对简单塞曼效应，没有外磁场时的一条谱线在外磁场中分裂为几条？答：把原子（光源）置于强磁场中，原子发出的每条光谱线都分裂为三条，我们把这称为正常的塞曼效应。而反常的塞曼效应是指在弱磁场中原子光谱线的复杂分裂（分裂成偶条数）。对简单塞曼效应，没有外磁场时的一条谱线在外磁场中分裂为三条。29什么是全同性原理和泡利不相容原理？为：QX0?=2i&；自旋算符S=-O；9对易关系为SXSh/一2（01(0S，S=xy410丿iS，Sxy=SS-SS即：xyyx2.(1方0、2i1二2i

27、二#-1丿令。4h:iSz10丿答：全同性原理：由全同粒子所组成的体系中，两全同粒子相互代换不引起物理状态的改变。描写全同粒子体系状态的波函数只能是对称的或反对称的，它们的对称性不随时间改变。泡利不相容原理：不能有两个或两个以上的费米子处于同一状态。答：泡利矩阵：c(01；C)=(0-i；C)=(10；对易关系x0丿yi0丿z0-1丿30.写出泡利矩阵的形式及其对易关系。请用泡利矩阵定义电子的自旋算符，并验证它们满足角动量对易关系。验证过程如下：31.请写出两个电子体系的波函数。空间态对称自旋态反对称答：按空间态和自旋态组合可有四种反对称态：空间态反对称自旋态对称j.p(rb(r)+p(rip

28、(r)1=、：2n1m2n2m1、:2!=tp(r)p(r)-w(r)p(r)2n1m2n2m1X1x2-121OX(2)-Z(2上0;x丄-122-12(1)x1(2)(1)X2(2)-12x(1)x-1=122(2)+X（2）X（1）-12Epmm2其中Hp(r)=ep(r)；hp(r)=ep(r)。1n1nn12m232.请简述微扰论的基本思想。答：将复杂的体系的哈密顿量看分成龙。与咅两部分。応是可求出精确解的，而*可看成葫匸I的微扰。只需将精确解加上由微扰引起的各级修正量，逐级迭代，逐级逼近，就可得到接近问题真实的近似解。确定沪时，先确定即,再用和二找一找确定穴I什么是玻色子和费米子？

29、hh答：由电子，质子，中子这些自旋为的粒子以及自旋为的奇数倍的粒子组成的全同粒子体系的波函数是反对称的，这类粒子服从费米（Fermi）狄拉克（Dirac）统计，称为费米子，由光子（自旋为1）以及其它自旋为零，或亢整数倍的粒子所组成的全同粒子体系的波函数是对称的，这类粒子服从玻色（Bose）爱因斯坦统计，称为玻色子。什么是隧道效应？请举例说明隧道效应的应用。答：粒子在其能量e小于势垒高度u0时，仍然会有部分粒子穿过势垒的现象叫隧道效应，又叫隧穿效应。隧道效应的应用：1.扫描隧道显微镜（STM）是电子隧道效应的重要应用之一。扫描隧道显微镜可以显示表面原子台阶和原子排布的表面三维图案。在表面物理、材

30、料科学和生命科学等诸多领域中，扫描隧道显微镜都能提供十分有价值的信息。2.隧道二极管是一种利用隧道效应的半导体器件，也是隧道效应的重要应用之一。由于隧道效应而使其伏安特性曲线出现负阳区，因而隧道二级管具有高频、低噪声的特点。隧道二级管是低频放大器、低频噪声振荡器和超高速开关电路中的重要器件。厄米算符具有哪些性质？厄米算符的平均值、本征值、本征函数具有哪些性质？答：厄米算符具有下列性质：a.两厄米算符之和仍为厄米算符；b.当且仅当两厄米算符A和八八八八八八八八八=0时,B对易时，它们之积才为厄米算符。因为AB*=ByAy=BA。只有在A,BIBA=，才有，b/=AB，即AB仍为厄米算符；C.无论

31、厄米算符A、B是否对易,1（八八1（八八八八）算符4B+及AB-BA丿必为厄米算符，因为22i11ByAy+AyBy2i2i121ByAy2id.任何算符总可分解为+io。+，则o和o均+为厄米算符。厄米算符的平均值、本征值、本征函数具有下列性质：厄米算符的平均值是实数；在任何状态下平均值均为实数的算符必为厄米算符；厄米算符的本征值为实数。厄米算符在本征态中的平均值就是本征值。厄米算符属于不同本征值的本征函数正交；厄米算符的简并的本征函数可以经过重新组合后使它正交归一化；厄米算符的本征函数系具有完备性；厄米算符的本征函数系具有封闭型。简单讨论一下相对论情形和非相对论情形下的德布洛意关系式。答：

