矢量微分算子和拉普拉斯算子

1、矢量微分算子和拉普拉斯算子、矢量微分算子形式定义：QQQV=i+j+kQxQyQz我们发现矢量微分算子算子在形式上是个矢量。用法定义1铺垫定义:iu(Qx丿rqbxj丿ufkL(Qx丿(x,y,z)du(x,y,z)i(x,y,z)QxQu(x,y,z).1，QxQu(x,y,z)k(x,y,z)-Qx&丿(Qy丿rq、(qz丿,y,z)Qu(x,y,z)Qx)Qu(X,y,z)Qy)Qu(x,y,z)Qz其中u(x,y,z)是标量函数，i、j、k分别是x轴、y轴、z轴方向的单位矢量。2跟标量函数u(x,y,z)相乘Vu=urq)iu+rqju+fk丿(Qx丿(Qy丿(Qz丿Ci+j+k(Qx

2、QyQzQu.Qu.Qu-ui+1+kQxQyQz我们看到这跟普通矢量与标量的乘法形式上一样。3跟矢量A=P(x,y,z)i+Q(x,y,z)j+R(x,y,z)k点乘rQ.Q.Q”)i+j+k(QxQyQz丿Q_.()Q()Q()QPQQQR-P(x,y,z)+-Q(x,y,z)+-R(x,y,z)=QxQyQzVA=(P(x,y,z)i+Q(x,y,z)j+R(x,y,z)k)+QxQyQz我们看到这个定义跟普通矢量与矢量的点乘的定义形式上一样。4跟矢量A=P(x,y,z)i+Q(x,y,z)j+R(x,y,z)k叉乘VxA=(Q.Q.Qi+i+k、QxQyQz丿jkQx(p(x,y,z)

3、i+Q(x,y,z)j+R(x,y,z)k)dPdRdxPQyQQzRQyQzQzQx,+(QQQPk.QxQy丿我们看到这个定义跟普通矢量与矢量的叉乘的定义形式上一样。三）按照以上定义，我们容易得出：1根据下图所示梯度定义可知，可以用矢量微分算子表示标量函数u（x,y,z）的梯度，即grad(u)=Vu梯度的这个定义是与坐标系无关的，它是由数量场中数量讥的分布所决定的.上面，我们借助于方向导数的公式找出了它在:S角坐标系中的表示式为gmdu（2）2.根据下图所示散度定理可知，可以用适量微分算子表示矢量函数A=P(x,y,z)i+Q(x,y,z)j+R(x,y,z)k的散度，即div(A)VA

4、（2）ns度輕直角坐赫垂中的表示式做度的定文是与蜓标菜无关的.下面的定理，培出T它靶直角坐押票中的表示贰一定理在直角坐标菲屮”矢址场A-尸（+J?（xTrpt）A痒任一点眉3,了严）趾的般肚为3.根据下图所示旋度定义可知，可以用矢量微分算子表示矢量函数A=P(x,y,z)i+Q(x,y,z)j+R(x,y,z)k的旋度，即rot(A)=VxA1)Bt度的定义着症矢量场A中的一点聞处样的一个量盘矢量场A圧点M处沿其方向的环療面密度为最天，这牛品天的報值正奸就足Ml则称矢虽尺为矢妊场用在点储处的血度，记柞W1M,pctA=R.苛阵之，fife度矢览在数值和方向上表出了蝦大的环墳面綾度.旋战的上述圭

5、JC是与坐様慕无关的.上面(屯12式中的矢验星它在吉角坐様畫中的議示式，就热说在直角坐标系中右二、拉普拉斯算子一)形式定义：(Q.Q.Q,i+j+k-、QxQyQz丿QQQQQQQ2Q2+、(Q.Q.Q)i+j+k、QxQyQz丿Q2=十十十+QxQxQyQyQzQzQx2Qy2Qz2V2=V-V=我们发现拉普拉斯算子在形式上是个标量。二)用法定义：1铺垫定义：)。2u(x,y,z)d2-udx2u(x,y,z)Qy2d2-uQz2,y,z,y,zQx2Q2u(x,y,z)Qy2)Q2U(x,y,z)dz22跟标量函数u(x,y,z)相乘d2d2d21-d2V2u=+u(dx2dy2dz2)d

6、x2d2ud2Ud2U=+dx2dy2dz2d2d2-u+-u+-udy2dz2我们发现这个定义形式跟普通标量与标量的相乘形式上满足的相似的规律(分配律)3跟矢量函数A=P(x,y,z)i+Q(x,y,z)j+R(x,y,z)k数乘d2d2d211、dx2dy2dz2丿(P(x,y,z)i+Q(x,y,z)j+R(x,y,zk)d2d2d211、dx2dy2dz2丿d2d2d2一+一+、dx2dy2dz2丿d2d2d2+、dx2dy2dz2丿=P(x,y,z)+-P(x,y,z)+P(x,y,z)i、dx2dy2dz2丿Q(x,y,z)+$Q(x,y,z)+$Q(x,y,z)j+(dx2dy2