32、对于非相对论情形：.二2m,p=2mk;0相对论情形：E2=p2c2+m2c4;01p=-cc2+8J2-m2c4=k122m8+V0k(c丿所以当8kc时，即得到非相对论情形下的公式:、1,1P2c21P21+.mc2+.2m2c4h02m,丿V0丿02c2+m2c4mc20h由于能量只有相对变化AE才有意义（即能量的绝对值在物理上是没有意义的，它依赖于“零能量值”的选取），hu=AE=E-E可将常数项me2抵消，此时相对论形式的关系退化为非相对2108论情形：u=才，8k就是非相对论粒子的动能。德布洛意频率本身不是一个可观测量，因此只有德布洛意波长具有物理意义。为什么物质的波动性在宏观尺度

33、不显现？答：由于九=加P，原因是普朗克常数太小（h=66X10-34J.s），而宏观尺度的运动动量太大导致波长太小，难以引起可以观察的物理效应。因为P=2mE，要减小宏观尺度运动的动量,必须减小动能E,但从物理上考虑E不可能减小到比热运动能量kBT更小，所以必须减小质量。质量的减小对应于尺度的减小。只有把物体尺度减小到微观尺度，才可能出现较大的物质波波长九。从而引起可以观察到的物理效应。dxe38相对论粒子德布洛意波对应的相速度群速度分别是多少？（相速度vP丁k代表相位de传播的速度。波包是指波动在有限空间中分布。群速度vg=页对应波包运动的速度）答：由德布洛意关系：hh、：1_(vc)2A=

34、pmv02兀2兀mv=o/c，所以：波矢k.九hmc22兀mc2所以=0=hjl(vfc则相速度：h1(vc)22兀mv0又因为:dedv=-h2兀mvTOC o 1-5 h z了de/de/dv所以，群速度：v=-k=dk年=v，即在相对论情形下粒子运动速度也对应于波包的群速度。g/dv39.自由粒子非相对论情形的相速度和群速度分别为多少？答：e(k)2/z相速度:k2edek，则群速度：v=（对应的才是粒子运动的速度）。而gdkmk（不是粒子运动速度）。pk2mh40什么是希尔伯特空间？波函数与希尔伯特空间的关系?答：希尔伯特空间是定义在复数域上的一个有限维或无限维的完备矢量空间。波函数对

35、应于希尔伯特空间中的态矢。41.试举例有哪些实验揭示了光的粒子性质？哪些实验揭示了粒子的波动性质？答：黑体辐射、光电效应、康普顿散射实验给出了能量分立、光场量子化的概念，从实验上揭示了光的粒子性质。电子杨氏双缝实验、电子在晶体表面的衍射实验、中子在晶体上的衍射实验从实验上揭示了微粒的波动性质。三、证明题Ia_丄C221.试证明屮(x)二e_2ax(2a3X3-3ax)是线性谐振子的波函数，并求此波函数对应的3耳兀能量。TOC o 1-5 h z岛2d2丄证：线性谐振子的S-方程为：-环石屮(X)+22x2屮(x)=刖(x)把屮(x)代入上式，有：屮(x)A2x2(2a3x33ax)dxdx/a

36、ie_2a2x2(_2a5x4+9a3x23a)35d2屮(x)dx2，-e2x(2a5x4+9a3x2-3a)a2xe左边=-=7.竺./屮(x)7117=(x)x即(x)韦x斗(x)=屮(x)右边=碑(x)_2a2x2(2a5X4+9a3x23a)+e_2a2x2(8a5x3+18a3x)=(a4x27a2)e2x2(2a3x33ax)=(a4x27a2)(x).3d2把屮(x)代入式左边，得dx22d斗(x)1221+_x斗(x)=7a2屮(x)a4x斗(x)+x即(x)dx22护护214x即(x)+P2x斗(x)2丿h左边=右边。幺d1Q2x2/cc、7亠e233X3-如），是线性谐振

37、子的波函数其对应的能量为2叽2.证明氢原子中电子运动所产生的电流密度在球极坐标中的分量是J=J=0；ere0ehmn0mih证：电子的电流密度为：J=eJ=e(屮Vv*屮*Vv)2Hnmnmnmnmv在球极坐标中为：v=ed.+1e0dL+edrr0dv申1d亦环，式中卞$、为单位矢量J=eJ=eihd1deV(e+e+e-2H申r屮*(e+1er8nmrdr1d)Vsin0dd+1d)vd0申rsin0d申*n0m/屮n0m可见，iehde(vV*2Hmdrnm1d1dv*V)+e(VVnmrdvn0m屮rSin0n0m中的F和8部分是实数。ieh屮*v)+(V丄2屮*nPmdr)nmrd0