7、dz2丿R(x,y,z)+R(x,y,z)+字R(x,y,z)k(dx2dy2dz2丿d2P(x,y,z)d2P(x,y,z)d2P(x,y,z+dx2P(x,y,z)i+R(x,y,z)kdz2d2Q(x,y,z)d2Q(x,y,z)d2Q(x,y,z)1.f+JQ(x,y,z)j+(dx2dy2dz2丿62R(x,y,z)d2R(x,y,z)d2R(x,y,z):+:+:,丿我们发现这个定义形式跟普通标量与矢量的相乘形式上满足相似的规律dx2dz2三)注意1.V2u=V(Vu)d2d2V2U=+(dx2dy2d2dz2d2Udx2d2ud2z+dy2dy2V-(Vu)=V-(Qu.Qu.Q

8、u”Ji+j+kQxQyQz丿QuQx(QQ,Q_JQxQy丿Qu)QQy丿Qy”.Qu.Quji+j+ki+j+kQQQuQQuQQu_+_+QxQxQyQyQzQzQxQz丿(Qu、Qz丿Q+-Qz所以得证。2.V2AV(V-A)且V(V-A)-V2A=Vx(VxA)(Q.Q.Qfji+j+k.QxQyQz丿Q厂QjQnQPQQQR=-P+-Q+R=+-QxQyQzQxQyQzVA=V(VA)=.QxQyQz丿Q2UQ2UQ2U=+Qx2Qy2Qz2-(P(x,y,z)i+Q(x,y,z)j+R(x,y,z)k)(Q.Q.Q”)i+j+kQz丿QQx_Q.(QPQQ+QRQxQPQQQR、

9、QxQyQzQy+-+QxQyQz丿QPQQQR)+QxQyQz丿.(QPQQQR)j|+QxQyQz丿dxQyQPQQQR、QxQyQz(QPQQQR)+.QxQyQz丿Q.+kQz(QPQQQR)+Q+.OxQyQz丿kQz空+竺+空.Qx2QyQxQzQx丿、QxQyQy2QzQy丿QxQzQyQzQz2丿_+.Qx2Qy2Qz2Q2RQ2RQ2R、+211.Qx2Qy2Qz2Qx2Qy2Qz2丿所以，不相等。3.Vx(VxA)_V(VA)-V2AVx(VxA)-+(-1)iddxdRdQdQydPQRkQQzQQQPfA(QQQP)1Q(QPQR6(QxQy丿Qz(QzQx丿丿(Q(Q

10、QQ(QRQzQyj+丿丿(_(QP、QxIQzQRQx丿Q_(QRQQkQylyQz丿丿(Q2QQ2PQ2PQ2R.(Q2PQ2QQ2RQ2Q.(Q2PQ2RQ2R、QxQyQy2Qz2QxQzJIQyQxQx2QyQzQz2丿丿IQzQxQx2Qy2,Q2Q(Q2PQ2QQ2R).=+I、Qx2QxQyQxQz丿(Q2PQ2PQ2P).+丄Qx2Qy2Qz2丿(Q2PQ2QQ2R),+、QyQxQy2QyQz丿(Q2Q,Q2Q,Q2QJ:.Qx2Qy2Qz2丿(Q2PQ2QQ2R+,QzQxQzQyQz2丿、k丿Q2RQ2RQ2R+,Qx2Qy2Qy2Qz2丿fQ2P+Q2Q+q2Ri+(

11、Q2P卜Q2Q+Q2Rj+(Q2P/2Q+Q2R(Qx2QyQxQzQx丿(QxQyQy2QzQy丿(QxQzQyQzQz2丿Q2PQ2PQ2P+(QQ+些+些J/11Qx2Qy2Qz2丿(Q.Q.Qi+一HQx(QPQQQR)=V+、QxQyQz丿V(V-A)=VQx2Qy2Qz2丿j+k-QyQz丿(Q.Q.Q,=i+j+k、QxQyQz(Q2RQ2RQ2R)+,kQx2Qy2Qz2丿(P(x,y,z)i+Q(x,y,z)j+R(x,y,z)k)丿YQPQQQR)+人QxQyQz丿k-+(QPQQQR、-+丄QxQyQz丿，+(k+(Qz丿(QPQQQR+、QxQyQzQPQQQR)+QxQyQz丿.1+QyQPQQQR)Q+亠+、QxQyQz丿k=Qz(Q2P(Qx2QyQxQzQx丿(QxQyQy2Q2R)(Q2P,(QxQz沁kQz2丿(Q2Q2Q211(Qx2Qy2Qz2丿(Q2Q2Q2+(Qx2Qy2Qz2丿V2A=(P(x,y,z)i,Q(x,y,z)j,R(x,y,z)k)-P(x,y,z)i,字P(x,y,z)+-P(x,y,z)+(Qx2Qy2(Q2Q2Q2+(Qx2Qy2Qz2Q2，Qz2y,z)j+(Q2Q2Q2+(Qx2