38、nPm2prsin0(一讪“J_讪“JKn0mer=J=0e0ehmIHrsin0n0m1*nmrsin0nmd申nmehmiHrsin0nm3.试以基态氢原子为例证明：屮不是，T，或UJ的本征函数，而是T+右的本征函数。解：11V=()3/22er/a01004rta0a0He2sh2T一丁丄吟(r2f)+%(sinOQQL)+七2pr2QrQrsinUQUsin2UQ申2e2U=r刑10021QQ屮、2111Q/d、(r2嗨)=-()3/2(r2e-r/ao)2口r2QrQr2寸兀ar2QrQr21/1、/12、212、(-N2口a2ar10000()3/2(-)e2卩p兀aa2oo丰常数

39、x屮100-r/a0ar0所以：屮不是T的本征函数100e2由于loo严loo；可见，屮I。不是卩的本征函数(T+U冲10021(1)(1()3/2(-aa2002e2)e-r/a屮arr1000212221加可屮100+两屮100-疏屮100_加可屮100可见，屮100是（T+U）的本征函数。4证明：L=6,L=力的氢原子中的电子在U=45。和135。的方向上被发现的几率最大。解：W(6，申)dQ=YI2dfi；ImImsinUcosUeg；Y21(U，9)L=/6力，L=力的电子，其中=2,m=1Y211515W21(U，9)=Ym2=莎曲0cos26=莎曲20当U=45。和135。时.W

40、21=1532兀为最大值。即在U=45。，U=135。方向发现电子的几率15最大。在其它方向发现电子的几率密度均在0莎之间。试证明：处于1s,2p和3d态的氢原子的电子在离原子核的距离分别为a、0和9。0的球壳内被发现的几率最大（0为第一玻尔轨道半径）。证：对is态，n=1,=0,R。1W(r)=r2R2(r)=(一)34r2e2r/a；10100dW12玲=()34(2rr2)e-2radraa00dW令甘=0,r=8,r=a230易见，当=0,r=8时，2W10=0不是最大值。4W(a)=e-2为最大值,100a01r/2)3/2e-r/2a02a丿000所以处于1s态的电子在r=a0处被

41、发现的几率最大。对2p态的电子n=2,=】,r2=（211r4)3r2er/a0；2a3a200dW1dr24a50rr3(4)er/a0a0令监=0drnr=0,r=8,2r=4a30易见，当=，L时W21=0为最小值。d2W21dr28rr2r2(12+)e-r/a024a5aa2000d2W21dr218x16a2(12-32+16)e-4=-e-4003a324a50r=4a0为几率最大位置,即在r=4a0的球壳内发现球态的电子的几率最大。对于3d态的电子n=3,=2,R=(丄)32a03/2W(r)=r2|R323212=丄32a7812x15r6e-r/3a0;dWcc32812x

42、15a702r(6-)e-2r/3a3a0令争=0drr=8,2r=9a30易见，当=,r=8时，W=0为几率最小位置。232d2W32-dr2812x15a7016(15r2-4r52r6+)e-2r/3aoa9a200d2Wdr2r=9a。812x15a7036a2x81a2(9a)4(15-+亠)e-60a9a20016e-605a300r=9a0为几率最大位置，即在r=9a0的球壳内发现球态的电子的几率最大。指出下列算符哪个是线性的，说明其理由。K=1d242石；d2解：4x2益是线性算符;/4x2(cu+cu)=4x2(cu)+4x2(cu)dx21122dx211dx222TOC

43、o 1-5 h zd2d2 HYPERLINK l bookmark223 o Current Document =c-4x2u+c-4x2u1dx212dx222不是线性算符;cu+cu2=c2u2+2ccuu+c2u2112211工cu2+cu21122才是线性算符;K=1指出下列算符哪个是厄米算符，说明其理由。d(1)dxid，4；dxdx2且/八八A八、石(X+px)2xx解：仃)Jgv*dx*gJgV*dx；gdx，gg-g-gdx当xg,屮一0,0JgV*ddx=JgV*dx=Jg(dV)*dxJg(二屮)*dxgdxgdxg(d_gdxg(d_gdx不是厄米算符。dx屮*idx=

44、涉*|_gdx-g-g-gV*dx=iJg(V)*dx=Jdxgdxg(id-gdx*dxi是厄米算符dxJgV*4空-dx=4v*砂gdx2dx=-4jg忙砂dx=4如+4gdxdxdx-g-4卜忙如dx_gdxdx叱dx-gdx2=4jg竺v*dx=Jg(4v)*dxgdx2gdx24$是厄米算符。dx2(2)Jv*(xp冲dT=Jv*x(p屮)dT=(卸)*p屮dT=(px1x21x21x2W)*屮dTx12因为Px丰诲；.I谕不是厄米算符。TOC o 1-5 h zxxx+pxx加2心2W*1x(xp冲dT+1J屮*(px冲dT HYPERLINK l bookmark59 o Cur

45、rent Document 221x2=(xp*VdT2xx12二-J(p即)*屮dT+-J(xp屮)*屮dT2x122x12=J(px+xp*屮dT HYPERLINK l bookmark225 o Current Document 2xx12(xp+px)是厄米算符。2xxd29下列函数哪些是算符茁的本征函数其本征值是什么?x2，ex，sinx，3cosx，sinx+cosx解：d2x2不是石的本征函数。=ex；二ex不是的本征函数其对应的本征值为1。TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark201 o Current Document d2d(sinx)=(c

46、osx)=-sinx； HYPERLINK l bookmark231 o Current Document dx2dx可见，sinx是的本征函数，其对应的本征值为一1。dx2d2d HYPERLINK l bookmark233 o Current Document 丁(3cosx)=(-3sinx)=-3cosx一(3cosx)dx2dx3cosx是学的本征函数，其对应的本征值为一1。dx2量子力学期末复习题量子力学期末复习题 /30d2(sinx+cosx)=(cosx-sinx)=dx-sinx-cosx=-(sinx+cosx)4+cosX是的本征函数其对应的本征值为710说明：如果

47、算符A和B都是厄米的，那么(A+B)也是厄米的。证：f入入J屮*(A+B)屮dT二12Jv*AdT+12dT2Jv(A)*dT+21Jv(Bv)*dT21=Jv(a+B)v*d21A+B也是厄米的。11.在一维势场中运动的粒子，势能对原点对称：U(-x)=U(x)，证明粒子的定态波函数具有确定的宇称。方2d2证：在一维势场中运动的粒子的定态S-方程为：-v(x)+U(x)v(x)=Ev(x)2卩dx2将式中的x*x)代换得：-亓石屮(-x)+U(-x)v(-x)=Ev(-x)利用U(-x)=U(x)，得：-耳忑屮(-x)+U(x)v(-x)=Ev(-x)比较、式可知，v(-初和屮(x)都是描写

48、在同一势场作用下的粒子状态的波函数。由于它们描写的是同一个状态，因此v(-x)和屮(x)之间只能相差一个常数c。方程、可相互进行空间反演(xO-x)而得其对方，由经xT-x反演，可得，nv(-x)=cv(x)由再经-xTx反演，可得，反演步骤与上完全相同，即是完全等价的。n屮(x)=c屮(-x)乘，得：屮(x)屮(-X)=c即(X)屮(-X)可见，c2=1；即c=1当c=+1时，屮(-x)=屮(x),n屮(x)具有偶宇称；当c=1时，屮(-x)=屮(x),n屮(x)具有奇宇称,所以，当势场满足U(-x)=U(x)时，粒子的定态波函数具有确定的宇称。12.证明以下诸式成立：F+TXT=2hi?(

49、证明)根据坐标分角动量对易式:为了求证该矢量关系式，计算等号左方的矢量算符的x分量。以及=说庄-14+k(1眇ij七-J广呵=尤yz=严打)七0汀叫严(-心看到卩村+广癒人=(加-4)+0匚-眄)二右-,戸二总工+2如二2ih=由于轮换对称性，得到特征的公式。IF+f吨=2ikp(证明)证法与(1)类似，但需先证分量与B分量的对易律22/30旳=加肥，巧=kPy-Pyh=0禺可）旳-马0划-书）=PS（yFy-Pyy）=肚直同理可证明其他轮换式，由此得普通式*芒=臥小伞取待证的公式等号左方的x分量，并用前一式加以变形：g+豐讥=lyP.-Py-Pyk-py=%託-也旳=2女根据轮换对称性，证明

50、待证式成立。（3）尸;YF严=泌（KFh-G吟人（证明）心,二（+；+）忑（：+；+；）=（身十忌IX；十#）=g2JJj+fit=（耳工-刃+（详-疋$+打笆天-天心亠&天-Xj）=-hilyz-ihzly-hilsy-hiyls=hi(yls-zly)-hi(lyz-lsy注意.与x没有共同坐标。(4)=加(戶嗚厂哼)“尸治讥卩二化+弓+f）皆/住+弟+）几=彳寻与可=（丹广曲&F-厂=0注意没有共同坐标，因此可以对易即小宀，故量子力学期末复习题量子力学期末复习题 /30 /30A=(l2+12)p-p(l2+12)=12p-p12+12p-pl2yzxxyzyxxyxxxx=1(Ippl

51、)+(Ippl)1+1(1ppl)+(1ppl)1yyxxyyxxyyzzxxzzxxzz=11,p+1,p1+11,p+1,p1=hi1pp1+1p+p1yyxyxyzzxzxzyzzyzyyz=hi(p1-pl)-(1p-1p)=hi(p*1)-(1*p)yzzyyzzyxx13设算符A,B与它们的对易式A,B都对易。证明：川刖=仔】.川=曲山厶亍亠(甲法)递推法,对第一公式左方,先将原来两项设法分裂成四项,分解出一个因式,再次分裂成六项,依次类推,可得待证式右方,步骤如下：&丹=卫即-刖卫=艮护打十护川出=十护J占护十护占=AS2Bn-2+BJi-2AS+Bn-1Ar8按题目假设卫，SB

52、=BA,B因而卫-5B=卫戸1+2小卫重复运算n-1次以后,得&隣打=AS=A7i-BAK-1-)BK-1ArB=川头耳4护十仏-1)羽序=汀小4闵14求证在1的本征态下1=1=0nxy(证明)角动量分量算符满足对易关系：11-11=加Tyzzyx两边取平均值，设Y是1本征态波函数，用标乘积运算符号(Y11-11Y)=hi(Y,/Y)imzimyxxyimimxim(Y,/lY-llY)二(Y,m祐Y-11Y)二m力(Y,lY)-(Y,门Y)imyximxyimimyimxyimimyimimxyim二mh(Y,lY)-(lY,lY)二mh(Y,/Y)-mh(Y,/Y)imyimximyimi

53、myimimyimA前面的连等式中利用了标乘积分配律以及算符l的厄密性，这样证明l=0 xx利用对易关系：11-11=加l。可以类似的证明l=0。zxxzyy附带指出，虽然l，1在1本征态中平均值是零，但乘积ll的平均值不为零，能够证明:xyxxy1ll二m方2i二ll,说明ll不是厄密的。l2，l2的平均值见下题。xy2xyxyxy15设粒子处于Y(9,申)状态，求Al2，Al2。imxy(解)Y(9，申)是算符l2,l的共同本征状态，在此态中，算符l，l具有对称性，因而可假设imyxyAl2=Al2，又已知Al二Al二0 xyxy利用算符恒等式：12二12+12+12xyz计算这个式子的各

54、量在态Y中的平均值，用标积符号:im(Y,l2Y)二(Y,(l2+12+l2)Y)二(Y,(2l2+12)Y)imimimxyzimimxyim因丫.满足本征方程式l2Y=l(l+1)力2YlY=mYimimimximiml(l+1)加(Y,Y)二2(Y,12Y)+m2加(Y,Y)imimimximimim移项整理：12=(Y,12Y)=l(l+1)-m2力2ximxim212=l(l+1)m2力2x216.求证在i的本征态下，角动量沿着与z轴成的角度的方向上x的分量的平均值是：m力cos9。4二_（解）角动量1沿着与z成9解的方向（此方向用单位矢S表示，它不是唯一的，因由方位角9给定），有一

55、投影l，它的解析式是：zs=isin9cos9+jsin9sin9+kcos91）l=l-s二(il+jl+kl)-(isin9cos9+jsin9sin9+kcos9)xyz二sin9cos9l+sin9sin9l+cos9lTOC o 1-5 h zxyz计算在l的本征态匚中角动量投影l的平均值：zimzl二JJY*(sin9cos9()Yd0+JJY*(sin9sin9-1)Yd0+JJY*(sin9-1)YdQ(2)zimximimyimimzimQ式中dQ=sin9d9d9根据（16）题的结论，l本征态下l0，l=0故前一式第一，二两zzyA个积分无贡献，由于：lY二m力Y，因而l二m力cos9（3）zimimz17.设任何一个厄密矩阵能被一个么正矩阵对角化，由此证明两个矩阵被同一个么正矩阵对角化的条件是它们彼此对易。证明:（1）对易关系A,B二0充分性的证明。设A,B二AB-BA二0。又设S是一个足以使A对角化的么正算符，则(SAS-